Capítulo 10 Test de Hipótesis

Contraste de Hipótesis Contrastar una Hipótesis Estadísticamente es juzgar si cierta propiedad supuesta para una población es compatible con lo observado en una muestra de ella. Alternativas: Hipótesis A v/s Hipótesis B, donde A y B no pueden cumplirse simultáneamente. Tipos de Hipótesis: Hipótesis Alternativas Hipótesis Anidadas Anidadas: Hipótesis A y B, donde A es un caso especial de B.

Contraste de Hipótesis Hipótesis Simple: El parámetro tiene un único valor. Hipótesis Compuesta: El parámetro tiene varios valores. Hipótesis Nula: (H0) es la hipótesis que se contrasta. Esta hipótesis se mantendrá a no ser que los datos indiquen lo contrario. Esta hipótesis nunca se considera probada aunque puede ser rechazada por los datos. Hipótesis Alternativa: (H1) es la hipótesis contrapuesta a H0.

Elementos de una Prueba de Hipótesis 1.- Hipótesis Nula (H0), Hipótesis Alternativa. 2.- Estadística de Prueba (Discrepancia). 3.- Región de Rechazo (Región Crítica). 4.- Regla de Decisión.

Definiciones Prueba (Contraste) de Hipótesis Estadística: es una regla  (Procedimiento) para decidir si rechazamos una hipótesis H0. Estadística de Prueba: Es una función de la muestra. Interesa que contenga el máximo de información sobre H0. Es en base a la información contenida en esta función que decidiremos respecto de la aceptación o rechazo de H0. Región Crítica: Define los valores del estadístico de Prueba para los cuales se contradice H0.

Definiciones Regla de Decisión: Procedimiento que acepta o rechaza H0, dependiendo del valor del estadístico de Prueba. Nivel de Significación: Este valor  determina un valor crítico c : P ( d > c / H0 ) = . El procedimiento de selección de “c” a partir de  tiene varias críticas: i. El resultado del Test depende mucho de . ii. Dar sólo el resultado del Test no permite diferenciar el grado de evidencia que la muestra indica a favor o en contra de H0.

Definiciones Nivel crítico p: Se define el nivel crítico p del contrate como la probabilidad de obtener una discrepancia mayor o igual que la observada en la muestra bajo H0. donde: : valor observado p : depende de la muestra

Consideremos H0:   0 v/s H1:   1 Sea : Estado de Naturaleza  = 0  1 : Espacio de Información  = C  CC Regla de Decisión: x  C  H0 es F x  CC  H0 es V Error tipo I: Rechazar H0 (cuando es verdadero) Error tipo II: Aceptar H0 (cuando es falso) P(Error tipo I) = P ( C ) =  ,   0 P(Error tipo II) = P (CC) =  ,   1 Fijada la región crítica C podemos definir: C:  0,1  C() = P (C) Función Potencia

En la práctica interesa que  ,  sean pequeños. Un método para construir un Test apropiado es: 1.- Fijar C : P ( C )   dado  Sea  = {C : P ( C )   } 2.- Elegir C : P ( CC ) =  sea mínimo para C  . Toda región C   región crítica : P ( C )   si    y P ( C ) máxima   1, se dice Región Crítica Óptima.

~ ~ Test de Comparación de Medias Supuesto: Independencia Caso Normal: Estadística de Prueba i desconocidos pero iguales i conocidos

donde Para el caso de i desconocidos y distintos no hay solución exacta. Región crítica C se modifica

Ejemplo Una v.a. X tiene una ley de Probabilidades dada por: Bajo H0 p 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 Bajo H1 p 2/15 1/6 1/5 1/5 1/6 2/15 Regla: Se decide rechazar H0 si X = 3 ó 4 Determinar:  = Error tipo I ;  = Error tipo II y la Potencia del Test

Solución  = PHo ( C ) = PHo ( 3 , 4 ) = 2/6 = 1/3  = PH1 ( CC ) C () = P (C) = 1 -  = 2/5

Resumen

 Hipótesis Estadística de Prueba ( conocido) ( desconocido) idem

Hipótesis Estadística de Prueba    

Problema Un nuevo dispositivo de filtrado se instala en una planta química. Antes y después de su instalación una m.a. respectiva arrojó la siguiente información del porcentaje de impurezas: Antes Después ¿ El dispositivo de filtrado ha reducido el porcentaje de impurezas significativamente ?

Desarrollo 

 Nivel de significancia =0,05 t0,975(15)gl = 2,131 Región crítica C = ] - ; -2,131 ]  [ 2,131 ;  [ t0  CC  Se acepta H0 Es decir, el dispositivo nuevo no reduce significativamente el porcentaje de impurezas. Región crítica C = ] 0 ; 0,204 ]  [ 4,53 ;  [ F0  CC  Se acepta H0 : 12 = 22 