Microeconomía Superior I: Tema 2 Rafael Salas octubre de 2005 UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID Departamento de Fundamentos del Análisis Económico I Microeconomía Superior I: Tema 2 Rafael Salas octubre de 2005

2. Las preferencias del consumidor 1. Enfoque ordinal. Axiomas de la elección racional: supuestos sobre las preferencias. 2. Las curvas de indiferencia. Propiedades. La función de utilidad. La construcción de las funciones de utilidad.

Dos enfoques de la utilidad 1. Enfoque cardinal: marginalistas. La utilidad es medible y comparable cardinalmente: la utilidad transmite información cuantitativa Si U(x) = 2U(x'), x es preferido el doble que x' 2. Enfoque ordinal moderno: Hicks La utilidad es medible pero comparable ordinalemente: la utilidad sólo transmite información cualitativa. Si U(x) > U(x') sólo quiere decir que x es preferido a x', pero no dice nada sobre cuánto más preferido Es un enfoque más general (no tan restrictivo)

Ejemplos: La distancia El peso La temperatura cardinal ordinal oF 50 100 oC 10 37,8 Es importante en nuestro caso, pues queremos un modelo donde la utilidad optimizada sea ordinal y el resultado de la elección no dependa de la escala de medida

Enfoque ordinal Establecemos un orden de preferencias que nos clasifique de mejor a peor las cestas de consumo (que no dependa de la escala de medida). (1) Enfoque axiomático: Partimos de unos axiomas y el orden de preferencias se establece mediante un mapa de curvas de indiferencia, Hicks 1939 (2) Enfoque de la preferencia revelada, Samuelson 1947 Sólo podemos tener en cuenta situaciones observadas para establecer el orden de preferencias

La relación (débil) de preferencias La relación de preferencia débil básica: x ≽ x' “ La cesta x es al menos tan preferida como la cesta x' ... ” Nótese que no es x  x' Podemos derivar a partir de la anterior la relación de indiferencia. x ∽ x' “ x ≽ x' ” y “ x' ≽ x” …y la relación de preferencia estricta… x ≻ x' “ x ≽ x' ” y no “ x' ≽ x”

Axiomas (enfoque axiomático) Completitud Transitividad Continuidad Monotonicidad (Estricta) Cuasi-concavidad Diferenciabilidad “ Para todo x,x'  Rn+ , bien x ≽ x' , ó x' ≽ x , ó los dos son verdad (en cuyo caso son indiferentes). ”

Completitud bien... ó... ...ó ambos (para todas las cestas)

La idea que transmite es que no se admite la “no comparabilidad” Completitud La idea que transmite es que no se admite la “no comparabilidad” Gráficamente, no hay “huecos” en el orden de preferencias

Completitud Definimos tres conjuntos: PD(x) ={x'  Rn+, si x' ≽ x} PREFERIDO DÉBILMENTE A x MPD(x) ={x'  Rn+, si x ≽ x' } MENOS PREFERIDO DÉBILMENTE A x I(x) ={x'  Rn+, si x ∽ x' } INDIFERENTE A x La completitud implica que dado un x , el resto de cestas de consumo pertenecen a PD(x), a MPD(x) o a I(x)

“ Para todo x,x', x' '  Rn+, si x' ≽ x y Axiomas Completitud Transitividad Continuidad Monotonicidad (Estricta) Cuasi-concavidad Diferenciabilidad “ Para todo x,x', x' '  Rn+, si x' ≽ x y x' ' ≽ x' , entonces x' ' ≽ x. ”

Transitividad si y ... entonces

Transitividad La idea que transmite es una cierta consistencia en las preferencias y evitar circularidades perversas Junto con la completitud, son la base de la racionalidad del consumidor (se puede establecer un orden débil de preferencias)

Transitividad Una cesta de consumo x no puede pertenecer simultáneamente a dos conjuntos de indiferencia diferentes La demostración se basa en la transitividad de la relación de indiferencia (demostrar) Implicación: los distintos conjuntos de indiferencia son disjuntos (no se solapan). Su intersección es nula

Completitud y Transitividad El conjunto de todas las cestas de consumo posibles se puede particionar en conjuntos de indiferencia disjuntos, con consistencia transitiva [Todas: se debe a la completitud (demostrar)] Esta es la base del orden de preferencias, que se crea a partir de esa partición exhaustiva y disjunta en conjuntos de indiferencia Ejemplos: 1. la altitud referida a las coordenadas geográficas (latitud y longitud) en un mapa topográfico ¿cumplen los axiomas de completitud y transitividad?¿se puede realizar una partición exhaustiva y disjunta? 2.El orden de preferencia lexicográfico ¿satisface dichos axiomas?

(Estricta) Cuasi-concavidad Diferenciabilidad Axiomas Completitud Transitividad Continuidad Monotonicidad (Estricta) Cuasi-concavidad Diferenciabilidad “ Para todo x  Rn+, el conjunto PD(x) ={x'  Rn+, si x' ≽ x} y MPD(x) ={x'  Rn+, si x ≽ x' } son cerrados ”

Nota aclaratoria sobre la conjuntos cerrados Un conjunto cerrado es aquel que incluye su frontera. Una implicación es que el conjunto intersección PD(x) y MPD(x), que llamamos el conjunto de indiferencia I(x) ={x'  Rn+, si x ∽ x' }, es cerrado también. Normalmente, I(x) va a ser una curva “contínua”, en el sentido que no tiene “saltos” o discontinuidades” en ningún punto. No obstante, esta noción de continuidad puede complicarse pues el conjunto de indiferencia puede que sea “grueso”. En este sentido se trataría de una correspondencia y no función de indiferencia propiamente dicha. En este caso la idea de continuidad se complica. Este caso, no obstante, se excluirá más adelante con la monotonicidad.

Continuidad A Dada una cesta de consumo A. x2 El conjunto de indiferencia (en azul) es en este caso una curva “contínua” (aunque podría ser “grueso” y el concepto de continuidad se complicaría) x2 A x1

axiomas 1 a 3 son cruciales ... La función de utilidad completitud transitividad continuidad

La función de utilidad representa el orden de preferencias...Debreu 1959 x x' U(x) ³ U(x')

Existencia de la función de utilidad… U(x) A 200 C 150 100 B x1

Axiomas EJERCICIOS: (1) Define y y discute brevemente los axiomas en la teoría de la elección del consumidor: completitud, transitividad y continuidad. (2) Dadas la completitud y la transitividad, demostrad que dos curvas de indiferencia (con distintos niveles de satisfacción) no se pueden cortar. ¿Y con el mismo nivel de satisfacción? .

Axiomas EJERCICIOS: (3) Representad el orden de preferencias lexicográfico (a modo de diccionario) que se define: Dados x,y  x ≻ y  ¿Podemos representarlo por una función de utilidad? .

Claves de las funciones de utilidad Son contínuas Representan órdenes de preferencias Por lo tanto, la escala no importa Asi, si transformamos la función de utilidad utilizando cualquier forma monotóna...el orden de preferencias no varía

Irrelevancia de la cardinalización U(x1, x2,..., xn) Dada cualquier función de utilidad... 5+log( U(x1, x2,..., xn) ) Esta transformación representa las mismas preferencias... exp(U(x1, x2,..., xn) ) …y éstas también ( U(x1, x2,..., xn) ) a+f ( U(x1, x2,..., xn) ) y, en general, éstas... (f es cualquier función creciente y a es cualquier número real)

Una función de utilidad U(x1,x2) Curva de indiferencia x2 x1

Otra función de utilidad que representa las mismas preferencias U*(x1,x2) La misma curva de indiferencia x2 x1

Funciones de utilidad . EJERCICIOS: (4) Dada una función de utilidad U(x), cuáles son transformaciones monótonas V=2U-13, V=1/U2 , V=eU , V=U2 si U>0, y V=U2 si U<0? (5) Dada una función de utilidad U(x), la transformación V=a+bU(x), a<0 y b>0 representa las mismas preferencias? (6)¿Son iguales los órdenes de preferencias dados por U= x1 x2 y V= Ln x1 + Ln x2? ¿Y los dados por U= 14x1 + 14x2 y V= (x1 + x2) .

Axiomas que dan forma a la función de utilidad Completitud Transitividad Continuidad Monotonicidad (Estricta) Cuasi-concavidad Diferenciabilidad

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