Departament destadísticoa Grup destadísticoa Computacional Introducción a la metodología bootstrap Jordi Ocaña Departament destadísticoa Secció Departamental de Biologia Universitat de Barcelona

Departament destadística Puntos a tratar Elementos de un problema de inferencia estadísticoa Determinación de la distribución muestral (o de alguna de sus características) Principio plug-in y bootstrap Principio de Montecarlo y bootstrap Necesaria correspondencia entre mundo real y mundo bootstrap Ejemplos

Departament destadística Procesamiento Elementos de un problema de inferencia estadística los datos muestra observada estadísticosMedidas de precisión Estudio experimental u observacional Modelo probabilístico, mecanismo generador de los datos

Departament destadística 13.1, 12.2, 15.5,... Medimos la presión sanguinea sistólica de una muestra aleatoria de individuos de una población Elementos de un problema de I.E. Ejemplo introductorio Normal de media y varianza desconocidas muestra aleatoria simple de tamaño n

Departament destadística Distribución exacta de la media muestral Llamemos G a la distribución del estadístico, G = G(F(;m,s 2 ),...) Bajo fuerte suposición sobre la forma de F (normalidad), forma de G conocida de manera exacta: N(m,s 2 /n), para todo n Dependiente de parámetros desconocidos: m,s 2. En la práctica, aproximación

Departament destadística Distribución muestral exacta del estadístico t Llamemos H a la distribución del estadístico t(X), H = H(F(;m,s 2 ),...) Bajo fuerte suposición sobre la forma de F (normalidad), conocida de forma exacta: t de Student con n - 1 g.d.ll Gracias al carácter pivotal de t(x), no depende de parámetros desconocidos Pero que pasa bajo otras formas de F?

Departament destadística Distribución muestral bajo condicions más generales Según el Teorema Central del Límite, si n grande Igualmente, según el T. C. L., es razonable la aproximaciónn t N(0,1) Casos más generales más problemáticos:

Departament destadística Esquema general de estas aproximaciones Determinación previa de la forma de la distribución muestral, G(q,,...)=G(F(;q, ),...) Ajuste de los parámetros de la distribución muestral, G(,,...)

Departament destadística Principio plug-in y bootstrap (en sentido amplio) Fijémonos en el paso G = G(F(;m,s 2 ),...) Si es una buena estimación de F a partir de los datos, parece razonable aproximar G mediante Principio plug-in uMetodologia bootstrap inferencia basada en el Principio plug-in

Departament destadística A menudo es la distribución empírica, F n, discreta, que assigna probabilidad 1/n a cada valor muestral y 0 a cualquier otro Ejemplo: aplicación automàtica del Principio plug-in Si interessa característica concreta como Según Principio plug-in:

Departament destadística Detalles del cálculo anterior Conveniencia de notación X * en lugar de X: no es la misma v.a

Departament destadística Dificultades en la aplicación del Principio plug-in No tan (o a veces nada) clara su aplicación en situaciones más complejas: otras características de la distribución muestral, incluso para estadísticos sencillos como la media muestral (p.e. un cuantil,...) otros estadísticos que no sean medias ni funciones senzilles de medias determinación de la distribución muestral completa

Departament destadística El método de Montecarlo Modelo probabilístico, completamente especificado Generación de m muestras independientes (o no) según F (gran) muestra de m valores del estadístico Leyes de los grandes números

Departament destadística Generación de B remuestras de tamaño n (muestras aleatorias con reemplazo de los elementos de x) Bootstrap y Montecarlo estimación del Modelo probabilístico, muestra de B valores del estadístico Leyes de los grandes números

Departament destadística Qué estimamos a partir del Montecarlo bootstrap? Problema clásico de precisión estadística Error de aproximación de Montecarlo

Departament destadística Validez de la aproximación bootstrap Resultado general (pero no muy útil): Según Leyes de los grandes números, F n (x) tiende (en diversos sentidos) hacia F(x). Extensible a funciones suficientemente suaves Validez: resultado sobre funcionales, funciones globales de F n (u otras estimaciones) y de F: teoremas límite sobre distancias entre distribuciones Más interés práctico: comparación entre aproximación bootstrap y otras, para n finito

Departament destadística Características generales de los ejemplos Modelo probabilístico subyacente conocido Normal m = 15, s = 3, o bien Exponencial a = 1/m = 1/15 ( distribución muestral conocida) Análisis de única muestra (pequeña, n = 10), generada según uno u otro modelo. caso normal: 15.54, 21.06, 16.52, 13.62, 16.14, 10.98, 13.53, 16.02, 16.79, caso exponencial: 8.51, 8.71, 69.19, 10.05, 23.64, 8.67, 1.51, 20.36, 1.23, 5.27

Departament destadística Características generales de los ejemplos estadísticos: media muestral y t aproximaciones: normal, bootstrap no paramétrico y bootstrap paramétrico aproximaciones bootstrap: estima kernel a partir de B = 1000 valores del estadístico (media o t, según el caso) Cada uno de estos valores calculado sobre una remuestra de tamaño n = 10

Departament destadística Media muestral, caso normal: n = 10, m = 15, s = 3

Departament destadística Media muestral, caso normal: Verdadera densidad, aprox normal, bootstrap no paramétrico y paramétrico

Departament destadística Media muestral, caso exponencial: a = 1/m = 1/15

Departament destadística Media muestral, exponencial: verdadera densidad, aprox normal, bootstrap no paramétrico y paramétrico

Departament destadística Estadístico t, caso normal: n = 10, m = 15, s = 3

Departament destadística Detalle y justificación del proceso de remuestreo

Departament destadística Estadístico t, normal: verdadera densidad, aprox normal, bootstrap no paramétrico y paramétrico

Departament destadística Estadístico t, exponencial: n = 10, a = 1/m = 1/15

Departament destadística Estadístico t, exponencial: verdadera dens, aprox normal, boot no paramétrico y paramétrico

Departament destadística Caso exponencial, t, n = 40