-Raúl Ojeda Osorio -Jordy Joaquin Cuan Robledo Algoritmo de Choleski -Raúl Ojeda Osorio -Jordy Joaquin Cuan Robledo

¿Quién fue André-Louis Cholesky? André-Louis Cholesky (15 de octubre de 1875 - 31 de agosto de 1918) matemático francés nacido en Montguyon, Francia. Estudió en la École polytechnique y trabajó en geodesia y cartografía además de desarrollar la descomposición matricial que lleva su nombre para ayudarle en su trabajo. Sirvió en el ejército francés como oficial de ingeniería y murió en una batalla a pocos meses del final de la Primera Guerra Mundial.

¿Por qué usar el algoritmo de Don Choleski? La principal ventaja del algoritmo es que respecto a otros métodos la cantidad de multiplicaciones/divisiones y sumas/restas es menor. No obstante, la ventaja computacional de la factorización de Choleski es engañosa, porque hay que extraer N raíces cuadradas. Pero la cantidad de operaciones necesarias para calcularlas es un factor lineal de N y su importancia disminuirá al aumentar N. Factorización: (1/3)n3 + Resolución: 2n2

Condiciones para el uso del algoritmo de Choleski Una condición necesaria y suficiente para que una matriz A admita factorización de Cholesky es que sea simétrica y definida positiva, entonces tiene una única factorización A = LLT en la cual L es una matriz triangular inferior con entradas positivas en la diagonal principal.

Usamos: Si (!isSquare(A)) SALIR(“La matriz A no es cuadrada"); ENTRADA: Matriz A = (aij)nxn Vector bi de términos independientes CÁLCULOS: Matriz L = (lij)nxn Donde LT = matriz triangular superior de L Vector yi (Para el cálculo de las soluciones) SALIDA: Vector xi (Soluciones del sistema) Si (!isSquare(A)) SALIR(“La matriz A no es cuadrada"); Si (!isSymmetric(A)) SALIR(“La matriz A no es simétrica");

Algoritmo de Choleski ENTRADA Dimensión n Elementos aij, para 1 <= i, j <= n de A (Triangular inferior) SALIDA Elementos lij para 1 <= j <= i y para 1 <= i <= n de L (Los elementos de U = LT son uij = lji, para i <= j<= n y para 1 <= i <= n) Soluciones x1 hasta xn Paso 1 Tomar l11 = (aii)1/2 Paso 2 Para j = 2 hasta n Tomar lj1 = aj1 / l11

Algoritmo de Choleski Paso 3 Para i = 2 hasta n-1 hacer los pasos 4 y 5 Paso 4 Tomar Paso 5 Para j = i + 1 hasta n Tomar Paso 6 Tomar Paso 7 (Comenzamos a resolver el sistema) Tomar y1 = b1 / l11

Algoritmo de Choleski Paso 8 Para i = 2 hasta n Tomar Paso 9 Tomar xn = yn / lnn Paso 10 Para i = n-1 hasta 1

Algoritmo de Choleski Paso 11 SALIDA (lij para j = 1 hasta i e i = 1 hasta n *factorización*) (xi para i = 1 hasta n) PARAR

GRACIAS