Santiago Fernández Asesor matemáticas, Berritzegune de Bilbao Eibar, 4, octubre 2011 El azar, la probabilidad,… 1

Vivimos en una sociedad muy diferente a la de hace muy pocos años. Nos hallamos en tiempos de extraordinarios y acelerados cambios. Es la Sociedad del Conocimiento ¿ qué pasa con las matemáticas?

En general, el currículo matemático tiene los mismos ingredientes de hace décadas: mucha aritmética y cálculo, bastante de álgebra y análisis, un poco de geometría y casi nada de estadística y de probabilidad. Debate curricular

La noción de lo que es básico en matemáticas se está desplazando poco a poco y los contenidos considerados fundamentales durante décadas deben sufrir una reflexión profunda y bien pensada.es básico Es una tarea compleja, pero necesaria.

1.- Formular y resolver problemas 2.-Ser capaces de cuantificar situaciones y razonar acerca de los números 3.-Realizar operaciones con una cierta soltura utilizando los recursos adecuados. 4.-Poseer competencia en el tema de la medida 5.-Resolver problemas de índole geométrico en diversos contextos 6.-Entender y usar el razonamiento proporcional 7.-Comprender y usar símbolos para comunicarse, procesar información 8.-Leer e interpretar tablas y gráficas. Poseer un lenguaje funcional. 9.-Tratar lo incierto 10.-Poseer una cierta competencia en el lenguaje algebraico. 11.-Utilizar las TICs Qué es lo básico en matemáticas ?

¿Qué matemática es todavía relevante?

¿ Cómo adquirir una cierta seguridad en cuestiones sobre el azar? ¿ cuál es el camino? !! Resolviendo BUENOS problemas y reflexionando respecto a su solución !!

En un chequeo a una persona le detectan una enfermedad que padece 1 de cada personas. Se le realiza un análisis que produce un 6% de falsos positivos( no existe la enfermedad pero el análisis nos dice que sí está enfermo) ¿ cuál es la probabilidad de que realmente padezca la enfermedad? Muchas personas piensan que el 94% Pero, de cada personas hay 60 falsos positivos y 1 positivo verdadero. Por tanto, de entre las 61 positivos sólo hay uno verdadero, La probabilidad es por tanto de 1/61= 0,016 Es decir, ligeramente menor del 2% ¿Qué pasa con los porcentajes?

1.-Trabajar la intuición sobre fenómenos al azar. 2.- Realizar simulaciones, como una estrategia para solucionar diversas situaciones de estadística y probabilidad. 3.-Conocer y manejar las ideas fundamentales de la estadística y la probabilidad. 4.-Disponer de las referencias históricas fundamentales en este campo. 5.-Conocer y aplicar diversos procedimientos estadísticos y probabilísticos de cara a solucionar problemas diversos. 6.- Mejorar la práctica docente. Objetivos del curso-seminario

¿Cómo osamos hablar de leyes del azar? ¿No es, acaso, el azar la antítesis de cualquier ley? Bertrand Russell Es un hecho destacable que una ciencia que empezó analizando juegos de azar acabe convirtiéndose en el más importante objeto del conocimiento humano. P.S. Laplace

La Probabilidad es una disciplina matemática cuyos propósitos son de la misma clase que, los de cualquier otra parte de las matemáticas. En cada campo debemos distinguir tres aspectos de la teoría: a) El contenido lógico-formal, b) El antecedente intuitivo, c) Las aplicaciones. El carácter y el encanto de toda la estructura no pueden ser apreciados sin considerar los tres aspectos adecuadamente relacionados. William Feller, Introducción a la Teoría de Probabilidades y sus aplicaciones.

Algunas personas ante problemas de AZAR se sienten así…

El Mundo del azar en la Enseñanza Secundaria Contenidos Experimentos aleatorios Sucesos aleatorios y operaciones entre ellos Leyes del azar Combinatoria Frecuencias Probabilidad simple. Ley de Laplace Probabilidad compuesta Probabilidad condicional Probabilidad total. Teorema de Bayes

Antonio Pérez- Más por menos (Capítulo 7 desde el minuto 4:31)

La paradoja del ascensor El señor Arribas tiene su oficina en uno de los pisos más altos de un edificio. Llama al ascensor y piensa: “¡Maldición! El primer ascensor que se detiene aquí está subiendo. Siempre pasa lo mismo...” La señorita Ayuso trabaja en una de las primeras plantas. Y sube a desayunar al ático. Llama al ascensor y piensa: “¡Es que no lo entiendo! ¡Siempre que llamo al ascensor, el primero en llegar está bajando!” ¿Cómo es posible? (Puzzle-Math, G. Gamow y M. Stern)

Hueco del ascensor Planta alta Planta baja

Si lanzamos una bola por cada uno de los canales que se te presentan, ¿en cuál es más probable que salga por la salida 1?. Situaciones de sentido común

Otra situación…. Supongamos, por ejemplo, que barajamos un paquete de cuatro cartas —dos rojas, dos negras— y las colocamos en línea, cara abajo, sobre la mesa. Se eligen dos cartas al azar, por ejemplo, depositando una moneda sobre cada una de ellas. ¿Cuál es la probabilidad de que esas dos cartas sean del mismo color?

Una persona razona : «Hay tres casos igualmente posibles: o bien ambos naipes son negros, o bien ambos son rojos, o bien son de distinto color. En dos de los tres casos, los colores son iguales; por consiguiente, la probabilidad de que salgan del mismo color es 2/3». Nada de eso, contrapone otra persona. «Hay cuatro casos equiprobables. O bien ambas cartas son rojas, o bien ambas son negras, o bien la A es negra y la B roja, o la A es roja y la B negra. Más brevemente: o bien las cartas son del mismo color, o no lo son. Se diga de una y otra manera, la probabilidad de que sus colores sean iguales es 1/2.» ¿ Cuál de los dos tiene razón? ¿ quizás ninguno de ellos?

R 1 R 2 N 1 N 2 P=2/6=1/3

Distintas maneras de visualizar sucesos Tablas de contingencia: Diagramas en árbol: Baraja Cartas Rojas Cartas Negras No As As No As Negro Color Palo Rojo Total As 2 24 No-As Total 26 52

Problema: Al tirar una moneda dos veces, ¿cuál es la probabilidad de obtener, por lo menos, una cara ? Solución -errónea- de D´Alembert Dudaba de que la probabilidad fuese 3/4, razonando que si una cara aparecía en la primera tirada, el juego habría terminado, pues no era necesario continuar con una segunda. Enumerando sólo tres casos posibles, C/XC/XX, llegó a la probabilidad 2/3. Los sabios también se equivocan … D´Alembert

Laplace define la probabilidad de un suceso A como el cociente: Experiencia aleatoria: lanzar un Dado ¿Cuál es la probabilidad del suceso A = obtener un número mayor o igual a 5 ? ¿Y la probabilidad del suceso B = obtener un número impar ? Solución: Los seis casos posibles son igualmente probables, cada uno tiene probabilidad 1/6. P(A) = 2/6 = 1/3 pues A ={ 5, 6 } tiene dos casos favorables. P(B) = 3/6 = 1/2 pues B = {1, 3, 5} tiene tres casos favorables Probabilidad clásica

La Teoría de la Probabilidad, como disciplina matemática, puede y debe ser desarrollada a partir de unos axiomas, de la misma manera que la Geometría. Andrei Kolmogorov, Foundations of the Theory of Probability.

Definición axiomática de probabilidad Se llama probabilidad a cualquier función P que asigna a cada suceso A del espacio muestral E un valor numérico P(A), verificando los siguientes axiomas: (1) No negatividad: 0 ≤ P(A) (2) Normalización: P(E) = 1 (3) Aditividad: P(A  B) = P(A) + P(B) si A ∩ B = Ø ( donde Ø es el conjunto vacío). A. Kolmogorov, 1933

Cuando el número de realizaciones de un experimento aleatorio crece mucho la frecuencia relativa del suceso se va acercando cada vez más hacia un cierto valor. Este valor se denomina PROBABILIDAD del suceso. 1ª Ley de los grandes números. Nº de lanzamientos ( 1) Nº de veces que “ sale el 5” (2) … Frecuencia Relativa = (2)/(1) ,1250,1380,1250,150,1380,150,160 Ejemplo: Lanzamiento de un dado Suceso: Analizar cuántas veces sale el número 5

Ley de los grandes números (en forma débil) Sean X 1, X 2,..., X n variables aleatorias independientes, con la misma distribución y con valores esperados y varianzas finitos. Entonces: para S n = X 1 + X X n y cualquier real  > 0:

1ª LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS Simulaciones realizadas por Félix Matute Cañas I.E.S. Avempace – Zaragoza (España)

XXCXCXCXCXXCXCXXXXXCCXCXXCCXCCCXCCXCXCXX XXCXXCXXCXXXCXCXCCCXXXCXCXCCCXCXXCCXCXCC XCXCCXCXCXCCCXCXCCCXXXXXCCCCXCCCCXXXXCCC CCCCCCXCCXCXXXXXCCXCCCXCXXCCXXXCCCCCXXCC XCCCXXXXXCXXXXXCCXCXCXCXCCCCXXCXXCCCXCXC XCXXXXCCCCCXCCXXXCCCCXCXXCCXXXXCXXCCXXXC CXXXXCCCXCCCCCXCXCCCCCCCCCCXXCXCCCCXCXCC CCXXCXCXCXCXCXCXXCCCCXCXCCCXXCXXXCCXXCXX CXXCXXCXXCCCCCXXXXXCCCCCXXXXCXXXCCXCXXXX XXXXCXXXXXXCXCCCXCCXXCXXCCCXXXXCCCXCCXCX CXXCCXCXCXXCCCCXXXCXXCXCXXCXCXCCCCCXXXCX CXCCCCXCXCXCCCCCCXCXCXCXCCCCXXXXXXXXXCXC XXXCXXCCXCXXCCXXCXCXXCCXXXXCXCCCCXXXXCCC CCXXCXXCXXCCCXXCXXXCXXXXCCCXCCXXCCXCCXXC XCXXCXXCCXCXXCCCCXXCXCCCXXCCCXCXCXCCCXXC CCCCCCXCCXXXCXCXCCXCCXXCCXCCXXCXCXXXXCXC XCXXCXCXXCXXCXXXXXXCCCCXXXXXXCXXCXXCCCXX CXCXXXXCXCXXXCCXXCXXXXCXXXCCXCXCCCCCCCXX XCXCXXCCXXCXXXXCCXCCCCXCXCCCCCCXXCXXCCCC XXXCXCCCCXXCXXXXXXCXCXCXCXCXCXCXCXCCCXXC XXXXXCXCXCXXXCCCCXXCCXCCCCCCCCCXCXCXCCXC CXCCXXXXXCXXCXXXXCCCXXCCCXXXCXCXCXXXXCXX XXXXCCCXCXCXCXXCCCXXXXXXXCCXXXXCXXXXXXXC CCXCXXCXCCXXCCXCCXXCCCXCXXXCXXXXCCCXCXCC XXXCXCXXXXCXCCXCXCCCXXXCCXXCCCXCCCCXCXXX

Recuento de las 100 primeras tiradasRecuento de las 250 primeras tiradasRecuento de las 500 primeras tiradasRecuento de las 700 primeras tiradasRecuento total de las 1000 tiradas

Recuento de las 100 primeras tiradasRecuento de las 250 primeras tiradasRecuento de las 500 primeras tiradasRecuento de las 700 primeras tiradasRecuento total de las 1000 tiradas Félix Matute Cañas

Recuento de las 100 primeras tiradasRecuento de las 250 primeras tiradasRecuento de las 500 primeras tiradasRecuento de las 700 primeras tiradasRecuento total de las 1000 tiradas

Es muy POCO PROBABLE que si efectuamos un número suficientemente grande de experimentos, la frecuencia de un acontecimiento se aparte notablemente de su probabilidad. ( 1ª Ley de los grandes números)

Segunda ley de los grandes números En la primera ley la frecuencia relativa de un suceso se aproximaba cada vez más aun número que era la probabilidad. Mientras que a la frecuencia absoluta no le ocurre lo mismo. Número lanzamientos Frecuencia absoluta esperada Frecuencia absoluta obtenida Diferencia en valor absoluto Cuanto mayor es el número de realizaciones de un experimento aleatorio, mayor tiende a ser el valor absoluto de la diferencia entre la frecuencia absoluta de un suceso y su frecuencia absoluta esperada. ( 2º ley de los grandes números)

Tesis: Se pone de manifiesto la existencia de errores sistemáticos y conductas estereotipadas persistentes por parte de los individuos ante situaciones de tipo probabilístico. Se han identificado al dos tipos de estrategias erróneas: -LA REPRESENTATIVIDAD -LA DISPONIBILIDAD Las investigaciones de Shaughnessy

LA REPRESENTATIVIDAD Según esta estrategia la gente cree que una MUESTRA debería reflejar la DISTRIBUCIÓN de la Población y además el PROCESO por el cuál se generan los resultados aleatorios Ejemplos: 1.- En una familia de seis hijos es más probable que se produzca la secuencia VHHVHV Que las secuencias VVVVHH o HHH VVV

2.- ¿ Cuál es la probabilidad de que entre seis nacimientos tres sean machos? Un elevado número de personas responden 1/2, cuando en realidad está cercano a 1/3

Una camada de perritos que tiene cuatro perritos, que pueden ser macho o hembra, tenemos 2 4 = 16 posibilidades: Casos 1.- HHHH MMMM Probabilidad de que todos sean del mismo sexo = 2/16 = 1/8 2.-HHHM HHMH HMHH MHHH MMMH MMHM MHMM HMMM Probabilidad de tres del mismo sexo 8/16 = 1/2 3.- HHMM HMHM HMMH MHHM MHMH MMHH Probabilidad de dos machos y dos hembras 6/16 = 3/8 Hemos contado los 16 casos posibles ya que se verifica que: 1/8 + 1/2 + 3/8 = 1. La familia de perritos A casi todo el mundo le sorprende que en familias de cuatro hijos es muy probable que haya tres hijos del mismo sexo.

3.- La probabilidad de que nazca un varón es de 0,5. A lo largo del año, habrá más días en los cuales al menos el 60% de los nacimientos correspondan a varones en: a) Un hospital grande b) En un hospital pequeño c) No hay diferencia Mucha gente piensa que es la c)

Este último ejemplo se conoce como el descuido del tamaño de la muestra, un ejemplo similar es: ¿Son igual de probables los sucesos? A)Sacar 7 bolas Negras en 10 extracciones B)Sacar 70 bolas Negras en 100 extracciones C)Sacar 700 bolas Negras en extracciones NNNN

DISPONIBILIDAD Consiste en la tendencia a realizar predicciones sobre la probabilidad de un suceso, basándose en la mayor o menor facilidad con la cual es posible recordar o construir ejemplos de ese suceso. 1.- Un individuo debe seleccionar comités a partir de un grupo de 10 personas. Tú qué crees más razonable. a)Hay más comités formados por 8 personas b)Hay más comités formados por 2 personas c)Hay el mismo número de comités de 8 que de 2. Mucha gente piensa que la b), cuando en realidad es la c)

2.- Esta curva es peligrosísima, basándose en el hecho de que ha visto en ella un accidente o ha participado en uno

Sesgos referidos al lenguaje Otra dificultad en la estimación probabilística se debe a la imprecisión del lenguaje ordinario 1.- Asigna un número entre el 0 y el 1 a cada una de las siguientes expresiones, según el grado de probabilidad que consideres: Dudoso alta probabilidad Quizás las posibilidades no son grandes Podría ser se puede esperar que Casi seguro posibilidad razonable Poca probabilidad muy posible1.-

2.- Varón de 45 años, conservador, no interesado en política ¿ qué es más probable que sea abogado o ingeniero? La mayoría dice Ingeniero. Se consideran algunos atributos como intrínsicos de una ocupación, incluso si se dice que se ha escogido aleatoriamente entre una población en la que el 20% es ingeniero.

La llamada Falacia del Jugador Se piensa que después de muchas caras seguidas debería ser más probable que salga cruz No tener en cuenta la proporción (Falacia de la proporción básica) Ejemplo: Un taxi se ve envuelto en accidente nocturno: - 15% taxis azules y el 85 % taxis verdes - Una persona dice que es azul -Le hacen una prueba de visión y el 80% contesta bien ¿ cuál es la probabilidad de que el taxi sea azul? 15 azules verdes AzulVerde P( azul) dado que el testigo decía azul = 12/ 29= 0,41 Otras….

Falacia de la Conjunción Es más propenso a considerar( en algunas situaciones) cierto tipo de sucesos compuestos como mucho más probables de ocurrir que los sucesos elementales de los que provienen Ante la descripción: “Brillante, soltera, 29 años, abierta y preocupada por la justicia social” Muchas personas consideran más probable que sea cajera de banco y feminista que simplemente cajera de banco

Esto es un ejemplo de la vida real de un estudio médico, en el que se comparan los índices del éxito de dos tratamientos para piedras del riñón La primera tabla demuestra los índices del éxito y los números totales de los tratamientos para ambos tratamientos: Tratamiento A Tratamiento B el 78% (273/350) el 83% (289/350) Esto se parece demostrar que el tratamiento B es más eficaz. Si incluimos datos sobre el tamaño de la piedra del riñón, sin embargo, el mismo sistema de tratamientos revela una diversa respuesta: Tratamiento A Tratamiento B Piedras pequeñas el 93% (81/87) el 87% (234/270) Piedras grandes el 73% (192/263) el 69% (55/80) Ambos el 78% (273/350) el 83% (289/350) La información sobre el tamaño de piedra ha invertido nuestra conclusión sobre la eficacia de cada tratamiento Paradoja de Blith-Simpson-Yule

Los derivados de la probabilidad condicional Los trabajos de Falk sobre independencia y probabilidad condicionada El de independencia es uno de los conceptos claves de la teoría de probabilidad. Se dice que dos sucesos (por ejemplo, los resultados de sendos lanzamientos de un dado) son estadísticamente independientes si el conocimiento del resultado de uno no proporciona información concerniente al resultado del otro Una urna contiene dos bolas blancas y dos bolas negras. Agitamos la urna y a ciegas extraemos dos bolas, una después de otra, sin reemplazamiento. a)  Cuál es la probabilidad de que la segunda bola extraida sea blanca, sabiendo que la primera bola es blanca? b)  Cuál es la probabilidad de que la primera bola extraida sea blanca, sabiendo que la segunda bola es blanca y no se conoce el color de la primera? A) Fenómeno de Falk

El fenómeno de Falk surge cuando el suceso condicionante ocurre después que el suceso que condiciona ( ver apuntes)

B.- Dificultades en la selección de cuál es el suceso condicionante. Tenemos tres cartas: una con los dos caras azules, otra con las dos verdes y la otra con una cara azul y otra verde: Se saca una carta y se ve que tiene color azul (una de las caras) ¿ cuál es la probabilidad de que la otra cara también sea azul?

P= 1/2 A1 V A A2 P= 2/3

C) Confusión entre una condicional y su inversa. “Tener un mercedes dado que eres rico Eres rico dado que tienes un mercedes” “Tener sarpullido dado que tienes sarampión Tener sarampión dado que tienes sarpullido” D) Dilema de Monty Hall

The Monty Hall Problem Let’s Make a Deal fue un famoso concurso en las décadas de la televisión de EEUU presentado por Monty Hall y Carol Merril.

Escena de la serie Numbers

¡ Bienvenidos al show de Monty Hall! Detrás de una de estas puertas hay un coche. Y detrás de las dos restantes hay una cabra.

ABC Elijo la puerta A Nuestro concursante seleccionará una puerta...

A BC PUERTA SELECCIONADA C Monty Hall (que conoce dónde está el coche) abre la puerta C. Ahora sabemos que el coche está o bien en A o bien en B. Monty Hall nos permite cambiar de elección si queremos … ¿Es más probable ganar el coche si cambiamos de puerta? (En este caso de A a B).

B C A A C CA B B C A B C A B C A Si el concursante CAMBIA su elección original PierdeGana Pierde Gana

Si el concursante CAMBIA su elección original gana 6 veces de las 9: su probabilidad de ganar es 6/9 = 2/3. Si no cambia, su probabilidad de ganar es de 3/9 = 1/3. ¡Tiene el doble de posibilidades de ganar si cambia de puerta! Pierde Gana Pierde Gana

Paradoja de Bertrand ( ) Dado un círculo y una cuerda sobre él, tomada al azar, ¿cuál es la probabilidad de que la longitud de dicha cuerda sea mayor que el lado del triángulo equilátero inscrito en el círculo?

1.-Una barra se rompe al azar en dos puntos. ¿Cuál es la probabilidad de que con las tres partes resultantes se pueda formar un triángulo? 2.-Halla la probabilidad de que un punto elegido al azar en la figura esté situado en la región verde 3.-El día escolar comienza a las 8:30 y que termina a las 14:00. Hay un descanso de media hora entre las 11:00 y las Si hay un simulacro de incendio a una hora elegida al azar durante el día, ¿cuál es la probabilidad de que comience antes del descanso?

Solución 1: Tomemos un punto P cualquiera de la y tracemos la cuerda PT Para que se verifiquen las condiciones del problema, el extremo T debe estar situado sobre el arco AB, siendo PAB el triángulo equilátero inscrito. Pero como AB mide la tercera parte de la longitud de la circunferencia, la probabilidad pedida es igual a P = 1/3.

Solución 2 : La posición de la cuerda puede ser determinada por su distancia al centro de la circunferencia. Esta distancia puede variar entre 0 y R. La cuerda será mayor que el lado del triángulo equilátero inscrito cuando su distancia al centro sea menor que R/2. De aquí obtenemos que la probabilidad buscada es 1/2.

Solución 3: Una cuerda está totalmente determinada por su punto medio. Aquellas cuerdas cuya longitud exceda el lado del triángulo equilátero tienen sus puntos medios dentro de un pequeño círculo de radio 1/2 R. Como el área de dicho círculo es 1/4 de la del círculo de radio R. De aquí obtenemos que la probabilidad buscada es 1/4.

¿Dónde radica la paradoja? ¿Cuál es la solución a nuestro problema? La paradoja radica en qué consideramos por trazar una cuerda “al azar”. En el problema de Bertrand, distintos métodos de seleccionar una cuerda “al azar” conducen a diferentes medidas de probabilidad no equivalentes. Las distribuciones de probabilidad no son objetivas. Siempre que definamos una medida de probabilidad, dicha medida de probabilidad se basa en un conjunto de hipótesis.

El concepto de probabilidad clásico o de Laplace se basa en la equiprobabilidad de los resultados elementales. Este método sólo es aplicable para espacios muestrales finitos como ya sabemos. El concepto de probabilidad geométrica, generaliza el concepto de probabilidad de Laplace, en el sentido de que conjuntos que posean la misma medida geométrica deben de tener la misma probabilidad y de esta manera podemos generalizar la probabilidad para aplicarla a espacios infinitos. Sin embargo, no es una generalización objetiva, todo depende de que medida consideremos, como hemos visto aquí.

Algunas ideas para afrontar la probabilidad 1.- Introducir el azar de manera experimental 2.- Confrontar los sistemas de creencias personales 3.- Sensibilizar a los estudiantes hacia los usos incorrectos de la Estadística y la Probabilidad 4.- Dar a los estudiantes la oportunidad de resolver problemas que requieran la simulación de diversas situaciones 5.- Sensibilizarles de algunas paradojas aparentes de la estadística. 6.- Darles a conocer el software más interesante

ESQUEMA DIDÁCTICO PARA AFRONTAR EL MUNDO DEL AZAR 1.- EXPERIMENTACIÓN 2.- DESCUBRIR REGULARIDADES 3.-CONJETURAR 4. REPRESENTAR Y COMUNICAR 5.- FORMALIZAR Y COMPROBAR

Algunas situaciones para discutir El reparto justo El jugador audaz Los globos en la feria El paseo aleatorio El reparto justo EL Adivino La boda Las avispas El gato y el ratón Coincidencias Conteo de peces en un estanque…..

http ://ntic.educacion.es/w3//recursos/bachillerato/matematicas/probabilidad/4problemas/4problemas3m.htm