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ESTADISTICA NO PARAMETRICA www.leondariobello.com

ESTADISTICA NO PARAMETRICA Son procedimientos estadísticos para prueba de hipótesis que no requieren de la suposición de la normalidad de la población de la cual fue extraída la muestra y se pueden aplicar a datos de tipo cuantitativo y cualitativo. www.leondariobello.com ldbello@leondariobello.com

No se requiere de los supuestos paramétricos VENTAJAS DESVENTAJAS No se requiere de los supuestos paramétricos Se puede usar para variables no numéricas. Cálculos fáciles, originados por tamaños de muestra pequeños. Son convenientes cuando no se conoce la distribución de la población. Utilizan menor información de la variable. Es menos potente que los resultados obtenidos en los métodos paramétricos. www.leondariobello.com ldbello@leondariobello.com

Procedimientos Clásicos TIENE CUATRO CARACTERISTICAS DISTINTIVAS: Nivel bastante complejo de medición, (datos continuos y cuantitativos) Implican prueba de los parámetros hipotéticos Suposiciones estrictas (normalidad, homogeneidad de varianzas). Que las observaciones sean independientes entre sí www.leondariobello.com ldbello@leondariobello.com

Procedimientos No Paramétricos ¿ Qué debería hacer el estadístico cuando los procedimientos clásicos no son aplicables? Procedimientos No Paramétricos No depende de la forma de la distribución subyacente de N. www.leondariobello.com ldbello@leondariobello.com

Rachas Por rachas se entiende a una sucesión de símbolos idénticos que pueden estar separados o no por otro tipo de símbolos. Por ejemplo, sea una serie de mediciones de magnitudes dicotómicas identificadas con los símbolos de resultado positivo (+) o negativo (-) a juicio del investigador. Resultados: + + - - - + - - - - + + - + Nº de rachas: 1 2 3 4 5 6 7 El número de rachas es r = 7. El número total de rachas indica si una muestra es o no aleatoria. www.leondariobello.com ldbello@leondariobello.com

Prueba de Rachas con una Muestra Los elementos de la muestra están mezclados aleatoriamente Los elementos no están mezclados aleatoriamente Ho: H 1 : Formulación de la hipótesis Límites de la región de aceptación  = nivel de significancia www.leondariobello.com ldbello@leondariobello.com

Procedimiento Rachas Se calcula el número n1 de elementos de una clase identificadas por un símbolo y n2 la cantidad de elementos de la otra. 2) Se ordenan los n = n1 + n2 sucesos en el orden en que ocurrieron. 3) Se cuenta el número r de rachas. 4) Se determina la probabilidad que ocurran r rachas, usando Ho, y se compara con el nivel de significación α adoptado para aceptar o rechazar la Ho. También se puede probar con el número de rachas. www.leondariobello.com ldbello@leondariobello.com

Prueba de Rachas con una Muestra n1 = número de ocurrencias tipo 1 n2 = número de ocurrencias tipo 2 r = número de corridas Símbolos r = 2n1 n2 + 1 (n1 + n2 ) Media del Estadístico r =  2n1 n2 (2n1 n2 - n1 - n2) (n1 + n2)2 (n1 + n2 - 1) Cálculo del error estándar www.leondariobello.com ldbello@leondariobello.com

Prueba de Rachas con una Muestra La distribución de muestreo de r puede aproximarse mucho mediante la distribución normal, si n1 o n2 es mayor que 20 Elección de la Distribución Si el estadístico muestral r cae dentro de la región de aceptación es valida la hipótesis nula y concluir que los elementos están siendo introducidos en modo aleatorio Interpretación de resultados www.leondariobello.com ldbello@leondariobello.com

Salida SPSS 19.0 www.leondariobello.com ldbello@leondariobello.com

EJEMPLO MUESTRAS PEQUEÑAS 12 niños y 12 niñas de 4 años de edad observados durante dos sesiones de juego de 15 minutos, el juego fué calificado por incidencia y grado de agresión. con estos puntajes es posible probar la hipótesis que hay diferencias sexuales en la cantidad de agresión exhibida.

1)    SE COLOCAN LOS PUNTAJES n1+ n2 EN UNA SOLA SERIE ORDENADA

2) SE DETERMINA EL NÚMERO DE RACHAS 3. HIPÓTESIS Ho: LA INCIDENCIA Y EL GRADO DE AGRESIÓN SON LOS MISMOS EN LOS NIÑOS DE CUATRO AÑOS DE AMBOS SEXOS Ha: LOS NIÑOS Y NIÑAS DE CUATRO AÑOS DE EDAD MUESTRAN DIFERENCIAS EN LA INCIDENCIA Y EL GRADO DE AGRESIÓN

4. NIVEL DE SIGNIFICACIÓN alfa=0.05 N1 = 12 NÚMERO DE NIÑOS N2 = 12 NÚMERO DE NIÑAS 5. REGLA DE DECISIÓN SI VALOR OBSERVADO DE R ES IGUAL O MENOR QUE EL VALOR TABULADO DE N1 =12 Y N2 =12, Ho SE RECHAZA A UN NIVEL DE SIGNIFICACIÓN 0.05

LA TABLA MUESTRA QUE PARA LOS VALORES DE n1=12 Y n2=12, UNA R DE 7 ES SIGNIFICATIVA AL NIVEL DE 0.05. YA QUE EL VALOR DE R ES MENOR QUE EL TABULADO, SE PUEDE RECHAZAR LA HO, CONCLUYENDO QUE LOS NIÑOS Y LAS NIÑAS MUESTRAN DIFERENCIAS EN LA AGRESIÓN EN LA SITUACIÓN DE JUEGO LIBRE

La Prueba U de Mann-Whitney Se utiliza para saber si dos muestras independientes provienen de poblaciones que difieren en su ubicación (tendencia central). Es la contraparte de la prueba t para muestras independientes. Prueba la hipótesis de que la mediana de las dos poblaciones son iguales contra que no lo son. Si Ho es cierta, el promedio de los rangos para los dos grupos muestrales debe ser aproximadamente igual. www.leondariobello.com ldbello@leondariobello.com

La Prueba U de Mann-Whitney Ordenación por rango Ordenar por rangos todos los elementos que deben probarse, en orden creciente n1 = número de elementos de la muestra 1 n2 = número de elementos de la muestra 2 R1 = suma de los rangos de los elementos de la muestra 1 R2 = suma de los rangos de los elementos de la muestra 2 Símbolos www.leondariobello.com ldbello@leondariobello.com

La Prueba U de Mann-Whitney Estadístico U U = n1 n2 + n1 (n1 + 1) – R1 2 Una medida de la diferencia entre las observaciones ordenadas por rangos de las dos muestras U = n1 n2 2 Media del Estadístico Cálculo del error estándar u =  n1 n2 (n1 + n2 + 1) 12 www.leondariobello.com ldbello@leondariobello.com

Prueba de Suma de Rangos: La Prueba U de Mann-Whitney Ho: Me1 = Me2 Hipótesis nula, no hay diferencia entre las dos poblaciones, por lo cual tienen la misma mediana H1: Me1  Me2 Hipótesis alternativa, hay una diferencia entre las dos poblaciones, por lo cual tienen medianas diferentes  = nivel de significancia Formulación de la hipótesis Límites de la región de aceptación www.leondariobello.com ldbello@leondariobello.com

Prueba de Suma de Rangos: La Prueba U de Mann-Whitney Elección de la Distribución En caso de que algún n sea mayor de 20, se puede aproximar con la distribución normal. Si el estadístico muestral U cae dentro de la región de aceptación es valida la hipótesis nula de que no hay diferencia y concluiremos que las distribuciones son iguales Interpretación de resultados www.leondariobello.com ldbello@leondariobello.com

La Prueba de Wilcoxon con signo Una prueba que utiliza dirección y magnitud, propuesta en 1945 por Frank Wilcoxon, se llama ahora comúnmente prueba de rango con signo de Wilcoxon. Esta prueba se aplica en el caso de una distribución continua simétrica. Utiliza las magnitudes de las diferencias entre las mediciones y un parámetro de ubicación según una hipótesis, en lugar de los signos de las diferencias www.leondariobello.com ldbello@leondariobello.com

Suposiciones La muestra es aleatoria La variable es continua La población se distribuye simétricamente alrededor de su media  La escala de medición es al menos de intervalo www.leondariobello.com ldbello@leondariobello.com

Hipótesis Ho:  = o Ha:   o b) Ho:   o Ha:  < o Estas son las hipótesis que pueden probarse para alguna media de población no conocida o

Pasos para la prueba de Wilcoxon con signo Restar la media hipotética o de cada observación Di = xi - o Se elimina cualquier diferencia que de cómo resultado cero. Tener en cuenta que se reduce el tamaño de n.

2. Ordenar las diferencias de menor a mayor sin importar el signo (sólo el valor absoluto). Si dos o más son iguales asignar a cada valor la media de la posición que ocupa en la lista.

3. Asignar: A las diferencias positivas se les asigna como W+ A las diferencias negativas se les asigna como W- Sumar cada grupo El menor valor de los dos anteriores se asigna como W.

4. Comparar los valores obtenidos con los valores críticos en la tabla (0.05, 0.025 y 0.01) N es el número de diferencias halladas, sin tomar en cuenta las que son iguales a cero.

Ejemplo En un experimento para medir la efectividad de un medicamento para dormir, basándose en las horas de sueño de los pacientes, un sicólogo seleccionó aleatoriamente 10 pacientes a los cuales se les suministró el medicamento y luego un placebo. La siguiente tabla muestra las horas de sueño de cada paciente con la sustancia suministrada, así como las diferencias, rangos y conclusión.

Paciente Horas de sueño Diferencia Rango (Ignorando el signo) Droga Placebo 1 6.1 5.2 0.9 3.5* 2 7.0 7.9 -0.9 3 8.2 3.9 4.3 10 4 7.6 4.7 2.9 7 5 6.5 5.3 1.2 6 8.4 5.4 3.0 8 6.9 4.2 2.7 6.7 0.6 9 7.4 3.8 3.6 5.8 6.3 -0.5 W+ = 50.5 W- = 4.5 W = 4.5

Ho: la efectividad de la droga es mayor que la del placebo Ha: la efectividad de la droga es menor a la del placebo. * Los rangos 3ro y 4to han sido promediados W+ = 50.5 W- = 4.5 W = 4.5 Como W = 4.5, con una significación de 0.025 se puede afirmar que el medicamento sí es efectivo.

Nivel de significación para prueba de una cola .025 .01 .005 Valores críticos de T en la prueba de rangos señalados de los pares igualados de Wilcoxon N Nivel de significación para prueba de una cola .025 .01 .005 Nivel de significación para prueba de dos colas .05 .02 6 --------- -------- 7 2 8 4 9 3 10 5 11 12 14 13 17 21 16 15 25 20 30 24 35 28 23 18 40 33 19 46 38 32 52 43

Analizar  Pruebas no paramétricas  2 muestras relacionadas En el SPSS… Analizar  Pruebas no paramétricas  2 muestras relacionadas

En el SPSS…

Prueba de la Suma de Rangos de Wilcoxon Para comparar dos grupos Equivalente no paramétrico de la prueba T. Consiste de 3 pasos básicos…

Paso 1 Asignar rangos ascendentemente para cada grupo Si se dan valores iguales promediar sus rangos

Paso 2 Sume los rangos en el grupo con el tamaño de muestra más pequeño. Si los dos grupos tienen el mismo tamaño, se debe elegir uno. W = suma de todos los rangos en el grupo con el tamaño de muestra más pequeño.

Paso 3 Compare esta suma con el valor hallado en la tabla de Wilcoxon. Hallar la fila correspondiente al tamaño del grupo con la muestra más pequeña (n). Si el valor de W es menor que el hallado en la tabla, se rechaza la hipótesis nula, es decir, hay diferencias significativas. Ho: No existen diferencias significativas entre medias Ha: Existen diferencias significativas entre medias

Ejemplo Se afirma que un estudiante universitario de último año puede aumentar su calificación en el área del campo de especialidad del examen de registro de graduados en al menos 50 puntos si de antemano se le proporcionan problemas de muestra. Para probar esta afirmación, se dividen 20 estudiantes del último año en 10 pares de modo que cada par tenga casi el mismo promedio de puntos de calidad general en sus primeros años en la universidad. Los problemas y respuestas de muestra se proporcionan al azar a un miembro de cada par una semana antes del examen. Se registran las siguientes calificaciones del examen:

Con problemas de muestra Sin problemas de muestra Pruebe la hipótesis nula en el nivel de significancia de 0.05 de que los problemas aumentan las calificaciones en 50 puntos contra la hipótesis alternativa de que el aumento es menor a 50 puntos. Par Con problemas de muestra Sin problemas de muestra di di – d0 Rangos 1 531 509 22 -28 5 2 621 540 81 31 6 3 663 688 -25 -75 9 4 579 502 77 27 3.5 451 424 -23 660 683 -73 8 7 591 568 23 -27 719 748 -29 -79 10 543 530 13 -37 575 524 51

En este caso d0 = 50, por lo que se procede a calcular las diferencias entre las muestras y luego restarles el valor de 50. Para n=10 la tabla muestra que la región crítica es w+ 11. w+ = 6 + 3.5 + 1 = 10.5

Decisión y Conclusión: Como 10.5 es menor que 11 se rechaza Ho y se concluye con un α = 0.05 que los problemas de muestra, en promedio, no aumentan las calificaciones de registro de graduados en 50 puntos.

La Prueba De WILCOXON Para Muestras Grandes Estadístico Z w = n(n+1) 4 Media del Estadístico Cálculo del error estándar u =  n(n+1) (2n +1) 24

PRUEBA DE WILCOXON CON MUESTRAS GRANDES Se debe de realizar una aproximacion a la normal, con la media y la desviacion tipica definida por las siguientes expresiones: m= n(n + 1) 4 En la expresion anterior n es el tamaño de la muestra.

DESVIACION ESTANDAR A partir de las expresiones anteriores deducimos la expresion para Z curva normal tipificada para esta prueba y seria asi:

Valor tipificado

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