ECUACIONES EXPONENCIALES y LOGARITMICAS Prof. Isaías Correa M. 2012 NIVEL: IV° MEDIO

Objetivo : A partir del conocimiento de la definición y propiedades de los logaritmos, serás capaz de: Resolver ecuaciones exponenciales. Resolver ecuaciones logarítmicas

Ecuaciones Exponenciales A una ecuación en la que la incógnita aparece en un exponente se la llama ecuación exponencial.    Ejemplos: Resolver 53-x = 125 Observemos que 53-x = 53 , entonces 3 - x = 3 , luego x = 0

Ecuaciones Exponenciales con logaritmos y Ecuaciones Logaritmicas Ya hemos resuelto ecuaciones exponenciales del tipo 53-x = 53 sin la necesidad de ocupar logaritmos. Ahora resolveremos ecuaciones más complejas utilizando las propiedades de logaritmos.    Ejemplo: Hallar el valor de x en las siguientes ecuaciones exponenciales:   a) 101-x = 30 / log Aplicamos logaritmos, porque no es posible igualar las bases y nos queda: log 101-x = log 30 Enseguida desarrollamos… (1-x)log 10 = log 30

log 10 – x log 10 = log (10* 3) - x log 10 = log 10 + log 3 – log 10 despejamos x - x = pero log 10 =1 , por lo tanto - x = log 3 / *-1 x = - log 3 o x= log

Aplicando logaritmos a ambos miembros de la igualdad, obtenemos: Veamos otro ejemplo b) 3x . 52x = 4 Aplicando logaritmos a ambos miembros de la igualdad, obtenemos:   log ( 3x . 52x ) = log 4 logaritmo de un producto. log 3x + log 52x = log 4 logaritmo de una potencia x log 3 + 2 x log 5 = log 4 x( log 3 + 2log 5) = log factorizamos por x x = y despejamos x = = = Cambio de base

c) 32x - 4 . 3x+1 = -27 acá no podemos aplicar logaritmos, Analicemos este caso: c) 32x - 4 . 3x+1 = -27 acá no podemos aplicar logaritmos, porque hay una resta. (3x)2 - 4 . 3 . 3x + 27= 0 ¡¡Debemos hacer un arreglo!!   Si z = 3x y reemplazamos en la ecuación, obtenemos z2 - 12 z + 27 = 0 ( incógnitas auxiliares ) Al resolver la ecuación, las raíces de ella son: z1 = 9 , z2 = 3 . Por lo tanto 3x = 9  3x = 32  x = 2 y 3x = 3  x = 1

d) Otro caso parecido: 25x + 5x = 20 (5x)2 + 5x = 20 hacemos el arreglo Si z = 5x  z2 + z – 20 = 0 Las raíces de la ecuación cuadrática: z1 = 4 , z2 = -5 .  luego 5x = 4 como no podemos igualar bases log 5x = log 4 aplicamos logaritmos  x log 5 = log 4  x =  x =

Ecuaciones Logarítmicas Definición: Es aquella en que la incógnita se encuentra en el argumento (número del logaritmo). Ejemplo: Obs: Para resolver este tipo de ecuaciones debemos “eliminar los logaritmos” y luego resolver como una ecuación cualquiera. En el ejemplo sería: 8 + 1 =3x 9 = 3x x=3

Nota: Cada vez que resolvamos una ecuación logarítmica, debemos verificar si el o los valores son solución de la ecuación. Ejemplo 2) 3log (x+1) – 2log (y – 2)= 1 *3 Sist. De Ec. 5log(x+1) + 3log (y – 2)= 27 *2 9log (x+1) – 6log(y – 2)=3 10log (x+1) + 6log(y – 2)=54 19log(x+1) = 57 log(x+1) = log(x+1)= 3

Luego aplicamos la definición de logaritmos, para despejar x: Para despejar el valor de “y”, reemplazamos el valor de log(x + 1) en cualquiera de las ecuaciones del sistema. Por ejemplo: 5log(x+1) + 3log (y – 2)= 27 5* 3 + 3log(y – 2)= 27 15 + 3log(y – 2)= 27 3log(y – 2) = 27 – 15 3log(y – 2) = 12 log (y – 2)= log(y – 2)= 4

Luego, aplicando definición despejamos el valor de “y” Finalmente al verificar los valores (x e y) en el sistema, nos damos cuenta que ambos satisfacen al sistema. Por lo tanto, las soluciones son: x=999 y=10002