Tema 8 - Proporcionalidad OBSERVA - PÁRATE - PIENSA Y… PRACTICA

8 - Proporcionalidad Objetivos *Expresar una razón como cociente de dos números *Formar proporciones. Dados tres números calcular su cuarto proporcional. *Identificar magnitudes que son directamente e inversamente proporcionales. *Resolver problemas, usando reglas de tres ,tablas de datos, proporciones …. *Calcular porcentajes. *Resolver problemas con porcentajes

La proporcionalidad es una relación o razón constante entre magnitudes medibles Existen dos tipos de proporcionalidad, una inversa y otra directa, aunque, ambas sirven para resolver aquellos problemas en donde se conoce una razón y tan solo un dato de la segunda.

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Razón es el cociente entre dos números a y b Razón y proporción Cuando comparamos dos cantidades formamos una razón. Razón es el cociente entre dos números a y b Se escribe a/b 0 a:b y se lee ……….. "a es a b" “a sobre b” Una razón sirve para comparar: indica el nº de veces que una cantidad es mayor que otra. *Observa que una razón no es una fracción, en una razón los números pueden ser decimales y en una fracción son enteros. Ejem: El bote de pintura grande pesa 4,5 kg y el pequeño 1,5 kg. -¿Cuál es la razón entre el peso del bote grande y el peso del bote pequeño?. -¿Qué indica? La razón es 3 y nos indica que el bote grande pesa 3 veces más que el pequeño.

Proporción Una proporción es una igualdad entre dos razones: "a es a b” como “c es a d“ “a sobre b”· es proporcional a “ sobre d” TÉRMINOS a y d se llaman extremos b y c se llaman medios *Las proporciones cumplen la siguiente propiedad fundamental: En una proporción el producto de medios es igual al producto de extremos. a·d = c·b

Las dos razones son iguales, forman proporción. Vamos a comparar razones Ejem: En el cuadro tenemos las horas diarias que dedican Luis y Ana al juego y al estudio. Tanto Luis como Ana dedican el doble de tiempo al juego que al estudio. Las dos razones son iguales, forman proporción. Se lee “3 es a 1,5 como 5 es a 2,5”

Lo representaremos con la letra x. Cálculo del cuarto proporcional Cuarto proporcional Dado que el producto de medios es igual al de extremos, podemos calcular cualquier término de una proporción conociendo los otros tres. Se llama cuarto proporcional al término que desconocemos en una proporción, conocidos los otros tres términos. Lo representaremos con la letra x. x·4 = 6·24 x= 6 × 24 =36 4 8·x = 72·3 x= 72 × 3 =27 8

Medio proporcional Una proporción es continua si tiene los dos medios iguales o los dos extremos iguales Para calcular el medio proporcional de una proporción continua se extrae la raíz cuadrada del producto de los términos conocidos.  X · X = 3 · 12  X = 36  X = 6

Proporcionalidad directa 30 € 6 € 18 € 12 € Magnitudes directamente proporcionales Dos magnitudes son directamente proporcionales si, *al multiplicar una de ellas por un nº, la otra queda multiplicada por el mismo número, o * al dividir una de ellas por un número cualquiera, la otra queda dividida por el mismo número Las dos magnitudes (nº balones y coste) son directamente proporcionales porque a doble, triple,.. cantidad de la primera le corresponde doble, triple,... cantidad de la segunda. Edad y altura no son directamente proporcionales. A doble, triple... edad no le corresponde doble, triple, altura.

Son magnitudes directamente proporcionales: EJEMPLOS Son magnitudes directamente proporcionales: a) -el peso de un producto y su precio. Si 1 kg de tomates cuesta 1 €, 2 kg costarán 2 € ½ kg costará 50 céntimos. Es decir: b) -El espacio recorrido por un móvil y el tiempo empleado. c) -El volumen de un cuerpo y su peso. d) -La longitud de los lados de un polígono y su área. A más kilogramos de tomate más euros. A menos kilogramos de tomate menos euros.

Constante de proporcionalidad directa Dos magnitudes cuyas cantidades se corresponden con una tabla así TABLA DE DATOS Construimos una tabla de datos son directamente proporcionales si se verifica que a'/a = b'/b = c'/c = ... = k siendo k la razón de proporcionalidad. Las dos magnitudes son directamente proporcionales. Al dividir los valores de la 2ª magnitud entre los de la 1ª se obtiene el mismo resultado: La constante de proporcionalidad directa, k, se calcula al dividir una cantidad cualquiera de la 2ª magnitud entre la correspondiente de la 1ª. El cociente 0’4 se llama constante de proporcionalidad

Problemas de proporcionalidad directa En muchos problemas de la vida real intervienen dos magnitudes directamente proporcionales. Conociendo tres cantidades nos piden calcular un cuarto dato. Para resolverlos disponemos de varios métodos: *reducción a la unidad *tablas de datos *regla de tres *proporción (igualdad entre dos razones Método de reducción a la unidad hay que dar los siguientes pasos: a) Comprobar que las dos magnitudes son directamente proporcionales. b) Localizar el dato desconocido. Dividiendo se calcula el valor de la 2º magnitud que corresponde a una unidad de la 1ª. Multiplicando adecuadamente se calcula el valor deseado. EJEMPLO: Si 5 lápices cuestan 2 €. ¿Cuánto costarán 8 lápices? a) ¿Son directamente proporcionales? Las magnitudes nº de lápices y coste son directamente proporcionales. Doble, triple... nº de lápices costarán doble, triple...de € b) Localizar dato c) Reducir a la unidad costará un lápiz d) Contestar la pregunta costarán 8 lápices

Regla de tres simple directa Comprobar que las dos magnitudes son directamente proporcionales. Separar en dos columnas las magnitudes, relacionadas con flechas. El dato desconocido, se escribe X Resolver EN CRUZ EJEMPLO: Si 5 lápices cuestan 2 €. ¿Cuánto costarán 8 lápices? a) ¿Son directamente proporcionales?. Las magnitudes nº de lápices y coste son directamente proporcionales. Doble, triple... nº de lápices costarán doble, triple...de € b, c) Relacionar las magnitudes con flechas. 5 lápices ------- 2 € 8 lápices ------- x d) Resolver en cruz 5 · X = 2 · 8 Solución: ocho lápices cuestan 3,2 €

Un saco de patatas pesa 20 kg. ¿Cuánto pesan 2 sacos? Tabla de datos Un saco de patatas pesa 20 kg. ¿Cuánto pesan 2 sacos? Un cargamento de patatas  pesa 520 kg ¿Cuántos sacos de 20 kg se podrán hacer?   20 es el valor de la unidad o constante de proporcionalidad Para pasar de la 1ª fila a la 2ª basta multiplicar por 20 Para pasar de la 2ª fila a la 1ª dividimos por 20  Observa que:     Solución : Dos sacos pesan 40 kg Nº sacos 1 2 5 20 …. 26 Peso kg 40 100 400 520

20% REBAJAS PORCENTAJES Son proporciones directas Consideradas sobre 100 partes PÁRATE- PIENSA En época de rebajas seguro que has visto en los escaparates carteles como el de la fotografía. Si la camiseta que te gusta costaba 25 € y nos hacen un descuento del 20% ¿Cuánto ahorrarás?  20% de 25 € = 20 · 25 : 100 = 5 € ¿Cuánto pagarás realmente? 25 – 5 = 20 € Otros ejemplos *Para elaborar una receta (tarta) es necesario mantener las proporciones entre sus ingredientes. *Los mapas deben dibujarse manteniendo las proporciones con la realidad (escala)

PORCENTAJE COMO REGLA DE TRES Un porcentaje es un tipo de regla de tres directa en el que una de las cantidades es 100. Ejemplos: Una moto cuyo precio era de 5.000 €, cuesta en la actualidad 250 € más. ¿Cuál es el porcentaje de aumento? 5000 € 250 € 100 €    x € Solución : El 5%.

Proporcionalidad inversa Se dice que dos magnitudes son inversamente proporcionales si: - al multiplicar una de ellas por un número, la otra queda dividida por el mismo número, o  -al dividir una de ellas por un número, la otra queda multiplicada por el mismo número,          . Dos magnitudes cuyas cantidades se corresponden según la siguiente tabla: son inversamente proporcionales si se verifica que: a.a’ = b.b’ = c.c’ = ... Magnitud 1ª a b c ….. a´ 1b´ c´ … Al producto de las dos magnitudes, se le llama constante de proporcionalidad inversa

Por tanto las magnitudes son inversamente proporcionales Ejemplo : Si 3 hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo, ¿cuántos días emplearán 18 hombres para realizar el mismo trabajo? -En este caso a doble número de trabajadores, el trabajo durará la mitad; a triple número de trabajadores, el trabajo durará la tercera parte, etc. Por tanto las magnitudes son inversamente proporcionales Nº de hombres 3 6 9 18 Días 24 12 8 … Vemos que los productos 3 · 24 = 6 ·12 = 9 · 8 = 72 Por tanto 18 · x = 72 x = 72 : 18 x = 4 Solución : los 18 hombres tardarán 4 días en hacer el trabajo

PROPORCIONES DE LA FIGURA HUMANA El dibujo de Leonardo da Vinci ilustra la relación entre el círculo y el cuadrado con las proporciones y configuración de la figura humana. El dibujo está basado en las teorías del arquitecto romano, Marco Vitrubio, sobre la aplicación de la sección áurea, o proporción divina

proporcionalidad significa conformidad o proporción de unas partes con el todo o de cosas relacionadas entre sí.

La cantidad de rumores inútiles que un hombre puede soportar es inversamente proporcional a su inteligencia.