Lógica Equivalencia Lógica Leyes Lógicas Circuitos Lógicos -¿Qué es? -¿Cómo comprobarla? Leyes Lógicas -¿Cuáles son? -¿Cómo usarlas? Circuitos Lógicos -¿Qué son? -¿Cómo se aplican?

¿ son la misma proposición? Introducción La Sra. Ana le escribe a su casero, el Sr. Pepe: “A menos que arregle la tubería, no pagaré la renta”. ¿Cómo expresar esta proposición mediante proposiciones más simples? Consideremos que las proposiciones simples son: p: “La Sra. Ana paga la renta”. q: “El Sr. Pepe arregla la tubería”. Respuesta 1: Usando “” q   p Respuesta 2: Usando “”  q   p Y lógicamente ¿ son la misma proposición?

Equivalencia Lógica V F V F F V V F  p  q   q   p. Dos proposiciones u y v son lógicamente equivalentes cuando u es VERDADERA si y sólo si v es VERDADERA u es FALSA si y sólo si v es FALSA Y lo denotamos por u  v. Ejemplo: Comprobemos que p  q es lógicamente equivalente a q  p. p q  p q  p V F q  p V F  q  q  p F V  q  p V F Conclusión: Sí son lógicamente equivalentes ! ! !  p  q   q   p.

Equivalencia Lógica p  q  q  p  p  q p q p  q q  p ? V F ¿Puedes identificar otra proposición cuya tabla de verdad coincida con ésta? p q p  q q  p ? V F p  q p  q  q  p  p  q Llamaremos “Equivalencia 1 ó de la implicación” a: p  q  p  q

“Si hubo un robo, algo desapareció” Vocabulario Determinadas proposiciones están relacionadas con una implicación; usamos términos tales como la recíproca, la inversa y la contra recíproca o contrapositiva. Para p  q, q  p es la recíproca p  q es la inversa q  p es la contrapositiva o contrarecíproca Además, p  q es equivalente a q  p Ejemplo en lenguaje común: “Si hubo un robo, algo desapareció” es equivalente a “Si nada ha desaparecido entonces no hubo robo”

Ejercicio u v  ( p  q )  p   q  ( p  q )  p   q Sean p, y q proposiciones. Asocia las proposiciones u y v que sean lógicamente equivalentes !propuesto! u v  ( p  q )  p   q  ( p  q )  p   q p  ( p  q ) q p  p

Leyes Lógicas En muchos casos, necesitamos usar una proposición equivalente a la que tenemos entre manos... Y no siempre es fácil realizar tablas de verdad si se tienen muchas proposiciones. Por eso, necesitamos conocer algunas equivalencias notables entre proposiciones, que llamaremos Leyes Lógicas Ley Nombre de la Ley p   p  V p   p  F Tercio excluido o de Dicotomía de Contradicción p  F  F p  V  V de Dominación  ( p)  p de Doble Negación p  V  p p  F  p Leyes de identidad o Elemento Neutro

Leyes Lógicas Recuerda cómo demostrar una ley Ley Nombre de la Ley  (p  q)  p   q (p  q)  p   q de De Morgan p  (p  q)  p p  (p  q)  p de Absorción p  q  q  p Conmutativa (p  q)r  p(q  r) Asociativa p (q  r)  (pq)  (pr) Distributiva Recuerda cómo demostrar una ley

Uso de las Leyes (p  q  r)  (p  q  r)  p  r - Ley usada - Las leyes son muy útiles para demostrar que dos proposiciones son equivalentes. Ejemplo: Demuestra que (p  q  r)  (p  q  r)  p  r - Ley usada - (p  q  r )  (p  q  r) (p  r  q )  (p  r  q) Conmutativa [(p  r)  q ]  [(p  r)  q] Asociativa (p  r)  (q  q) Distributiva (p  r)  V tercio excluido p  r ley de identidad

Ejercicios 1.- Utiliza las leyes para demostrar que p  (q  r)  (p   q)  r 2.- Descubre el error en la “demostración” siguiente: p  (q   r)   p  (q   r)   p  ( r  q)  ( p   r)  q   (p  r)  q  (p  r)   q Para ver las respuestas, clickea

Circuitos Lógicos Red en paralelo p p  q T1 T2 q Una red de conmutación o circuito está formada por cables e interruptores que conectan a dos terminales. T1 _______ ... _______T2 Si un interruptor está abierto, no fluye la corriente por él y se le asocia el valor 0 y si está cerrado, permite el paso de la corriente y se le asocia el valor 1. Hay dos tipos simples de circuitos: en serie y en paralelo. Cuando está en paralelo, la corriente fluye si alguno o ambos están cerrados y se representa por p  q. Red en paralelo T1 T2 q p p  q

Circuitos Lógicos T1 T2 p q En un circuito en serie, la corriente fluye de T1 a T2 si ambos interruptores están cerrados y no fluye, si alguno o ambos están abiertos. Se le asocia, entonces, la proposición p  q Red en serie T1 T2 p q p  q Podemos ahora, utilizar la simplificación de proposiciones para simplificar circuitos y conseguir otros que sean equivalentes y realicen la misma función más eficientemente.

Ejercicio 3.- Simplifica el circuito T2 p q r  q T1

Tarea 1. a) Expresa simbólicamente la proposición: “Si Juan se va de vacaciones, el se va a divertir si no le da miedo volar.” b) Niega la proposición anterior (Ayuda: la negación de una implicación no es una implicación) 2. Realiza los ejercicios 20c, 21b, 21c y 22b del libro. No olvides escuchar la música de la Vida.

Respuestas 1.- Uso de las leyes: p  (q  r)   p  (q  r) Equivalencia 1  ( p  q)  r Asociativa  (p   q)  r De Morgan  (p   q)  r Equiv. 1 2.- El error en la demostración esta en el ultimo paso. De hecho, p  (q   r)  (p  r)  q

Respuestas T1 T2 3.- El circuito lógico: -Razones- [(p  q)  (q  r)]  [p  ( q  (r  q))]  [(p  q)  (r  q)]  [(p   q)  (p  r  q)] Conmut. y Distrib.  (p  q)  (p   q)  (r  q)  (p  r  q) Conmut. y Asociat.  [p  (q   q)]  [(r  q)  (p  r  q)] Distrib y Asociat.  p  [(r  q)  (p  r  q)] Inverso y Neutro  p  (r  q) Absorción El circuito simplificado es q T2 T1 p r