Historias de un Poliedro Edith Padrón Universidad de La Laguna mepadron@ull.es

En el País de los Poliedros Poliedros = forma 3-dimensional acotada por polígonos (región del plano limitada por segmentos) Poliedros convexos: el segmento que une dos puntos del mismo está contenido en el poliedro o en su interior V= número de vértices ; F=número de caras; E=número de aristas V-E+F=2 Fórmula de Euler

En aquellos viejos tiempos....... Icosaedro= Purusha=la semilla-imagen de Brahma, el creador supremo, la imagen del hombre cósmico Dodecaedro =Prakiti=el poder femenino de la creación, la Madre Universal, la quintaesencia del universo natural. Icosaedro Dodecaedro Ashmolen Museum

Cada poliedro con su pareja Cubo octaedro

En aquellos viejos tiempos....... La divinidad se disgustó con el que divulgó las doctrinas de Pitágoras, de tal forma que pereció en el mar, por el sacrificio cometido, en el que reveló cómo se inscribía en una esfera la constitución del dodecaedro

El primer teorema de clasificación Ninguna otra figura además de los cinco sólidos platónicos se puede construir si exigimos que sean cuerpos geométricos caracterizados por ser poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares iguales y en cuyos vértices se unen el mismo número de caras m polígonos regulares de n lados que confluyen en un vértice Suma de los ángulos de un vértice m(n-2)180/n<360 Solución=(3,3), (3,4), (3,5), (4,3), (5,3)

Cuenta la leyenda.......(La duplicación del cubo) .....cuando el dios anunció a los delianos a través del oráculo de Apolo que, para deshacerse de una plaga, debían construir un altar del doble del que había, sus artesanos quedaron desconcertados en sus esfuerzos por descubrir cómo podían hacer un sólido que fuera el doble de otro sólido similar; por ello fueron a preguntarle al respecto a Platón, quien respondió que el oráculo quería decir no que el dios quisiera un altar del doble del tamaño sino que deseaba, al imponerles la tarea, avergonzar a los griegos por su descuido de las matemáticas y su desprecio por la geometría (Eratóstenes) Minos (rey de Creta) haciendo construir una tumba para Glauco (su hijo) y que, cuando Minos descubrió que la tumba medía cien pies de cada lado, dijo 'Demasiado pequeña es la tumba que habéis señalado como el sitio real de descanso. Hacedla el doble de grande. Sin arruinar la forma, rápidamente duplicad cada lado de la tumba'.

¿solución? Pierre Walzen 1837 B D C A

El escaner de los sólidos Platónicos (diagramas de Schlegel) Diagrama de Schlegel

Característica de Euler-Poincaré de un Poliedro De Euler a Perelman V= número de vértices ; F=número de caras; E=número de aristas V-E+F=2 Fórmula de Euler Característica de Euler-Poincaré de un Poliedro V-E+F=X, X=2-2g

La Conjetura de Poincaré en dimensión 2 “La esfera es la única superficie cerrada en el espacio tridimensional que no tiene agujeros x2+y2+z2=1

¡La conjetura de Poincaré en dimensión 3 resuelta! Toda variedad de dimensión 3 que sea compacta, orientable, sin borde y simplemente conexa, es de hecho homeomorfa a la esfera x2+y2+z2+w2=1 “El Premio me es completamente irrelevante. Todos saben que si la prueba es correcta nigún otro reconocimiento es necesario”

La belleza de los poliedros

El maravilloso mundo de Fuller Pabellón Americano de la Feria mundial de Montreal

la cúpula geodésica   La esfera encierra un volumen dado con un área mínima, con lo cual se ahorra en material de construcción. o Control de la Temperatura La exposición al frío en invierno y al calor en verano es menor, al ser esférica, ya que hay menos área por unidad de volumen; La forma interior hace que se produzcan flujos de aire caliente o frío que pueden utilizarse para controlar la temperatura interna La forma estable (resistente a los terremotos y también a los huracanes, por la estabilidad de la forma y porque al realizarse una presión sobre ella -hasta cierto grado- esta se distribuye sobre toda la superficie) los triángulos son los únicos polígonos estables de forma inherente, lo cual confiere estabilidad a la cúpula geodésica, que en general está construida por triángulos (y utiliza tetraedros y octaedros como estructuras tridimensionales de la cubierta); los triángulos se interconectan de forma que sus lados formen una red de geodésicas-círculos máximos-, que le da fuerza y estabilidad a la construcción. Son estructuras muy ligeras. Poco tiempo de montaje: semanas, días o incluso horas.

Lo que el viento se llevó: Cometas y poliedros Lawrence Margrave Alexander Graham Bell

La conjetura del fuelle Cauchy (1813): Los poliedros convexos son rígidos Raoul Bicard (1897) y Conney (1978): existen poliedros no convexos cuyas caras son triángulos no rígidos 1997 Sabitov, Connelly y Walz Volumen=F (longitud de la aristas, áreas de las caras)

Historias de n-partículas, un grano de polen y un satélite n partículas cargadas sobre una esfera unidad, interactuando sólo a través de sus fuerzas de Coulomb. El hecho de que las partículas estén sobre la esfera supone una ligadura sobre las posiciones de las partículas. Si xi denota la posición de la partícula i entonces la ligadura de estar sobre la esfera se re-escribe |xi|=1. El potencial de Coulomb es dado por E=∑1/|xi – xj| i<j (Botánico Tammes (1930)): conocer la distribución uniforme de n poros en un grano de polén, de tal manera que la mínima distancia entre los poros min|xi – xj | (por los caminos más cortos) sea la máxima posible. (problema de la esfera parcheada) : encontrar el mayor diámetro de n círculos sobre una esfera tal que al colocarlos no se solapen.

¡Qué abejas más listas! Cuando las abejas se ponen a construir las colmenas donde almacenan la miel, buscan la forma de obtener la mayor rentabilidad: mayor superficie y capacidad de la celda usando la mínima cantidad de cera en la construcción de la misma

Terminamos….. Poliedros Aspectos mitológicos Problemas imposibles Teoremas de Clasificación Arte y Arquitectura Investigación reciente en Matemáticas Problemas de optimización Problemas aeronáuticos Poliedros Gracias por su atención