Investigación Operativa II

El problema Cada vez es más difícil asignar los recursos o actividades de la forma más eficaz Los recursos son escasos Los sistemas son cada vez más complejos

Investigación operativa (I.O.) Es la aplicación del método científico para asignar los recursos o actividades de forma eficaz, en la gestión y organización de sistemas complejos Su objetivo es ayudar a la toma de decisiones Requiere un enfoque interdisciplinario

Historia de la I.O. Se aplica por primera vez en 1780 Antecedentes: – Matemáticas: modelos lineales (Farkas, Minkowski) (s.XIX) – Estadística: fenómenos de espera (Erlang, Markov) (años 20) – Economía: Quesnay (x.XVIII), Walras (s.XIX), Von Neumann (años 20) El origen de la I.O. moderna se sitúa en la 2ª Guerra Mundial

Historia de la I.O. Al terminar la guerra, sigue el desarrollo en la industria, debido a: – competitividad industrial – progreso teórico RAND (Dantzig) Princeton (Gomory, Kuhn, Tucker) Carnegie Institute of Technology (Charnes, Cooper) – gran desarrollo de los ordenadores

Actualidad de la I.O. Sigue habiendo un gran desarrollo, en muchos sectores, con grandes avances sobre todo en el campo de la Inteligencia Artificial Más información: – Sociedad Española de Estadística e Inv. Op. (SEIO) – Association of European O.R. Societies (EURO) – Institute for O.R. and the Management Sci. (INFORMS) – International Federation of O.R. Societies (IFORS)

El método de la I.O. Definición del problema Formulación del problema y construcción del modelo Resolución Verificación, validación, refinamiento Interpretación y análisis de resultados Implantación y uso extensivo A lo largo de todo el proceso debe haber una interacción constante entre el analista y el cliente

El modelado Es una ciencia – análisis de relaciones – aplicación de algoritmos de solución Y a la vez un arte – visión de la realidad – estilo, elegancia, simplicidad – uso creativo de las herramientas – experiencia

Definición del problema Consiste en identificar los elementos de decisión – objetivos (uno o varios, optimizar o satisfacer) – alternativas – limitaciones del sistema Hay que recoger información relevante (los datos pueden ser un grave problema) Es la etapa fundamental para que las decisiones sean útiles

Formulación del problema Modelo: representación simplificada de la realidad, que facilita su comprensión y el estudio de su comportamiento Debe mantener un equilibrio entre sencillez y capacidad de representación Modelo matemático: modelo expresado en términos matemáticos – hace más claras la estructura y relaciones – facilita el uso de técnicas matemáticas y ordenadores – a veces no es aplicable

Construcción del modelo Traducción del problema a términos matemáticos – objetivos: función objetivo – alternativas: variables de decisión – limitaciones del sistema: restricciones Pero a veces las relaciones matemáticas son demasiado complejas – heurísticos – simulación

Tipos de modelos Determinísticos – Programación matemática Programación lineal Programación entera Programación dinámica Programación no lineal Programación multiobjetivo – Modelos de transporte – Modelos de redes Probabilísticos –Programación estocástica –Gestión de inventarios –Fenómenos de espera (colas) –Teoría de juegos –Simulación

Resolución Determinar los valores de las variables de decisión de modo que la solución sea óptima (o satisfactoria) sujeta a las restricciones Puede haber distintos algoritmos y formas de aplicarlos

Verificación y validación Eliminación de errores Comprobación de que el modelo se adapta a la realidad

Interpretación y análisis Robustez de la solución óptima obtenida: Análisis de sensibilidad Detección de soluciones cuasi-óptimas atractivas

Implantación Sistema de ayuda y mantenimiento Documentación Formación de usuarios

Ejemplo nº1 En una fábrica de cerveza se producen dos tipos: rubia y negra. Su precio de venta es de 50 ptas/l y 30 ptas/l, respectivamente. Sus necesidades de mano de obra son de 3 y 5 empleados, y de y ptas de materias primas por cada 1000 l. La empresa dispone semanalmente de 15 empleados y ptas para materias primas, y desea maximizar su beneficio. ¿Cuántos litros debe producir?

Formulación

El modelo de P.L.

z: función objetivo C T (c 1,...,c n ): vector de coeficientes de la f.o. X T (x 1,...,x n ): vector de variables de decisión A (...,a ij,...): matriz de coeficientes técnicos b (b 1,...,b m ): vector de demandas Matricialmente, Opt C T X s.a. AX b x  0 Forma canónica

Propiedades del modelo lineal Proporcionalidad – La contribución al coste y a las restricciones es directamente proporcional al valor de cada variable Aditividad – El coste y las restricciones son la suma directa de las variables Divisibilidad – Las variables pueden dividirse en cualquier tipo de fracción

Modelos de prog. entera El modelo matemático es el modelo de P.L., pero con algunas variables enteras – Programación entera mixta (MIP) x  R +, y  Z + – Programación entera pura (IP) x  Z + – Programación binaria ó 0-1 (0-1 MIP, 0-1 IP, BIP) x  {0,1}: variables de asignación, lógicas Son problemas más complicados de resolver que los de P.L. El primer algoritmo de resolución se planteó en el año 1958 (Gomory)

Problemas típicos Problema del transporte Problema de flujo con coste mínimo en red Problema de asignación Problema de la mochila (knapsack) Problema del emparejamiento (matching) Problema del recubrimiento (set-covering) Problema del empaquetado (set-packing) Problema de partición (set-partitioning) Problema del coste fijo (fixed-charge) Problema del viajante (TSP) Problema de rutas óptimas

Problema del transporte Minimizar el coste total de transporte entre los centros de origen y los de destino, satisfaciendo la demanda, y sin superar la oferta x ij : unidades a enviar de origen i a destino j c ij : coste unitario de transporte de i a j a i : unidades de oferta en el punto origen i b j : unidades de demanda en el punto destino j Se supone oferta total igual a demanda total

Flujo con coste mínimo en red Embarcar los recursos disponibles a través de la red para satisfacer la demanda a coste mínimo x ij : unidades enviadas de i a j (flujo) c ij : coste unitario de transporte de i a j b i :recursos disponibles en un nodo i oferta: b i >0 demanda: b i <0 transbordo: b i =0 Se supone oferta total igual a demanda total

Problema de asignación x ij : 1 si la tarea i se hace con la máquina j c ij : coste de realizar la tarea i con máquina j n tareas m máquinas Si hay más máquinas que tareas se formula con desigualdades, y se resuelve con tareas ficticias Minimizar el coste total de operación de modo que: - cada tarea se asigne a una y sólo una máquina - cada máquina realice una y sólo una tarea

Problema de la mochila n objetos a j : espacio que ocupa el objeto j c j : valor del objeto j b: volumen de la mochila x j : 1 si se escoge el objeto j Escoger un grupo de productos que maximice el valor total sin exceder el espacio disponible

Problema de rutas N: clientes M: vehículos x ijk =1 si el vehículo k visita j después de i c ij : coste unitario de transporte de i a j d ij : distancia de i a j t ij : tiempo de i a j q i : demanda s i : tiempo de descarga  i : prioridad Q k : capacidad r o k, d o k : período tiempo disponible c k : coste fijo por uso Minimizar el coste total, visitando todos los clientes

Administracion del Tiempo El problema de la administración de proyectos surgió con el proyecto de armamentos del Polaris, empezando Con tantos componentes y subcomponentes juntos producidos por diversos fabricantes, se necesitaba una nueva herramienta para programar y controlar el proyecto. El PERT (evaluación de programa y técnica de revisión) fue desarrollado por científicos de la oficina Naval de Proyectos Especiales. Booz, Allen y Hamilton y la División de Sistemas de Armamentos de la Corporación Lockheed Aircraft. La técnica demostró tanta utilidad que ganó amplia aceptación tanto en el gobierno como en el sector privado de los Estados Unidos.

Administracion del Tiempo El PERT /(Técnica de Evaluación y Revisión de Programas, Program Evaluation and Review Technique ) fue diseñado para proporcionar diversos elementos útiles de información para los administradores del proyecto. El PERT considera los recursos necesarios para completar las actividades. En muchos proyectos, las limitaciones en mano de obra y equipos hacen que la programación sea difícil. El PERT identifica los instantes del proyecto en que estas restricciones causarán problemas y de acuerdo a la flexibilidad permitida por los tiempos de holgura de las actividades no críticas, permite que el gerente manipule ciertas actividades para aliviar estos problemas.

Administacion del tiempo DEFINICION El Sistema PERT es un proceso administrativo de planeación, programación, ejecución y control de todas y cada una de las actividades componentes de un proyecto que debe desarrollarse dentro de un tiempo crítico y al costo óptimo.

Usos del Sistema PERT El campo de acción de este método es muy amplio, dada su gran flexibilidad y adaptabilidad a cualquier proyecto grande o pequeño. Para obtener los mejores resultados debe aplicarse a los proyectos que posean las siguientes características: a. Que el proyecto sea único, no repetitivo, en algunas partes o en su totalidad. b. Que se deba ejecutar todo el proyecto o parte de el, en un tiempo mínimo, sin variaciones, es decir, en tiempo crítico. c. Que se desee el costo de operación más bajo posible dentro de un tiempo disponible.

METODOLOGIA En este sistema, se requiere un estimado de tiempo. Todos los cálculos se hacen con la suposición de que los tiempos de actividad se conocen. A medida que el proyecto avanza, estos estimados se utilizan para controlar y monitorear el progreso. Si ocurre algún retardo en el proyecto, se hacen esfuerzos por lograr que el proyecto quede de nuevo en programa cambiando la asignación de recursos.

METODOLOGIA El Sistema consta de dos ciclos: 1. Planeación y Programación Definición del proyecto Lista de Actividades Matriz de Secuencias Matriz de Tiempos Red de Actividades Costos y pendientes Compresión de la red Limitación de tiempo y recursos Matriz de elasticidad Probabilidad de retraso

METODOLOGIA 2. Ejecución y Control Aprobación del proyecto Ordenes de trabajo Gráficas de control Reportes y análisis de los avances Toma de decisiones y ajustes

Ventajas del Pert 1.OBLIGA A ANALIZAR LAS TAREAS INVOLUCRADAS Y VER LAS PRECEDENCIAS DE TAREAS 2.PERMITE ESTIMAR EL TIEMPO DE TERMINACION Y EL COSTO TOTAL DEL PROYECTO 3.DETECTA TAREAS NO CRITICAS POSIBLES DE RETASAR 4.POSIBILITA ANALIZAR LAS CONSECUENCIAS DE CAMBIOS DE RECURSOS Y COMO AFECTAN LOS TIEMPOS Y COSTOS

Representacion Grafica Para aplicar CPM o PERT se requiere conocer la lista de actividades que incluye un proyecto. Se considera que el proyecto esta terminado cuando todas las actividades han sido completadas. Para cada actividad, puede existir un conjunto de actividades predecesoras que deben ser completadas antes de que comience la nueva actividad. Se construye una malla o red del proyecto para graficar las relaciones de precedencia entre las actividades. En dicha representación grafica, cada actividad es representada como un arco y cada nodo ilustra la culminación de una o varias actividades.

Consideremos un proyecto que consta de solo dos actividades A y B. Supongamos que la actividad A es predecesora de la actividad B. La representación grafica de este proyecto se muestra en la figura. Así, el nodo 2 representa la culminación de la actividad A y el comienzo de la actividad B.

El el caso siguiente tenemos dos actividades consecutuvas