FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS VALOR DEL DINERO A TRAVÉS DEL TIEMPO

El valor del dinero a través del tiempo, significa que las cantidades iguales de dinero no tienen el mismo valor, si se encuentran en puntos diferentes en el tiempo y si la tasa de interés (costo de oportunidad del dinero) es mayor que cero. Interés simple Interés simple Porción de dinero que hay que pagar o cobrar por el uso de una determinada cantidad de dinero que se ha tomado en préstamo o que se ha invertido en su caso y los intereses son en función únicamente del valor inicial. Interés compuesto Interés compuesto A diferencia del interés simple, en el compuesto los intereses se aplican no sólo al valor inicial, sino también sobre intereses acumulados de periodos anteriores, es decir, los intereses a su vez generan intereses. Año 0 Año 1Año 2

INTERÉS SIMPLE Es la expresión que describe el interés calculado únicamente sobre el monto del capital. Fórmula:I = C * i * n Si en el futuro se quiere obtener el valor acumulado de una cantidad en un punto distinto, se debe sumar el interés generado más el capital inicial. Fórmula: M = C + I ó VF= VP + I Sustituyendo: M = C + (C i n) ó VF= VP + (VP i n) M = C (1 + i n) ó VF= VP (1 + i n) Donde: C = P = VP= VA: Capital, Principal, Valor actual o presente I: Intereses totales i: Tasa de interés n: Número de periodos

EJEMPLO Piensa que se han pedido prestados $1,000 pesos para pagarlos dentro de tres años a una tasa de interés del 10%. Si se utiliza interés simple, entonces, la cantidad a pagar sería de… (3) (.1) = ,000 1,

INTERÉS COMPUESTO Es la expresión que describe el interés calculado sobre el capital y sobre cualquier interés devengado que no ha sido pagado. Fórmula:VF = VP*(1+i) n Donde: VP = Cantidad inicial, principal, actual o presente VF = Cantidad futura i = Tasa de interés n = Número de periodos

EJEMPLO Mismo ejemplo pero con interés compuesto: VF = VP*(1+i) n Sustituyendo:VF = 1,000 * (1+.1) 3 = 1,331 1,000 1,

En el ejemplo Adeudo alAdeudo principio al final Interés Añodel añoIntereses del año Simple 1 1, , , , , , , , Compuesto 1 1, , , , , , , , , ,331

ANUALIDADES VALOR DEL DINERO A TRAVÉS DEL TIEMPO

ANUALIDADES Valor del dinero a través del tiempo Definición: – Es una serie de pagos de una cantidad fija durante un número específico de periodos. Aunque se utiliza la palabra anualidad, no significa que lo pagos tengan que hacerse cada año, los pagos pueden ser mensuales, trimestrales, semestrales, etc. – Los pagos se pueden realizar al final de cada periodo (anualidades vencidas) o al inicio de cada periodo (anualidades anticipadas). ANUALIDADES VENCIDAS ANUALIDADES ANTICIPADA

VALOR PRESENTE de una Anualidad Vencida VP = A (1+i) n i ( ) VP El Valor Presente (VP) de las Anualidades equivale a la suma del valor presente de cada uno de los pagos, pero en lugar de tener que calcular el VP de cada pago, se puede aplicar la fórmula que se presenta a continuación: Donde: VP= Valor Presente de las anualidades. A = Anualidad o pago periódico. n= Cantidad de periodos en los que se realizan pagos. i= Interés que se aplica por cada periodo.

Ejemplos A= 1,000 Mensuales i = 15% Mensual N= 20 Meses VP= ? I= 8% Semestral N=10 Semestres VP=23,000 A= ? Semestres VP = A (1+i) n i ( ) VP = A (1+i) n i ( )

VALOR FUTURO de una Anualidad Vencida VF = A (1+i) n - 1 i ( ) El Valor Futuro (VF) de las Anualidades equivale a la suma del último pago mas el valor futuro de cada uno de los pagos, pero en lugar de tener que calcular el VF de cada pago, se puede aplicar la fórmula que se presenta a continuación: Donde: VF= Valor Futuro de las anualidades. A = Anualidad o pago periódico. n= Cantidad de periodos en los que se realizan pagos. i= Interés que se aplica por cada periodo VF

Ejemplos A= 1,000 Trimestral I= 12% Trimestral N= 20 Trimestres VF= ? I= 8% Semestral N= 10 Semestres VF= 35,000 A= ? Semestral VF = 1,000 (1 +.12) ( ) VF = 72,052 35,000 = A (1 +.08) ( ) A = 2,416

TABLAS DE AMORTIZACIÓN VALOR DEL DINERO A TRAVÉS DEL TIEMPO

En el área financiera, amortización significa saldar gradualmente una deuda por medio de una serie de pagos (anualidades), que generalmente, son iguales y que se realizan también en intervalos iguales. Cuando se calcula una anualidad o pago, es posible desarrollar un tabla de amortización para mostrar los movimientos durante cada uno de los periodos. Es práctico generar estas tablas en Excel para estudiar su comportamiento. Estas tablas se pueden aplicar para obtener las amortizaciones de los préstamos bancarios o préstamos con agencias de carros, etc.

EJEMPLO Los pagos que se realizan para amortizar una deuda se aplican para cubrir los intereses y reducir su importe, tal como se puede observar en el siguiente ejemplo: Supón que recibes un préstamo de $100,000 pesos cuyo pago se efectuará durante un año con aportaciones trimestrales. La tasa de interés nominal es del 32% anual, por lo que el interés efectivo por trimestre es del 8% (32%/4). El primer paso es determinar la anualidad o pagos periódicos, que en este caso son trimestrales y con esto podemos formar la tabla como verás a continuación

La Tabla para el ejemplo quedaría de la siguiente manera: En el último periodo el saldo final deberá llegar a cero, ya que con el último pago queda cubierto el préstamo sin restar ningún saldo pendiente. Referencias Besley, S. (2001). Principios de Administración Financiera. (Jaime Gómez Mont, Trad.) México: Mc Graw-Hill. Brealey, R. (2003). Principios de Finanzas corporativas. Madrid, España: Mc Graw-Hill. Díaz Mata, A. (2008). Matemáticas Financieras. México: McGraw-Hill.