Estado de deformación ESTABILIDAD IIA FIUBA

OBJETIVO  Describir el cambio de forma que experimenta un continuo  Continuo: es cualquier sólido al cual se lo describe en sentido matemático como una sucesión de puntos o también de partes.  Sólido: asignamos a las estructuras esta cualidad  Cambio de forma: requiere una descripción geométrica. En esta como en toda descripción es importante que definamos previamente qué es lo que queremos ver.

Descripción del cambio de posición en un sólido  Cuál es el concepto básico necesario para describir el cambio de posición en un sólido?: Contar con un sistema de referencia inmóvil que nos permita apreciar el cambio.  Todo cambio transcurre en un cierto intervalo de tiempo. Si identificamos un punto del continuo en la posición inicial, luego de cierto tiempo habrá alcanzado una posición final y recorrido una cierta trayectoria. Ciertos problemas requieren conocer esta trayectoria (órbitas planetarias por ejemplo). Otros no.  En general los movimientos muy pequeños pueden tornar innecesario el conocimiento de la trayectoria. Interesa solamente la posición inicial y la final. Son los que estudiaremos en este curso porque los movimientos a los que nos referimos son sumamente pequeños en relación a la geometría que define los sólidos con que tratamos.  Cuando sólo nos interesa establecer la relación entre la posición final y la inicial nos independizamos de la trayectoria y podemos definir la relación entre la posición inicial y la final mediante un vector (intensidad=recorrido, dirección y sentido). Este vector lo podemos a su vez identificar por sus componentes en un sistema de coordenadas. Habitualmente llamamos a las componentes de este vector u, v y w (x, y, z)

Descripción del cambio de posición en un sólido  Esta apreciación la justificamos en el concepto general expuesto para poder identificar un movimiento (contar con un sistema de referencia inmóvil), al adoptar una posición inicial y una final, estamos admitiendo que la referencia es la posición inicial del punto.  El paso siguiente para acercarnos al sólido es asumir que podemos describirlo mediante un número suficientemente grande de puntos. Si el cambio de posición es tal que todos los puntos experimentan el mismo corrimiento estamos en presencia de una traslación. La traslación es un caso particular de un concepto más amplio que es la rotación (traslación = rotación en torno a un polo impropio del plano). En la rotación un punto del sólido no experimenta movimiento y los restantes experimentan corrimientos perpendiculares a la recta que los vincula, de dirección perpendicular a la misma e intensidad proporcional a la distancia entre los dos puntos.

Descripción del cambio de posición en un sólido  Para poder comprender algunos conceptos tales como el de sólido es necesario ingresar en la comparación de los corrimientos que experimentan dos puntos cualesquiera en un sólido.  Se denomina corrimiento relativo de un punto respecto a otro a la resta del corrimiento del punto respecto al que se lo referencia. Nos interesa saber cuál es la posición relativa entre esos puntos en la posición inicial y en la posición final. Si el corrimiento relativo es nulo, los puntos se han trasladado, si el corrimiento es tal que el corrimiento relativo es perpendicular a la dirección inicial entre los puntos registraremos una rotación. Pero si el corrimiento en la dirección definida por ambos puntos en la posición inicial no es nula se verifica una variación de distancia entre ambos puntos. Este concepto es nuevo en el análisis que estamos haciendo porque implica que se está registrando un cambio de forma en el sólido.  Este es un razonamiento general para considerar los cambios de posición en un sólido pero en el caso particular en estudio dado que se pasa de un estado de equilibrio a otro estado de equilibrio se plantea la descripción de los cambios de forma que se pueden registrar en el entorno de un punto.

Descripción del cambio de posición en un sólido  Para ejecutar esta descripción en un continuo, por lo visto, se deben de analizar dos puntos, que supondremos infinitamente próximos, pero para ubicar a partir del primero el punto a considerar necesitaremos definir además de una distancia una dirección, por lo cual asumiremos en principio una distancia y dirección genéricas

Descripción del cambio de posición en un sólido  Se puede observar que el segmento ABi, de dirección y magnitud elegidas, pasó a Abf. Se observa el corrimiento relativo aBA del punto B respecto al punto A y también que, según lo definido existe una variación de distancia pues este vector tiene una dimensión no nula en la dirección elegida para identificar al punto B.  En el esquema también se aprecia que se puede considerar una traslación del segmento ABi hasta una posición intermedia AfBr la cual no implica una variación de distancia. Podría asimismo experimentar una rotación rígida este segmento y luego de esta rotación, un alargamiento en su longitud y finalmente una deformación angular es decir un corrimiento perpendicular a la dirección inicial (no a la resultante del giro rígido anteriormente citado) hasta alcanzar la posición final. La posición final sería consecuencia de un movimiento sin cambio de forma y luego le superpondríamos un movimiento con cambio de forma para conformar el caso general que estamos analizando, como se puede observar en la figura que sigue. En esta figura daBA  constituye el giro rígido mientras que daBA , constituye el alargamiento y daBA  constituye el corrimiento perpendicular a la dirección inicial.

Descripción del cambio de posición en un sólido

 Los vectores que identifican el alargamiento y el corrimiento transversal a la dirección inicial son infinitésimos pero también es infinitésima la longitud entre los puntos AB por lo cual se pueden relacionar estas magnitudes y nos darán un valor finito de alargamientos relativos a las longitudes, que vamos a llamar deformaciones longitudinales específicas, y giros específicos que vamos a llamar distorsiones angulares específicas.  Como vemos de esta apreciación conceptual los movimientos y cambios de forma dependerán de los corrimientos que experimentan puntos orientados en relación al que estamos analizando por lo cual es de esperar que se encuentren alargamientos y distorsiones diferentes según la dirección que se considere en torno al punto en estudio. Estos valores son adimensionales por definición.  Si se conociesen los corrimientos en todos los puntos de un continuo se podría determinar los de cuerpo rígido (traslaciones y rotaciones) y los cambios de forma (deformaciones longitudinales y distorsione específicas)  Asumiendo que se conocen las funciones que definen los corrimientos de todos los puntos de un continuo mediante funciones continuas se plantea la determinación del estado de deformación en torno a un punto.

Estado de deformación  Para determinar el estado de deformación se partirá del conocimiento de la función desplazamientos y se tendrá que desarrollar la intervención del comportamiento de dos segmentos, entre su posición inicial y final, con el fin de detectar la existencia de la rotación rígida a través del comportamiento de las derivadas cruzadas de la función desplazamiento  Si se identifica la deformación con el vector dBA  (dividido por el segmento AB) se plantea la determinación de este vector para cualquier dirección si se conoce el tensor de deformación Td, multiplicando el mismo por el versor de la dirección del segmento AB.  La deformación longitudinal específico se determinará proyectando la deformación por el versor de la dirección del segmento y la distorsión mediante el producto vectorial del vector dBA  con el versor de la dirección AB.  Mediante el razonamiento de autovectores se podrán determinar las deformaciones longitudinales específicas principales y sus direcciones, asumiendo que en estas direcciones la distorsión angular es nula.