Tema: 12 Formas geométricas. Semejanza 1 Matemáticas 1º Ángulos Un ángulo es una figura geométrica determinada por dos semirrectas que tienen el origen en común. lado El origen de las semirrectas es el vértice del ángulo. ángulo O Las dos semirrectas son los lados del ángulo. vértice lado Ángulo recto O Ángulo llano . O Ángulo cóncavo Ángulo agudo Ángulo obtuso y convexo IMAGEN FINAL

Dos ángulos pueden ser: Tema: 12 Formas geométricas. Semejanza 2 Matemáticas 1º Otros tipos de ángulos Dos ángulos pueden ser: Ángulos consecutivos O Tienen en común el vértice y un lado. Ángulos complementarios Ángulos suplementarios O Son consecutivos cuya suma es un recto . O Son consecutivos cuya suma es un llano Opuestos por el vértice IMAGEN FINAL

Tema: 12 Formas geométricas. Semejanza 3 Matemáticas 1º Polígonos Las regiones del plano más sencillas son aquellas limitadas por segmentos. Son los polígonos. A B Un polígono es la región de plano limitada por una línea poligonal cerrada. E C A, B, C, D y E se llaman vértices D Cada dos vértices consecutivos determinan un lado. Cada dos lados consecutivos forman un ángulo La línea recta que une dos vértices no consecutivos se llama diagonal. A B C D Ángulo D Diagonal AC Lado AB IMAGEN FINAL

Clasificación de polígonos Tema: 12 Formas geométricas. Semejanza 4 Matemáticas 1º Clasificación de polígonos Según el número de lados: Triángulo Cuadrilátero Pentágono Según la igualdad de lados y ángulos: Polígono equilátero. Los lados son iguales Polígono equiángulo. Los ángulos son iguales Polígono regular. Lados iguales; ángulos iguales IMAGEN FINAL

Tema: 12 Formas geométricas. Semejanza 5 Matemáticas 1º Polígonos regulares En un polígono regular aparecen los siguientes elementos: Ángulo central: el determinado por dos radios Centro: punto que equidista de los vértices O Circunferencia circunscrita: la que pasa por los vértices. Tiene su centro en O Radio: cualquier segmento que une el centro con el vértice. Apotema: segmento que une el centro con el punto medio de un lado Polígono inscrito: el que tiene sus vértices en la circunferencia circunscrita IMAGEN FINAL

Suma de los ángulos de un polígono Tema: 12 Formas geométricas. Semejanza 6 Matemáticas 1º Suma de los ángulos de un polígono Suma de los ángulos de un triángulo Se obtiene un ángulo llano 1º. Dibujamos los ángulos 2º. Los recortamos 3º. Los unimos de esta forma. La suma de los ángulos de un triángulo es 180º Suma de los ángulos de un polígono cualquiera 1º. Se descompone en triángulos. T3 T2 T1 2º. La suma de los ángulos del polígono es igual a 180º por el número de triángulos obtenidos. T2 T1 Dos triángulos: 2 · 180º = 360º Tres triángulos: 3 · 180º = 540º IMAGEN FINAL

La circunferencia y el círculo Tema: 12 Formas geométricas. Semejanza 7 Matemáticas 1º La circunferencia y el círculo La circunferencia es una curva cerrada y plana cuyos puntos están todos a la misma distancia de otro llamado centro. A B Cuerda: cualquier segmento que une dos puntos de la circunferencia Radio: cualquier segmento que une el centro con un punto de la circunferencia Arco: cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia (en este caso hay dos arcos: AB y BA) O Diámetro: cualquier cuerda que pasa por el centro Frontera Región interior Círculo: es el conjunto de todos los puntos de la región interior o de la frontera de la circunferencia IMAGEN FINAL

Elementos de un círculo Tema: 12 Formas geométricas. Semejanza 8 Matemáticas 1º Elementos de un círculo Un diámetro divide al círculo en dos semicírculos Segmento circular: es la parte de círculo limitada por la cuerda y sus arco Semicírculo O A Sector circular: es la parte de círculo limitada por dos radios y sus arco B La porción de círculo limitada por A, O y B es un sector circular Ángulo central: tiene su vértice en el centro del círculo IMAGEN FINAL

· · · Posiciones relativas de rectas y circunferencias 12 Tema: 12 Formas geométricas. Semejanza 9 Matemáticas 1º Posiciones relativas de rectas y circunferencias · · · O O O Recta exterior a la circunferencia Recta tangente a la circunferencia Recta secante a la circunferencia Ningún punto en común Un punto en común Dos puntos en común Para dos circunferencias: Interiores Tangentes interiores Secantes Tangentes exteriores Exteriores IMAGEN FINAL

· · · Posiciones relativas de rectas y circunferencias 12 Tema: 12 Formas geométricas. Semejanza 9 Matemáticas 1º Posiciones relativas de rectas y circunferencias · · · O O O Recta exterior a la circunferencia Recta tangente a la circunferencia Recta secante a la circunferencia Ningún punto en común Un punto en común Dos puntos en común Para dos circunferencias: Interiores Tangentes interiores Secantes Tangentes exteriores Exteriores IMAGEN FINAL

Figuras semejantes 12 Estas dos imágenes tiene la misma forma. Tema: 12 Formas geométricas. Semejanza 11 Matemáticas 1º Figuras semejantes Estas dos imágenes tiene la misma forma. X´= k · X Y X N Una es copia de otra. N´ M Original Copia M´ Y´= k · Y El largo y el ancho de la copia son proporcionales a los de la figura inicial, con razón de proporcionalidad k. Los floreros son figuras semejantes Lo mismo sucede para cualquier segmento MN, que el correspondiente M´N´= k · MN. Dos figuras son semejantes cuando las medidas de todos los segmentos correspondientes son proporcionales. La razón de proporcionalidad se llama razón de semejanza. IMAGEN FINAL

Triángulos semejantes. Criterio 1º Tema: 12 Formas geométricas. Semejanza 12 Matemáticas 1º Triángulos semejantes. Criterio 1º A´ A Ampliamos el triángulo dado: b b´ c c´ C C´ a a´ Original Copia B B´ Los triángulos ABC y A´B´C´ son figuras semejantes. Por tanto, las medidas de la copia son proporcionales a las del triángulo original. En particular, los lados correspondientes son proporcionales, luego: Criterio 1º Dos triángulos son semejantes si tienen los lados correspondientes proporcionales. Dos triángulos cuyos lados midan 3, 4 y 5 cm para el primero, y 6, 8 y 10 cm para el segundo, son semejantes, pues 6 : 3 = 8 : 4 = 10 : 5 = 2. Ejemplo: El valor de ese cociente, 2, es la razón de semejanza. IMAGEN FINAL

Triángulos semejantes. Criterio 2º Tema: 12 Formas geométricas. Semejanza 13 Matemáticas 1º Triángulos semejantes. Criterio 2º A´ C´ B´ B A C Ampliamos el triángulo dado: A C Original Copia B Como sabemos, los triángulos ABC y A´B´C´ son semejantes. Observa lo que pasa al superponer el triángulo original sobre la copia: El ángulo A coincide con el ángulo A´. El ángulo B coincide con el ángulo B´. El ángulo C coincide con el ángulo C´. Criterio 2º Dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos correspondientes iguales. IMAGEN FINAL

Polígonos semejantes 12 T3´ T3 T1 T1´ T2 T2´ Tema: 12 Formas geométricas. Semejanza 14 Matemáticas 1º Polígonos semejantes Los criterios de semejanza de triángulos permiten definir la semejanza de figuras poligonales. T3 T3´ T1 T1´ T2 T2´ Dos polígonos son semejantes si lo son los triángulos correspondientes en que pueden descomponerse. T1 semejante a T1´ Dos polígonos son semejantes si los lados correspondientes son proporcionales y los ángulos correspondientes iguales. T2 semejante a T2´ T3 semejante a T3´ Ninguno de los polígonos siguientes son semejantes entre sí: El cuadrado y el rombo tienen los lados iguales, pero no los ángulos. El cuadrado y el rectángulo tienen iguales los ángulos, pero no los lados IMAGEN FINAL

Mapas y planos y maquetas Tema: 12 Formas geométricas. Semejanza 15 Matemáticas 1º Mapas y planos y maquetas Un mapa es la representación, mediante un dibujo, de una parte de la superficie de la Tierra guardando la semejanza. Un plano es la representación de un piso, de una habitación, de una ciudad, etc, conservando la forma. Una maqueta es una representación de una escultura, edificio, coche u objeto tridimensional, que guarde la proporcionalidad en las tres dimensiones. IMAGEN FINAL

Resolución de problemas Tema: 12 Formas geométricas. Semejanza 16 Matemáticas 1º Resolución de problemas Problema: Los padres de Elena y Esther han comprado un piso. Su futura habitación está dibujada a escala 1 : 150, en el plano adjunto. ¿Qué dimensiones tiene su cuarto? ¿Cuál es su superficie? Primero: Observar para entender Escala 1 : 150 10 20 30 Vemos que se trata de una habitación rectangular. Para calcular sus dimensiones habrá que medir los lados y tener en cuenta la escala. Segundo: Medir y pasar a valores reales 10 20 30 Con una regla milimetrada medimos el largo y el ancho de la habitación en el plano. Valores reales: Ancho: 30 mm 30 · 150 = 4500 mm = 4,5 m Largo: 35 mm 35 · 150 = 5250 mm = 5,25 m Superficie: 4,5 · 5,25 = 23,625 m2 IMAGEN FINAL