El Sistema de Posicionamiento - GPS Generalidades del sistema Principios del posicionamiento Los observables Posicionamiento aislado y relativo Posicionamiento relativo Combinación de observables Ecuaciones de observación La solución Modalidades de observación

Global Positioning System - GPS 24 satélites en órbitas altas (20 mil km de altura), en 6 planos inclinados a 55° respecto del ecuador. Cada satélite emite señales que se reciben en todo momento, con cualquier clima y desde cualquier lugar de la Tierra Posicionamiento Satelital

Los principios del posicionamiento Sistema de Control Sistema Espacial Los Usuarios S1 S2 S3 S4 S5 Posicionamiento Satelital

Los principios del posicionamiento El sistema de control está constituido por un conjunto de estaciones permanentes con coordenadas bien conocidas en un sistema terrestre de referencia internacionalmente aceptado. Su misión es la de rastrear a todos los satélites para calcular las órbitas (efemérides) y controlar sus relojes. 1 M + 4 (Hawaii, Ascension Islands, Diego Garcia and Kawajalein) + 6 Posicionamiento Satelital

Los principios del posicionamiento During August and September 2005, six more monitor stations of the NGA (National Geospatial-Intelligence Agency) were added to the grid. Now, every satellite can be seen from at least two monitor stations. This allows to calculate more precise orbits and ephemeris data. For the end user, a better position precision can be expected from this. In the near future, five more NGA stations will be added so that every satellite can be seen by at least three monitor stations. This improves integrity monitoring of the satellites and thus the whole system. Estación de rastreo en Hawai Master control station” (Schriever AFB – Colorado) Posicionamiento Satelital

Los principios del posicionamiento El sistema espacial está constituido por la constelación de satélites (nominalmente 24 activos). Cada satélite lleva a bordo varios relojes atómicos (5) para asegurar la exactitud de las marcas de tiempo y la estabilidad de la frecuencia de la señal emitida. GPS-Block IIF Satellite GPS-Block IIA Satellite GPS-Block IIR and IIR-M Reloj atómico (Block I, Block II, Block IIA, Block IIR und Block IIF). Primero a comienzos de 1978. Posicionamiento Satelital

Los principios del posicionamiento Block I: 1978 – 1985. 11 Satélites Block Il: 1990 – 1996. 9 Block II – 18 Block IIA (advanced). Block IIR-M (replacement – modernized). L2c Block IIF (L5) Los usuarios equipados con receptores de las señales satelitales reciben simultáneamente las componentes de la señal que sirven para medir la distancia receptor-satélite, y el mensaje de navegación ppalmente . constituido por las efemérides que permiten calcular las coordenadas de los satélites. Posicionamiento Satelital

Los principios del posicionamiento Posicionamiento Satelital

Ri2 = (Xi – Xu)2 + (Yi – Yu)2 + (Zi – Zu)2 (1) i = 1, 2, 3, ...n Los principios del posicionamiento S1 (X1,Y1,Z1) S2 (X2,Y2,Z2) ..................... Si (Xi,Yi,Zi) S2 Efemérides S1 S3 R2 R3 R1 R1 R2 .... Ri S4 R4 Observables U Si Ri Usuario U (Xu,Yu,Zu) Ri2 = (Xi – Xu)2 + (Yi – Yu)2 + (Zi – Zu)2 (1) i = 1, 2, 3, ...n    Cada satélite “observado” permite construir una ecuación de esta forma, y todas las ecuaciones de una época determinada constituyen un sistema de ecuaciones con tres incógnitas: las coordenadas del usuario Xu, Yu, Zu. Posicionamiento Satelital

Los principales errores Los errores Los principales errores S.A. S.A. Selective Availability Ionósfera Tropósfera Reloj local Órbitas Transm. Posicionamiento Satelital

Los principales errores Los errores Los principales errores S.A. viene de Selective Availability y consiste en una degradación intencional de relojes y efemérides para usuarios “no calificados”. Desactivada !! La atmósfera introduce errores en la propagación de la señal de difícil modelización (orden metros) El reloj del receptor debería estar sincronizado con el tiempo de los satélites. Se elimina agregando una nueva incógnita a la ecuación (1). Ri = ((Xi – Xu)2 + (Yi – Yu)2 + (Zi – Zu)2)½ + c.dt Las órbitas trasmitidas son extrapoladas, introducen errores del orden del metro. Posicionamiento Satelital

Precisión de una posición aislada La precisión aislada Precisión de una posición aislada Antes del 2001 una sucesión de posiciones aisladas se circunscribía en un radio de decenas de metros. Luego de la desactivación de la SA, prácticamente todas las posiciones están dentro de los 10 m Posicionamiento Satelital

El posicionamiento relativo Los errores son camunes a las dos estaciones La posición relativa resulta mucho más precisa que una posición aislada Es necesario cocnocer las coordenadas precisas de una estación Posicionamiento Satelital

1 ppm : 1 cm en 10 km El posicionamiento relativo Los errores de los relojes satelitales afecta estríctamente igual a las dos estaciones, los errores en las efemérides (órbitas) son importantes si la distancia entre las estaciones es muy grande (más de 50 km). La atmósfera introduce errores muy similares para distancias de algunas decenas de km. Para distancias mayores es importante corregir este efecto. Es condición necesaria para alcanzar una solución apropiada contar con una buena posición de partida, de lo contrario, la precisión de la posición relativa resultará afectada según una regla aproximada: Error en la base => 1 PPM cada 10 m de error en las coordenadas de partida 1 ppm : 1 cm en 10 km Posicionamiento Satelital

Los efectos atmosféricos (Ionósfera y Tropósfera) El posicionamiento relativo Los efectos atmosféricos (Ionósfera y Tropósfera) La atmósfera perturba la propagación de las señales GPS Los efectos son diferentes en la Ionósfera (capa superior por encima de 80 km) y en la Tropósfera (capa inferior hasta 11 km)   La ionósfera afecta a las señales en forma inversamente proporcional a la frecuencia de las mismas. Esto permite eliminar su efecto combinando las componentes de las señales GPS en las dos frecuencias posibles L1 y L2. Para ello es necesario utilizar receptores de “doble frecuencia”.  La tropósfera (baja atmósfera) introduce errores importantes al producir un retardo en la señal. Se modeliza muy aceptablemente la componente seca y con más incertidumbre la componente húmeda (influencia del vapor de agua en el camino de la onda). Afecta principalmente la determinación de alturas con GPS. Posicionamiento Satelital

Cuanto mayor es el PDOP más desfavorable es la situación. El posicionamiento relativo La Geometría (PDOP)     DOP viene de “Dilución de la Precision”, es decir, que es un factor que multiplica a la precisión de las mediciones desmejorando la precisión real. Cuanto mayor es el PDOP más desfavorable es la situación. Este es un indicador que puede predecirse con una planificación apropiada. Otros indicadores son HDOP, VDOP, TDOP Mal PDOP > 5 Posicionamiento Satelital

El posicionamiento relativo Trayectorias PDOP vs. Número de satélites Posicionamiento Satelital

Las Efemérides GPS (órbitas) El posicionamiento relativo Las Efemérides GPS (órbitas) Las efemérides trasmitidas (broadcast), son calculadas por el sistema oficial de control de GPS en base al rastreo de todos los satélites, y resultan de la extrapolación de las órbitas ajustadas para que los usuarios puedan disponer de las posiciones de los satélites en tiempo real. La precisión de estas efemérides es de algún metro. Las efemérides precisas son calculadas por el Servicio GNSS Internacional (IGS) y son accesibles posteriormente y por internet con alguna demora. Estas órbitas tienen una precisión de pocos cm y resultan del AJUSTE de un arco observado y NO de una predicción. Las Efemérides Transmitidas en Tiempo Real son EXTRAPOLADAS Para trabajos de alta precisión deben utilizarse las EFEMERIDES PRECISAS Se avanza a efemérides predichas precisas en tiempo cuasi real Posicionamiento Satelital

L1 = M . C/A . sen (w1t) + M . P1 . cos (w1t) L2 = M . P2 . sen (w2t) La señal GPS L1 = M . C/A . sen (w1t) + M . P1 . cos (w1t) L2 = M . P2 . sen (w2t) Posicionamiento Satelital

L1 = M . C/A . sen (w1t) + M . P1 . cos (w1t) L2 = M . P2 . sen (w2t) La señal GPS L1 = M . C/A . sen (w1t) + M . P1 . cos (w1t) L2 = M . P2 . sen (w2t) Ø M: mensaje de navegación, contiene ppalmente. las efemérides trasmitidas.   Ø C/A: código COARSE ACQUISITION para la medición rápida del Pseudo Range (o pseudo distancia) entre el satélite y el receptor. Todos los receptores miden Pseudo Range.   Ø w1 = pulsación de la frec. L1. Los receptores de simple frecuencia recuperan la fase de la onda Sin (w1.t).   Ø P1: código PRECISO en la señal L1. Solo los receptores más sofisticados acceden al código P.   Ø w2 = pulsación de la frec. L2. Solo los receptores de doble frecuencia recuperan la fase de la onda Cos (w2.t).   Ø    P2: código PRECISO en la señal L2. Solo los receptores más sofisticados acceden al código P.   Posicionamiento Satelital

C/A tiene una Long. de onda de aprox. 300 m. La precisión: 3 a 0.5 m Los Observables C/A tiene una Long. de onda de aprox. 300 m. La precisión: 3 a 0.5 m P tiene una Long. de onda de aprox. 30 m. La precisión: 0.3 m L1: tiene una Longitud de onda de aprox. 20 cm L2: tiene una Longitud de onda de aprox. 24 cm La precisión: 2 mm Posicionamiento Satelital

C/A tiene una Long. de onda de aprox. 300 m. La precisión: 3 a 0.5 m Los Observables C/A tiene una Long. de onda de aprox. 300 m. La precisión: 3 a 0.5 m El código C/A es un código pseudo aleatorio (pseudo random - PRN) transmitido con una frecuencia de 1.023 MHz, que luce como un código aleatorio, pero que responde a un patrón muy bien definido. Se repite cada 1023 bits o cada milisegundo. Cada milisegundo se generan 1023000 chips. Considerando la vel de la luz, la longitud de cada chip es de 300 m (long de onda asociada). Los satélites son identificados por el receptor a través del PRN-number P tiene una Long. de onda de aprox. 30 m. La precisión: 0.3 m El código C/A es la base para los receptores civiles. El código P (precise) modula sobre L1 y L2 y es un muy largo código pseudo aleatorio de 10.23 MHz. Tiene un período de 266 días pero se utilizan tramos de solo 7 días. Este código es encriptado (por seguridad) y transmitido como código Y (AS : anti-spoofing ). Posicionamiento Satelital

L1: tiene una Longitud de onda de aprox. 20 cm Los Observables L1: tiene una Longitud de onda de aprox. 20 cm L2: tiene una Longitud de onda de aprox. 24 cm La precisión: 2 mm Los recptores civiles usan la frecuencia L1 de 1575,42 MHz (long onda 19,05 cm). L1 transporta la información de navegación y el código SPS (standard positioning code). La frecuencia L2 de 1227,60 MHz (long onda 24,45 cm) solo transporta el código P y es utlizada por receptores con el servicio PPS (precision positioning code). Posicionamiento Satelital

Principio de la Observación de Distancias con Códigos Los Observables Principio de la Observación de Distancias con Códigos T1 Ti Tiempo GPS Generado en el Satélite Generado en el Receptor  Recibido en el Receptor  : Cantidad Observada  = c .  Distancia Satélite-Receptor Observada Posicionamiento Satelital

Pseudo Distancia (range) Los Observables Pseudo Distancia (range) T1 Ti Tiempo GPS dT Generado en el Satélite Generado en el Receptor  Recibido en el Receptor = c.( + dT ) = c.  + c.dT Pseudo Range Observada  + dT : Cantidad Observada dT: Error del reloj local Posicionamiento Satelital

Proceso de Autocorrelación Los Observables Proceso de Autocorrelación El receptor mide electrónicamente lo que debe desplazar la señal para producir la coincidencia Posicionamiento Satelital

Mediciones de diferencias de Fase Los Observables Mediciones de diferencias de Fase Tiempo GPS Generado en el Satélite dT Generado en el Receptor  Recibido en el Receptor  : Cantidad Observada dT: Error del reloj local Posicionamiento Satelital

dT: Error del reloj local, el retardo t o t* se calculan a partir de F Los Observables Generado en el Receptor Generado en el Receptor * Recibido en el Receptor  F (t) : Cantidad Observada o F (*) difieren en un ciclo, en gral, N ciclos ] dT: Error del reloj local, el retardo t o t* se calculan a partir de F  = c . (  - dT ) o bien * = c . ( * - dT ) en gral ** = c . ( ** - dT ) Posicionamiento Satelital

 = F . l - c . dT + N . l donde N es una ambigüedad Los Observables F (t**) = c . t** / l => t** = l . F / c ** = c . ( ** - dT ) = F . l - c . dT =>> r = r** + N . l con lo cual  = F . l - c . dT + N . l donde N es una ambigüedad Posicionamiento Satelital

Exactitud de los resultados (coordenadas) Modo observable precisión obs exactitud Posición C/A // 1 a 3 m // 3 a 10 m Aislada Posición fases // 2 mm // 3 a 10 m Posición C/A // 1 a 3 m // 1 a 3 m Relativa Posición fases // 2 mm // centímetros relativa Posicionamiento Satelital

Combinación de observables Combinaciones de Observables Combinación de observables Simples diferencias Satélite j Estaciones A y B SD(A,B,j) = Obs Aj – Obs Bj Se elimina lo que es común en j (en el satélite): principalmente los errores orbitales, los errores en los relojes de los satélites, los errores atmosféricos se minimizan si A es próximo a B j Obs Aj Obs Bj A B Posicionamiento Satelital

Dobles diferencias Combinaciones de Observables k Satélites j y k Estaciones A y B DD(A,B,j,k) = SD(A,B,j)-SD(A,B,k) DD = ( Obs Aj – Obs Bj ) - ( Obs Ak – Obs Bk ) Se elimina también lo que es común en A y en B: principalmente los errores en los relojes de los receptores. Obs Bk j Obs Ak Obs Bj Obs Aj A B Posicionamiento Satelital

Dobles diferencias de códigos {Obs = } Combinaciones de Observables Dobles diferencias de códigos {Obs = } k Obs Bk j Satélites j y k Estaciones A y B DD = (rAj-rBj) – (rAk-rBk) = c . [( Aj – dTA )– (Bj – dTB )] – c . [( Ak – dTA) – (Bk – dTB )] En el primer miembro están las órbitas Obs Ak Obs Bj Obs Aj A B Posicionamiento Satelital

Dobles diferencias de fases {Obs = f} Combinaciones de Observables Dobles diferencias de fases {Obs = f} k Satélites j y k Estaciones A y B DD = (rAj-rBj) – (rAk-rBk) = (l.fAj – c.dTA) – (l.fBj – c.dTB) – (l.fAk – c.dTA) + (l.f Bk – c.dTB ) + l . [( NAj – N Bj )+ (NBk – NAj)] El último [ ] encierra un número entero combinación de las ambiguedades individuales Obs Bk j Obs Ak Obs Bj Obs Aj A B Posicionamiento Satelital

Ecuaciones de observación Analicemos el primer término de las SD (  A ). A través de un desarrollo en series de Taylor: Para F=  y cj = x, y, z de la estación incógnita. cj – c0 = x – x0 = dx … dy, dz j r Aj r Bj B A Ahora consideremos dXB = 0 Con lo que la ecuación de simples diferencias queda  Aj –  Bj = 0Aj – 0Bj + cof x. dXA + cof y. dYA + cof z. dZA Posicionamiento Satelital

Ecuaciones de observación En general: DD(obs) – DD(cal)0 = cof x. dXA + cof y. dYA + cof z. dZA +  . [( NAj – N Bj )+ (NBk – NAj)] + ( Ion +  Trop) +  A B j k Considerando eliminados los efectos atmosféricos y relojes DD(obs) – DD(cal)0 = cof x. dXA + cof y. dYA + cof z. dZA +  . N +  Obs - Cal = cof x. dXA + cof y. dYA + cof z. dZA +  . N +  Consideremos: * 6 Satélites * 1 Observación cada 15 segundos 1 hora de observación continuada desde 2 receptores operando simultáneamente. Posicionamiento Satelital

Ecuaciones de observación Ejemplo de la observación simultánea de 2 receptores : 6 Satélites 1 Observación cada 15 segundos 1 hora de observación continuada desde 2 receptores operando simultaneamente Un satélite es tomado como referencia (ej. el “k” ) * En un instante (cada 15 seg) es posible construir 5 (6-1) observaciones de Dobles Diferencias. En 1 hora se dispondrá de n=1200 (4*60*5) ecuaciones de Dobles Diferencias. * Las incógnitas serán: dXA dYA dZA Njk Nnk Nsk Nrk Ntk ( m=8) Posicionamiento Satelital

cof*x dXA + cof*y dYA + cof*z dZA + l . N Aj-Bj-Ak+Bk = La Solución cof*x dXA + cof*y dYA + cof*z dZA + l . N Aj-Bj-Ak+Bk = (O – C) Aj-Bj-Ak+Bk M W = L M es la matriz de los coeficientes (Nro de Obs x Nro de Incóg). Tiene tantas filas como resulten del número de satélites – 1 (5) por el número de épocas y 8 columnas (para el ejemplo hay 5 ambigüedades distintas y 3 inc. de posición) W es la matriz de las incógnitas (columna) W = (dXA, dYA, dZA, N1, N2, N3, N4, N5)T (si el número de satélites cambia se agregan nuevas ambigüedades) L es la matriz (O-C) contiene las observaciones O y los modelos con los que se aproxima la observación C (tiene el mismo número de filas que M) Posicionamiento Satelital

La Solución Se trata de un sistema con más ecuaciones que incógnitas. Una posibilidad es resolverlo con el método de los mínimos cuadrados, que para una distribución normal de errores aleatorios (de las observaciones) provee los mejores estimadores de las incógnitas y sus errores, minimizando la suma de los cuadrados de los residuos. M . W = L MT . M . W = MT . L MT es la matriz traspuesta de M Es un sistema normal con igual número de incógnitas que de ecuaciones (se puede resolver) Formalmente se puede invertir MT . M W = (MT . M)-1 . MT . L Que es la solución del problema ! Posicionamiento Satelital

La varianza se obtiene de VT.V s es el error medio cuadrático (RMS) La Solución Si Wc es el conjunto de incógnitas “calculadas” por el proceso anterior, su multiplicación por M produce un vector Lc calculado M . Wc = Lc La diferencia entre los originales L y los cálculados a partir de las incógnitas Wc V = L – Lc es el vector de los residuos que deja cada ecuación respecto de la solución calculada. La varianza se obtiene de VT.V s2 = VT . V / (n - m) s es el error medio cuadrático (RMS) Posicionamiento Satelital

Comienza un complejo proceso de búsqueda de soluciones “fijas” Solución - Comentarios W = (MT . M)-1 . MT . L W tiene las tres incógnitas de posición (que son las que interesan) y todas las combinaciones de ambigüedades necesarias a lo largo de la observación. Cada nuevo satélite que se incorpora a las observaciones agrega 1 nueva ambigüedad La primera solución será “flotante”, esto quiere decir que aunque es sabido a priori que las N son enteras, esto no resultará de la solución, en la que las primeras N serán nros. reales. Comienza un complejo proceso de búsqueda de soluciones “fijas” Posicionamiento Satelital

Solución - Comentarios En la primera solución (flotante), los errores inducen a que N* = Nver + dN Siendo N* la que se obtiene del cálculo, Nver la verdadera solución entera dN el resultado de una combinación de errores El proceso de decidir cual es la Nver a partir de N* y el error estimado para dicha incógnita eN* puede ser complejo y demandar la mayor parte del tiempo de cálculo de una base. Solo para fijar ideas, supongamos N* = 500,11 y eN* = 0.10. Si suponemos que el valor verdadero está en un intervalo de N* + 3 eN* a N* - 3 eN* proponemos Nver = 500 Entre 500.41 y 499.81 solo cae un entero => 500 La suposición fue correcta, se dice que la ambigüedad ha sido resuelta o fijada. Pero que pasaría si N* resultara = 500.45 ?? O si eN* = 0,3 ?? Posicionamiento Satelital

Solución - Comentarios Una vez fijadas satisfactoriamente todas las ambigüedades como números enteros se resuelve nuevamente: W = (MT . M)-1 . MT . L Pero ahora W = (dXA, dYA, dZA)T El sistema a resolver tiene solo 3 incógnitas !! Cuando se han resuelto satisfactoriamente todas las ambigüedades se dice que la solución es FIJA Cuando una o más ambigüedades permanecen como números reales se dice que la solución es FLOTANTE A B j k Posicionamiento Satelital

Los Observables A B j0 k0 k1 j1 Si las posiciones representadas en la figura corresponden a épocas consecutivas t0 y t1 K0 = K(t0) , K1= K(t1) Y lo mismo para J Es posible construir una combinación auxiliar que se llama “triples diferencias” que se arma a partir de restar ecuaciones de dobles diferencias para épocas consecutivas Las ecuaciones de triples diferencias no tienen ambigüedades, es esto una ventaja ? Posicionamiento Satelital

Solución - Comentarios B k0 k1 Las ecuaciones de triples diferencias no tienen ambigüedades, es esto una ventaja ? NO ! 1. El hecho que las ambigüedades sean enteras es un dato que robustece la solución porque estamos agregando información al sistema. 2. La combinación de triples diferencias produce ecuaciones muy correlacionadas. 3. Pero tienen una utilidad muy importante para detectar saltos de ciclo cuando se pierde la señal por unos instantes. Posicionamiento Satelital

3. Luego se realiza una solución de dobles diferencias flotante. Solución - Comentarios 1. En gral. el procesamiento se hace comenzando por una solución de códigos que provee una solución aprox. X0,Y0,Z0 2. Continúa con una solución de triples diferencias para detectar y reparar ciclos perdidos. 3. Luego se realiza una solución de dobles diferencias flotante. 4. Comienza el proceso para fijar ambigüedades. 5. Solución final de dobles diferencias: “fija” si el punto 4 fue exitoso, “flotante” en caso contrario. A B j k Posicionamiento Satelital

Técnicas de los receptores La L2 y el código P (1) 1. El código P sufre una encriptación para convertirse en código Y. Se llama AS (anti spoofing) y tiene el objetivo de impedir falsificaciones. 2. El código Y no es conocido para usuarios civiles, luego la L2 no puede obtenerse directamente decodificando el código P. L1 = M . C/A . sen (w1t) + M . P1 . cos (w1t) L2 = M . P2 . sen (w2t) 3. Pero Y es el mismo en L1 y L2 !! 4. “Cross correlation” implica correlacionar L1 con L2 para obtener diferencias de fase (L1 - L2) y diferencias de código (P1 - P2) en L2 (es la técnica de Trimble). 5. “P-W tracking”: el código Y se obtiene multiplicando el código P por otro W que tiene una frecuencia menor. Es decir que hay tramos intactos del código P original. Esta técnica es capaz de medir fases y códigos en los tramos no afectados Posicionamiento Satelital

Observables - Comentarios La L2 y el código P 1. La L2 tiene una importancia capital cuando la base se alarga (porque permite eliminar los efectos ionósfericos). 2. El código P (o una estimación de él) medido en ambas frecuencias, P1 y P2, tiene una importancia enorme en algunos métodos estáticos rápidos o procesos de inicialización, porque permite decorrelacionar los efectos inosféricos de la estimación de ambigüedades. Posicionamiento Satelital

Estático clásico Técnicas de observación k j A Dx Dy Dz B Los receptores permanecen fijos en A y en B durante toda la observación. A posteriori, las observaciones registradas se procesan en forma conjunta en una computadora. Dependiendo de la precisión buscada, el tiempo de permanencia varía desde 40 min a horas o días. Las precisiones típicas son de 1 cm + 1 ppm en las coordenadas horizontales y algo peor en altura. j A Dx Dy Dz B Posicionamiento Satelital

Punto de la Red Geodésica Punto de Referencia en la zona de Trabajo Técnicas de observación Cinemático y RTK P2 Punto de la Red Geodésica P3 P1 P4 Punto de Referencia en la zona de Trabajo P5 Método cinemático (stop and go y/o continuo): un receptor permanece fijo en una estación de coordenadas conocidas y el segundo se desplaza deteniéndose brevemente en los puntos a posicionar (Stop & Go). . Los receptores modernos tienen inicialización OTF (On The Fly) ----------- INICIALIZACION ----------- Ø La técnica descripta puede aplicarse para obtener resultados en tiempo real (RTK: Real Time Kinematics) para lo cual es necesario agregar un transmisor en la estación base y un receptor en el equipo móvil. Posicionamiento Satelital