Algunos comentarios sobre algunos espacios homogéneos naturalmente reductivos y su relación con las álgebras de Clifford.

Los espacios más regulares parecen los más simétricos Conferencia de Hilbert en el Ier ICM, Paris, 1900 Los fundamentos algebraicos de las álgebras de Lie Clasificación de las raíces

Clasificación de los espacios simétricos por Cartan (Helgason) Caracterización de los espacios simétricos (R = 0) Importancia del estudio de los grupos de Lie como ejemplos de variedades de Riemann Buenos textos: Warner y Gray (no publicado) entre otros

Teorema de la variedad homogénea Caracterización de las variedades homogéneas Ejemplos: esferas, proyectivos, grasmanianas, etc. (simétricos), banderas, La clasificación de Berger V1 y V2, Ann. Scuola Norm. Sup. (1961)

Los ejemplos de Aloff-Wallach, BAMS,, ((1975) El ejemplo de Wilking V3, PAMS, (1999) Los artículos de Chavel sobre V1 y V2, BAMS, Comm. Math. Helv., ((1967) Existencia de campos de Jacobi anisotrópicos enV1 y V2

El artículo de González-Dávila, (J. Diff. Geom..) Un resultado de Naveira y González-Dávila sobre campos de Jacobi anisotrópicos en V3, (Preprint) La clasificación de Gray de los espacios 3-simétricos, J. Diff. Geom., (1972) Otros resultados de Jiménez, Kowalsky, Dusek, Kaplan, etc.

Artículo de Gray en Math. Ann. (1976). Importancia de R – R Artículo de Gray en Math. Ann.(1976). Importancia de R – R* y del hecho que (J’)2 sea paralelo Desviación covariante de los espacios homogéneos respecto de los simétricos El rango oscilador constante de un espacio homogéneo Resultado sobre V1 (Naveira-Tarrío, Monatsch. Math. 2008) y V3 (Macías-Naveira-Tarrío, C. R. Acad. Sc. Paris 2009). Problema abierto sobre V2.

Resultado sobre el ejemplo de Kaplan, (Arias-Naveira) Resultado sobre la bandera F6, (Arias, preprint) Conjetura sobre los espacios 3-simétricos (con Arias) Resultado bien conocido: Todo espacio simétrico-hermítico verifica la Iª Condición de curvatura Resultado nuevo: Todo espacio homogéneo con una estructura casi-compleja invariante y con una métrica biinvariante verifica la IIª Condición de curvatura

Los artículos de Nagy sobre NK-Variedades, (Ann Global Ann. Appl Los artículos de Nagy sobre NK-Variedades, (Ann Global Ann. Appl., 2002, Asian J. math. Importancia de la conexión canónica Importancia de los resultados de Gray sobre descomposición de las NK-variedades, Math. Ann. (1976) Descomposición de las NK-variedades: Kaehler + Estricta Descomposición de las NK-variedades estrictas: 6-dim. NK-estrictas NK-Homogeneous de tipo I, II, III y IV Twistor spaces sobre variedades Kaehler cuaterniónicas con curvatura escalar positiva Importancia de la descomposición para la determinación del rango.

El artículo de Calabi-Vesentini para los espacios simétricos herméticos infinitos (Ann. of Math., (1960)) El artículo de Borel para los espacios simétricos herméticos excepcionales (Ann. of Math., (1960)) La teoría de Hodge para las NK-variedades, (Vertbinski, arXiv) Problema: Extensión a los espacios 3-simétricos de los resultados de Calabi, Vesentini y Hodge, utilizando para ello la teoría de Hodge, la teoría de las raíces y la curvatura de la conexión canónica.

Propiedades generales de las álgebras de Clifford. El problema de Dirac. Las spin-variedades. Importancia para la Geometría Diferencial y para la Física Teórica. Cálculo espinorial sobre spin-variedades riemannianas. Abundante bibliografía:Entre otros, Deheuvels, Baum, Friedrich, Lawson, Gallier, …

Operador de Dirac: DX = sk sk  Ecuación twistor: X +(1/n) X  D = 0 Killing espinor: X = BX   Nuevo interés del estudio de las NK-variedades, (Grunewald y otros). Spinores de Killing NK-var. en M6. Importancia del rango constante

Estructuras contacto. Variedades de Sasaki. Var. Einstein-Sasakianas  Existen espinores de Killing, pero más de uno. Diversos ejemplos en M5 y M7. V1, V2 (Berger) no son Sasakianas, todo indica que deben admitir spinores. Familia de variedades con Spinores en los ejemplos de Allof-Wallach. Parece que V3 está dentro de esta familia

Clasificaciones de Friedrich y otros para M7 con 2 ó 3 espinores de Killing. Con un espinor: Problema abierto. Condición suficiente M7 admita un espinor de Killing: Utilizando el vector-cross product, (Gray, 1969, TAMS)

Importancia de los artículoos de Agricola y Kostant Utilización de la conexión canónica Operadores de Dirac y Killing para esta conexión Posible interes por contrastar resultados de las conexiones de Levi-Civita y de la canónica

References a. Around Berger’s classification [B]. BERGER, M References a. Around Berger’s classification [B] BERGER, M., Les variétés riemanniennes homogènes normales connexes à corbure strictement positive, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa 15 (1961), 179-246. [B-B.1] BERARD-BERGERY, L. Sur certaines fibrations d’espaces homogènes riemanniennes, Comp. Math. 30, (1975), 43-61. [B-B.2] BERARD-BERGERY, L. Les variétés riemanniennes homogènes simplement connexes de dimension impaire à courbure strictement positive, J. Math. P. and Appl. 55, (1976), 47-68.

[Wh. 2]. WALLACH, N. Three new examples of compact [Wh.2] WALLACH, N. Three new examples of compact manifolds admitting Riemann structures of positive curvature, Bull. A. Math. Soc. 78, (1972), 55-56. [Wh.3] WALLACH, N., Homogeneous positively pinched Riemannian manifolds, Bull. Amer. Math. Society 76 (1970), 783-786. [Wg] WILKING, B., The normal homogeneous space has ositive sectional curvature. Proc. of the Amer. Math. Soc. 127 (1999), 1191-1194. [A&W] ALOFF, S. & WALLACH, N., An infinite family of distinct 7-manifolds admitting positively curved Riemannian structures. Bull. Amer. Math. Soc. 81 (1975), 93-97.

[A-M&B]. ARIAS-MARCO, T. & BARTOLL, S. An algebraic. property of the [A-M&B] ARIAS-MARCO, T. & BARTOLL, S. An algebraic property of the Jacobi operador on a family of homogeneous Riemannian manifolds with non- negative curvatura (preprint). [M, N&T] MACÍAS, E, NAVEIRA, A. M. & TARRÍO, A., The constant osculating rank of the Willking's manifold (SU(3) x SO(3))/U(2). [Wh.1] WALLACH, N. , Compact homogeneous Riemannian manifolds with strictly positive curvature, Ann. of Math. 96, (1972), 277-295. [W&G] WOLF, J. & GRAY, A. Homogeneous spaces defined by Lie group automorphisms, II, J. Diff. Geometry2 (1968), 115-159.

[D, K&N]. DUSEK, Z, KOWALSKI, O & NIKCEVIC, S. Z. New [D, K&N] DUSEK, Z, KOWALSKI, O & NIKCEVIC, S. Z. New examples of Riemannian g.o. manifolds in dimension 7, Differ. Geom. And its Appl. 21 (2004), 65-78. [K&V] KOWALSKI, O. & VLASEK, Z., Homogeneous Einstein metrics on Aloff-Wallach spaces, Diff. Geom. Appl. 3 (1993), 157-167.

[G - D. 1]. GONZÁLEZ-DÁVILA, J. C. , Isotropic Jacobi fields on [G - D. 1] GONZÁLEZ-DÁVILA, J. C., Isotropic Jacobi fields on compact 3-symmetric spaces, J. Differential Geometry (to appear). [G -D. 2] GONZÁLEZ-DÁVILA, J. C., Isotropic Jacobi fields on naturally reductive spaces, (preprint). [G - D& N] GONZÁLEZ-DÁVILA, J. C. & NAVEIRA A. M. Isotropic Jacobi fields on normal homogeneous spaces with positive sectional curvatura, (preprint). [G - D& S] GONZÁLEZ-DÁVILA, J. C. & SALAZAR, R. O., Isotropic Jacobi fields on naturally reductive spaces, Publ. Mat. Debrecen 66 (2005), 41-61.

[Be] BESSE, A. L., Einstein manifolds, Springer-Verlag, (2002). [Hn] HELGASON, S., Differential Geometry and Symmetric Spaces, Aca-demic Press, (1978). [N] NOMIZU, K., Invariant affine connections on homogeneous spaces. Amer. J. Math. 76 (1954), 33-65. [K&N] KOBAYASHI, S. & NOMIZU, K, Foundations of differential geometry, Interscience Publishers, New York, I, (1963), II, (1969). [M] MILNOR, J. Curvatures of left invariant Metrics on Lie groups, Adv. In Math. 21 (1976), 293-329.

[H]. HEINTZE, E. The curvature of SU(5)/(Sp(2)xS1), Invent. Math [H] HEINTZE, E. The curvature of SU(5)/(Sp(2)xS1), Invent. Math. 13, (1971), 205-212. [R] RODIONOV, E. D., Homogeneous Einstein metrics on a exceptional Berger space. Sib. Math. J. 33 (1992), 171-174. [S] SAGLE, A. A note on triple systems and totally geodesic manifolds in a homogeneous space, Nagoya Math. J. 91 (1968), 5-20. [T] TAIMANOV, I. A. On totally geodesic embeddings on 7- dimensional manifolds into 13-dimensional manifolds of positive sectional curvature, Sb. Math. 187 (1996), 1853-1867.