Simulación Dr. Ignacio Ponzoni Clase II: Introducción a la Simulación Etapas de una Simulación y Simulación de Monte Carlo Departamento de Ciencias e Ingeniería de la Computación Universidad Nacional del Sur Año 2005

Simulación Computacional Es el proceso de diseñar un modelo computacional de un sistema y llevar a cabo experimentos con él, a fin de evaluar el impacto de introducir cambios tanto en la estructura interna del sistema como en las condiciones vinculadas al entorno del mismo. Entradas Modelo Computacional de Simulación Salidas (Políticas) (Respuestas) Decisión y Diseño de Experimentación

¿Cuál es el objetivo de una Simulación? Responder preguntas específicas sobre el comportamiento y características de funcionamiento del sistema que esta siendo modelado y simulado. Por ejemplo: si estoy simulando una planta ensambladora de automóviles, algunas metas o “preguntas” de interés pueden ser: ¿Cuál es la capacidad máxima de producción anual de la planta? ¿Cuál es la cantidad de obreros necesarios por turno para contar con un nivel óptimo de producción? ¿Cuántos recursos materiales serán necesarios para mantener en funcionamiento la planta en forma continua? ¿Con que frecuencia será necesario reemplazar equipos? ¿Cuál es el nivel de producción óptimo en función de la demanda?

¿Cuándo la simulación es una herramienta apropiada? No existe una formulación matemática del sistema bajo estudio, o bien, existe dicha formulación, pero no hay modelos analíticos para la resolución de la misma. Existen el modelo y los métodos, pero los procedimientos son tan arduos que resulta más sencillo y económico hacer una simulación. Se desea experimentar con un modelo antes de construir el sistema. Es imposible experimentar sobre el sistema real. La experimentación es posible, pero razones éticas lo impiden. El sistema real evoluciona muy lentamente, luego una simulación puede cambiar la escala de tiempo acelerando la obtención de datos sobre el sistema. En sistemas dinámicos en tiempo real, donde los modelos analíticos requieren una cantidad de cómputo que hacen imposible su aplicación.

¿Cuándo la simulación NO debe ser empleada? Si el problema puede se resuelto utilizando sentido común. Si se cuenta con un método analítico preciso y confiable para resolver el problema. Si es fácil experimentar directamente sobre el sistema. Si los costos de efectuar la simulación superan las ganancias de conocer sus resultados. Si no se dispone de los recursos suficientes para llevar adelante la simulación. Si no se dispone del tiempo suficiente para llevar adelante la simulación. Si el comportamiento del sistema es TAN complejo que no resulta factible construir un modelo de simulación.

Ventajas de la Simulación El impacto de implementar nuevas políticas, efectuar cambios dentro de una organización, introducir nuevas reglas de decisión, etc, pueden ser analizados sin afectar al sistema real. Nuevos sistemas de hardware, sistemas de transporte, etc, pueden ser testeados sin necesidad de construir dichos sistemas. La escala de tiempo puede ser modificada respecto del sistema real a fin de permitir un mejor estudio de su comportamiento. Permite estudiar la factibilidad de situaciones críticas, imposibles de experimentar sobre el sistema real.

Ciclo de Vida de un Modelo Computacional para Simulación Formulación del Problema Fijar Objetivos Construir Modelo Conceptual Recolección de Datos Traducción del Modelo No ¿Verificado? Si No No ¿Validado? Si Diseño de experimentos Corridas y análisis Si Si ¿Más corridas? No Reportes

Modelos Simulación Clasificación Los modelos de simulación pueden agruparse en: Estocásticos o Determinísticos Estáticos o Dinámicos Discretos o Continuos

Estocásticos y Determinísticos En algunos modelos, existen variables cuyos valores presentan cierto nivel de incertidumbre. Este tipo de variables, conocidas también como variables no controlables, se modelan mediante el uso variables aleatorias. Un modelo de simulación se dice ESTOCÁSTICO o NO DETERMINÍSTICO si posee variables aleatorias. Un modelo de simulación que no posee variables aleatorias se denomina DETERMINÍSTICO.

Modelos Simulación Casos de Estudio Modelos de Simulación Estática: Método de Monte Carlo Modelos de Simulación Dinámica: Sistemas de Colas Sistemas de Inventario Sistemas Continuos

Casos de Estudio Pautas Generales Introduciremos los distintos tipos de modelos de simulación a través de pequeños ejemplos académicos. Para cada problema efectuaremos las siguientes etapas: Especificar claramente el problema. Determinar el objetivo del estudio de simulación. Construir un modelo conceptual del sistema a simular. Traducir el modelo a una representación computacional. Diseñar los experimentos a realizar. Ejecutar la simulación y analizar los resultados.

Simulación de Monte Carlo El método de Simulación de Monte Carlo es básicamente un experimento cuyo propósito es estimar la distribución de una variable de salida del modelo que depende de variables de entrada aleatorias. Su rango de aplicación es amplio, aunque siempre dentro del campo de los modelos estáticos. Se emplea básicamente para evaluar el impacto de cambios de políticas, estrategias o metodologías de trabajo dentro de sistemas, y está fuertemente vinculado a análisis de riesgo y estudio de sensibilidad de variables.

Caso de Estudio: Dave´s Candies Especificación del Problema Dave´s Candies es una pequeña empresa familiar dedicada a la venta de chocolates y helados. Tradicionalmente, para el Día de San Valentín el negocio pone a la venta un producto especial denominado Chocolate del Día de San Valentine, el cual es comprado a un mayorista a $7.50 y vendido al público a $12. Todas las cajas que no se logran vender antes del 14 de febrero se ofrecen a un 50% de descuento, con lo cual se venden fácilmente. Históricamente el negocio vende entre 40 y 90 cajas cada año, sin una tendencia definida al incremento o decremento de ventas en particular.

Caso de Estudio: Dave´s Candies Objetivo de la Simulación El problema a resolver consiste en determinar cuantas cajas comprar al mayorista de forma tal de maximizar las ganancias. Por un lado, si la demanda supera la cantidad de cajas a la venta, se estarían perdiendo posibles ganancias por haber comprado una cantidad insuficiente de chocolates al mayorista. Por otra parte, si la cantidad de cajas a la venta es excesiva respecto de la demanda, el negocio puede sufrir pérdidas por tener que vender el excedente por debajo del costo.

Caso de Estudio: Dave´s Candies Construcción del Modelo Conceptual Variables, Parámetros y Relaciones Los datos de entrada para nuestro modelo son: Q: cantidad de cajas compradas al mayorista (variable de decisión). Factores de costo y valor de venta (constantes). D: demanda (variable probabilística, no controlable). La información de salida de la simulación es: Ganancia: la ganancia neta. Esta relación puede modelarse mediante la siguiente expresión:

Caso de Estudio: Dave´s Candies Construcción del Modelo Conceptual Pasos de la Simulación de Monte Carlo Dado un valor de la variable de decisión Q. Repetimos N veces los siguientes pasos: 1. Obtener un valor aleatorio para D (entre 40 y 90). 2. Usando los valores de Q y D se obtiene la Ganancia. 3. Registrar la Ganancia obtenida. Cada iteración del algoritmo se denomina réplica del experimento de simulación, o simplemente, réplica. Luego de ejecutadas todas las réplicas, se calcula el promedio de las N ganancias obtenidas, y ese valor será la ganancia estimada por el experimento de simulación para la cantidad Q fijada al principio.

Caso de Estudio: Dave´s Candies Armado del Modelo Computacional Diseño de la Tabla de Simulación Los modelos de simulación de Monte Carlo pueden implementarse facilmente organizando la información a través de tablas de simulación. En estas tablas, las columnas representan distintas variables del modelo, mientras que las filas están asociadas a distintas réplicas de un mismo experimento de simulación. Esta representación del modelo de simulación puede implementarse facilmente usando planillas de cálculo.

Caso de Estudio: Dave´s Candies Armado del Modelo Computacional Obtención del valor de Demanda La demanda debe modelarse a través de una distribución probabilística apropiada a la realidad del problema. Asumamos por simplicidad que la demanda se distribuye en forma uniforme entre los siguientes valores: 40,50,60,70,80,90. Luego, cada valor tiene una probabilidad de 1/6. Utilizando la función ALEATORIO de Excel podemos generar un número aleatorio que sigue una distribución uniforme continua con rango entre 0 y 1.

Caso de Estudio: Dave´s Candies Armado del Modelo Computacional Obtención del valor de Demanda Dado que nuestra distribución es uniforme discreta, para poder usar los números generados por ALEATORIO, debemos definir una tabla de distribución de probabilidades acumuladas.

Caso de Estudio: Dave´s Candies Armado del Modelo Computacional Obtención del valor de Demanda Se emplea la función BUSCARV (VLOOKUP) la cual tiene 3 parámetros: Valor de Referencia (número aleatorio) Matriz de Búsqueda (tabla de distribución de prob.) Indice de la columna de resultado (demanda) La función recorre la primera columna de la Matriz de Búsqueda hasta encontrar una celda cuyo valor resulte mayor al Valor de referencia. Luego, retrocede una fila y avanza dentro de esa misma fila hacia la columna correspondiente al Indice de la columna resultado y retorna el valor que se encuentra en dicha celda.

Caso de Estudio: Dave´s Candies Armado del Modelo Computacional Obtención del valor de Demanda

Caso de Estudio: Dave´s Candies Armado del Modelo Computacional Cálculo de la Ganancia

Caso de Estudio: Dave´s Candies Diseño de Experimentos Una vez construido el modelo computacional se deben diseñar los experimentos que vamos a realizar. Para efectuar esta tarea debemos tener en cuenta cuales son los objetivos del estudio de simulación. En general, los objetivos de la simulación están estrechamente vinculados a determinar cual es el valor “óptimo”que podemos asignar a cada variable de decisión. Este conjunto de variables son controlables y sus valores configuran el modelo. Si logramos decidir cuál es el mejor valor para cada una de ellas, estaremos encontrando indirectamente la configuración “óptima” para el funcionamiento del sistema que estamos simulando.

Caso de Estudio: Dave´s Candies Diseño de Experimentos En este problema, el objetivo consiste en determinar cuantas cajas comprar al mayorista de forma tal de maximizar las ganancias. En otras palabras, el problema se reduce a hallar el valor de Q que maximiza la ganancia. De la especificación inicial del problema, sabemos que históricamente se venden entre 40 y 90 cajas de chocolate de cada año. Luego, podemos experimentar con los siguientes valores para la variable de decisión Q: 40, 50, 60, 70, 80 y 90.

Caso de Estudio: Dave´s Candies Diseño de Experimentos Otro aspecto a decidir al momento de diseñar los experimentos es la cantidad de réplicas a ejecutar. En general, este número depende de: las características y complejidad del modelo, el método usado para la generación de números aleatorios, y el tiempo de ejecución que requiere computar cada réplica. Más allá las particularidades de cada caso, se recomienda siempre experimentar con una cantidad significativamente grande de réplicas a fin de obtener resultados confiables desde un punto de vista estadístico.

Caso de Estudio: Dave´s Candies Ejecución y Análisis de Resultados Consideremos a modo de ejemplo que se decide realizar 10 réplicas del experimento correspondiente a Q = 60. Ganancia Promedio = $ 246

¿Qué información brinda este experimento? Caso de Estudio: Dave´s Candies Ejecución y Análisis de Resultados ¿Qué información brinda este experimento? Nos permite obtener una estimación de la ganancia promedio que podemos obtener comprando 60 cajas. Nos ayuda a establecer el riesgo de decidir comprar 60 cajas en función de la frecuencia de distribución de ganancias.

Caso de Estudio: Dave´s Candies Ejecución y Análisis de Resultados Frecuencia de Distribución de Ganancias para la Simulación con Q = 60 y 10 réplicas. Ganancia | Frecuencia $ 150 | 10 % $ 210 | 20 % $ 270 | 70 %

Caso de Estudio: Dave´s Candies Ejecución y Análisis de Resultados Repitiendo la simulación para Q=60 con 100 réplicas se obtuvo la siguiente distribución de valores: Ganancia | Frecuencia $ 150 | 20 % $ 210 | 22 % $ 270 | 58 % Ganancia Promedio = $ 232.80 Comparando la gran diferencia existente entre estos valores y los obtenidos para 10 réplicas se aprecia la importancia de efectuar una cantidad importante de repeticiones del experimento.

Resultados obtenidos para los distintos experimentos. Caso de Estudio: Dave´s Candies Ejecución y Análisis de Resultados Resultados obtenidos para los distintos experimentos.

Recomendaciones Lectura recomendada para los temas vistos en clase: Capítulo 1 del libro “Discrete-Event System Simulation” de Banks, Carson, Nelson y Nicol. Capítulo 2 del libro “Introduction to Simulation and Risk Analysis” de Evans y Olson. Ejercitación propuesta: Trabajo Práctico 2: Introducción a la Simulación.