Cálculo de fuerzas de conformado mediante el método del límite inferior Un método de límite inferior predecirá fuerzas menores que las necesarias para producir deformación plástica. Esto es interesante para diseños estructurales. Estos análisis se basan en satisfacer un criterio de fluencia plástica, equilibrios de fuerzas, pero no hacen consideraciones acerca del flujo del material en el posible proceso de deformación. El método de energía uniforme es de límite inferior, la fuerza real debe calcularse con un factor de eficiencia η. El método de Sachs (tajadas) también es de límite inferior, porque si bien incluye el roce no incluye el gasto de energía por deformación redundante y por cizalles internos del material impuestos por el proceso de deformación.

Cálculo de fuerzas de conformado mediante el método del límite superior Un método de límite superior iguala la energía que se disipa internamente por el proceso de deformación con la energía gastada por las fuerzas externas, suponiendo un determinado flujo de material en el proceso de deformación plástica. Se ha demostrado que la potencia real (dW/dt) real necesaria para producir un determinado flujo plástico es menor que: (dW/dt)real ≤ dε eq /dt ( ) = velocidad de deformación equivalente en un campo de velocidades admisible σ eq = tensión equivalente deducida a partir del campo de velocidades admisible. V = volumen de cuerpo k Tensión de fluencia en cizalle (los otros términos se definen en la siguiente transparencia)

Principios del método del límite superior v i * = velocidad de discontinuidad en superficies de cizalle S D = superficie de discontinuidad S r = superficie de roce τ r = tensión de corte en roce (mk) v i * (r) = velocidad relativa entre superficies de roce. Si la deformación del material se modela mediante desplazamientos relativos de bloques rígidos (lo veremos luego) : Si no hay roce entre matriz y material el tercer término, relativo al roce, es cero.

Cálculo mediante límite superior, modelando la deformación plástica como desplazamiento de bloques rígidos Se puede demostrar que el cálculo de fuerzas con este procedimiento es superior a la fuerza necesaria para producir deformación plástica. El método para calcular fuerzas consistirá en: 1.- Suponer un flujo de material que sea consistente con el cambio de forma deseado : “Campo cinemáticamente admisible”. 2.- La potencia interna gastada por cizalles se calcula con velocidades de discontinuidad y con la resistencia del material al cizalle (k). 3.- Las fuerzas que debe aplicar la máquina se calculan igualando la potencia externa aplicada con la potencia interna gastada en cizalles. 4.- Supondremos que la deformación se logra mediante desplazamientos de bloques rígidos según algunos planos, los que no sufren deformación en su volumen. 5.- Se supondrá material isotrópico y homogéneo. No se considera endurecimiento por deformación ni por velocidad de deformación. 6.- Se analizarán dos casos: sin roce entre matriz y material y con roce. En este caso el roce se representará por mk. 7.- Se analizarán casos en deformación plana (flujo de material bidimensional)

Límite superior, con desplazamiento de bloques rígidos aplicado a extrusión con deformación plana, sin roce. El flujo de material se modela mediante desplazamientos de bloques rígidos a lo largo de las superficies de discontinuidad AB y BC (Fig 8.2.a). Se considera sólo la mitad del campo de deformación, porque es simétrico respecto del eje central. El diagrama de velocidades, denominado hodógrafa, se muestra en la Fig. 8.2.b. debe ofrecer un flujo admisible del material, consistente con el cambio de forma producido. El triángulo ABC tiene su punto B sobre el eje central, elegido a voluntad del modelador.

Límite superior, con desplazamiento de bloques rígidos aplicado a extrusión con deformación plana, sin roce. Para el cálculo de la presión de extrusión (P extr ) se procede así: dW/dt = P extr ·(1·h 0 )· V 0 = k·1·(v AB *·AB +v BC *·BC) Se considera profundidad unitaria. v* indica discontinuidad de velocidad. La potencia externa aplicada por la máquina se disipa en los planos de discontinuidades de velocidades. Luego: P extr ·/2k = ·{1/(2·h 0 ·V 0 )} ·(v AB *·AB +v BC *·BC) Aplicando trigonometría, si θ = 90º y Ψ= 30º P extr ·/2k = 0,8655 La Fig 8.3 muestra los valores que toma P extr ·/2k para diversos valores de θ.

Límite superior, con desplazamiento de bloques rígidos aplicado a extrusión con deformación plana, con roce.

Límite superior, campo más complejo de desplazamiento de bloques rígidos aplicado a extrusión con deformación plana, sin roce.

Cálculo de deformación redundante con campo de deformaciones supuesto.

Método del límite superior aplicado a indentación con deformación plana sin roce

Compresión con deformación plana El campo de flujo se define tal que se producen cizalles a lo largo de las líneas CA y DB; los triángulos rígidos (de profundidad unitaria) AOD y BOC se desplazan debido al avance de las dos placas de forja con velocidad V 0. La potencia externa es: 2PL·1·V 0 se gasta en potencia de cizalle = 4k·AO·1·V* AO Por geometría: AO =½·(h 2 + L 2 ) ½ y V* AO = (V 0 /h)·(h 2 + L 2 ) ½ Luego: P/2k = ½(h/L + L/h)

Compresión con deformación plana Para mayores valores de la relación L/h, se obtienen mejores resultados con el método del límite superior si se utiliza un mayor número de triángulos. En contacto con los punzones debe haber un número impar de triángulos. Si se usan 3 triángulos se tiene: donde w es la base del triángulo central El menor valor de P/2k ocurre para w=L/2, entonces La hodógrafa y los cálculos se hacen con la mitad superior del material y matriz.

Compresión con deformación plana Un campo de 5 triángulos y su hodógrafa se muestran en las Figs a) y b). Se supone AB = BC y el mejor límite superior ocurre para w=L/3, así: Hodógrafa y cálculos efectuados con la parte superior del material y matriz.

Compresión con deformación plana

Límite superior considerando deformación del material Los ejemplos de límite superior dados anteriormente consideraban deslizamientos de bloques rígidos de material. Si embargo se puede aplicar la ecuación general de límite superior para analizar otros casos, especialmente con axisimetría.

Límite superior considerando deformación del material Los ejemplos vistos hasta ahora, por considerar bloques rígidos descartan el primer término: En el ejemplo siguiente de forja axisimétrica (Ej: cilindro circular) se incluirá el primer término del teorema del límite superior, no se considerarán discontinuidades internas, por tanto no se incluye el segundo término y se puede incluir o no incluir el tercer término, dependiendo la magnitud del roce existente.

Forja de disco circular Método del límite superior con deformación del material en volumen aplicado a la forja de un disco circular de radio R y altura h. Se define un campo admisible de velocidades, expresado en coordenadas cilíndricas. La velocidad de desplazamiento del material según z es: du z /dt = -(v/h)·z Como no hay velocidad de giro del material: du θ /dt =0 La velocidad de desplazamiento según r es du r /dt y se determina por constancia de volumen. Las velocidades de deformación expresadas en el sistema de coordenadas cilíndricas son: Aplicando conservación de volumen: Se puede calcular: (*)

Forja de disco circular Integrando (*) queda: para r=0, B (z) =0 y Luego: Aplicando el principio del límite superior, considerando roce pero no superficies de discontinuidad, se tiene:

Forja de disco circular El 2 fuera de la integral viene porque hay roce en la placa superior y en la inferior. La potencia de forja es: La fuerza de forja es: