MATEMÁTICAS FINANCIERAS

Interés y Tasas de Interés Alvaro Hernán Sarria

Interés y Tasas de interés Definición El rendimiento que proporciona el enajenamiento temporal del dinero, es decir, el importe del alquiler del dinero. Como importe de alquiler que es, el interés debe referirse a períodos de tiempo y según el capital comprometido. La expresión porcentual del interés se denomina TASA DE INTERES.

Modalidades de Interés Cuando los intereses se acumulan dan lugar a dos modalidades de acumulación: Interés Simple – los intereses se acumulan en una cuenta aparte. Interés Compuesto – los intereses se acumulan en la misma cuenta del capital, es decir, son objeto de generar más intereses una vez capitalizados. El interés compuesto capitaliza los intereses mientras que el simple no lo hace.

Interés Simple Capital principal = $100,000,000 Mes Capital Tiempo = 6 meses Tasa de interés = 2% mensual Mes Capital Inicial ($) Intereses generados ($) Capital final ($) Intereses acumulados ($) 1 100,000,000 2,000,000 2 4,000,000 3 6,000,000 4 8,000,000 5 10,000,000 6 12,000,000 Final en cuentas Total por cancelar 112,000,000

Interés Compuesto Capital principal = $100,000,000 Mes Capital Tiempo = 6 meses Tasa de interés = 2% mensual Mes Capital Inicial ($) Intereses generados ($) Capital final ($) Intereses acumulados ($) 1 100,000,000 2,000,000 102,000,000 2 2,040,000 104,040,000 3 2,080,800 106,120,800 4 2,122,416 108,243,216 5 2,164,864 110,408,080 6 2,208,162 112,616,242 Total por cancelar

Interés Simple - Fórmulas Monto de Intereses I = P * i * t donde: I: Monto de interés ($) P: Monto de capital principal ($) i: Tasa de interés por período (%) t: Número de períodos (días, meses, años, etc.)

Interés Simple - Fórmulas Ejemplo: Calcular el monto de interés que paga un préstamo de $500,000 al 1.5% mensual por 18 meses: Capital: $500,000 Tasa de interés: 1.5% = 0.015 Tiempo: 18 meses I = $500,000 * 0.015 * 18 = $135,000

Interés Simple - Fórmulas Relación entre valor presente y valor futuro VF = P + I VF = P + P*i*t = P (1 + i * t) Ejemplo: Calcular el valor a pagar en 18 meses cuando se cumpla un préstamo por $500,000 al 1.5% mensual simple. I = $500,000 * 0.015 * 18 = $135,000 VF = $500,000 + $135,000 = $635,000 o VF = $500,000 * (1 + 0.015 * 18) = $635,000

Interés Simple - Fórmulas Relación entre valor presente y valor futuro VP = F / (1 + i * t) Ejemplo: Calcular el valor presente de una deuda que debe cancelar $3,000,000 dentro de 18 meses si el interés pactado es del 3% mensual: VP = $3,000,000 / (1 + 0.03 * 18) = $1,948,052

Interés Simple - Fórmulas Cálculo de Tasa de Interés i = (VF/P -1)/t Ejemplo: Calcule la tasa de interés mensual que se aplica a un préstamo de $1,948,052 que cancela $3,000,000 a los 18 meses: i = ($3,000,000/ $1,948,052 – 1)/18 = 0.03 = 3% mensual

Interés Simple - Fórmulas Cálculo de Tiempo t = (VF/P -1)/i Ejemplo: Calcule el tiempo necesario para que una deuda de $1,948,052 de convierta en $3,000,000 al 3% mensual: t = ($3,000,000/ $1,948,052 – 1)/0.03 = 18 meses

Interés Simple - Fórmulas Equivalencia de tasas: Tasa nominal o anual (in) = ip*n Donde n el número de períodos en un año. Igualmente, Tasa periódica (ip) = in/n

Interés Compuesto Relación entre valor presente y valor futuro Período Capital al inicio del período Interés del período Capital al final del período 1 P P*i P + P*i = P(1+i) 2 P(1+i) P(1+i)i P(1+i)+P(1+i)i=P(1+i)(1+i)=P(1+i)2 3 P(1+i)2 P(1+i)2i P(1+i)2+P(1+i)2i=P(1+i)2(1+i)=P(1+i)3 * n P(1+i)n-1 P(1+i)n-1i P(1+i)n-1+P(1+i)n-1i = P(1+i)n-1(1+i) = P(1+i)n VFn = P(1+i)n

Interés Compuesto Ejemplo: Un depósito de $5,000,000 se mantiene por cuatro años en una fiducia que capitaliza intereses y ofrece una tasa de interés del 1.5% mensual. ¿Cuánto se retira al final de los cuatro años? VF = $5,000,000*(1+0.015)4*12 VF = $10,217,391

Interés Compuesto Similarmente: VP = F / (1 + i)n Ejemplo: ¿Cuánto debo invertir en la misma fiducia anterior si quiero retirar $1,000,000 en 12 meses (i=1.5% mes)? VP=$1,000,000/(1.015)12=$836,387.42

Interés Compuesto Similarmente, despejando para i i = (F / P)1/n – 1 Ejemplo: ¿Qué tasa de interés mensual triplica una inversión en un año? i = (3P / P)1/12 – 1 = 31/12 – 1 = 0.0959 = 9.59% mensual

Interés Compuesto Finalmente despejando para n n = log(F / P) / log(1 + i) Ejemplo: ¿En cuanto tiempo se triplica una inversión al 3% mensual? n = log(3P/P) / log(1+0.03) = log(3)/log(1.03) = 37.17 meses

Interés Compuesto Flujos de Fondos Múltiples Hasta ahora hemos trabajado solamente con un flujo de fondos. En la vida real generalmente son flujos múltiples: FF0   1 2 3 4 n FF1 FF2 FFn FF3 FF4

Interés Compuesto Flujos de Fondos Múltiples Cálculo de valor presente: VP   1 2 3 4 n FF1 FF2 FFn FF3 FF4

Interés Compuesto Flujos de Fondos Múltiples Cálculo de valor futuro:   1 2 3 4 n FF1 FF2 VF FF3 FF4

Interés Compuesto Ejemplo Flujos Múltiples: Un padre requiere pagar las cuotas universitarias de sus hijos en Enero, Marzo y Abril (último día del mes) por valor de $5, $7 y $12 millones respectivamente. El 31 de Diciembre recibe la prima y quiere saber cuanto debe ahorrar de ella para poder cubrir las cuotas si su inversión renta 2.5% mensual? VP   1 2 3 4 12 5 7 VP = $22.25 MM

Interés Compuesto Ejemplo Flujos Múltiples: Un pobre empleado puede ahorrar $30, $40, $50 y $50 millones en uno, dos, tres, cuatro meses respectivamente para un viaje al exterior que tiene planeado dentro de un año. Si la inversión le da el 3% mensual, cuánto tendrá para su viaje? VF   1 2 3 4 12 30 40 50 VF = $223.86 MM

Interés Compuesto Como caso especial de lo anterior que pasa cuando los flujos son todos iguales: VP   1 2 3 … n-1 n A

Interés Compuesto

Interés Compuesto Despejando de la ecuación anterior podemos encontrar la formula para A (alicuota) para futuros, como VFn=P(1+i)n

Interés Compuesto Si usted compra un automóvil de $40,000,000 con una cuota inicial del 20%, con el saldo a 60 meses al 1% mensual, cuál es el monto de las cuotas mensuales? P = $40,000,000 menos la cuota inicial = $32,000,000 i = 1% mensual n = 60 meses A (cuota) =

Interés Compuesto Si ahorra mensualmente $700,000 en una corporación que le ofrece un rendimiento mensual del 0.7%, cuánto tendrá en dos años? A = $700,000 i = 0.7% mensual n = 24 meses F = A((1+i)n – 1)/i =

Interés Compuesto Estudiemos ahora el caso cuando los flujos aumentan en un porcentaje cada período. Se le llama gradiente geométrico. 1 2 3 4 5   n B B(1+j) b(1+j)2 b(1+j)3 b(1+j)4 b(1+j)n-1

Interés Compuesto

Interés Compuesto Ejemplo: Calcular el valor del préstamo cuya primera cuota es de $100,000 que aumenta en un 1% mensual y que tiene como tasa de interés 2% mensual a 12 meses. B = 100,000; i = 0.02; j = 0.01; n = 12 VP = B/(j-i) * {[(1+j)/(1+i)]n-1} VP = 100,000/(0.01-0.02)*{[(1+0.01)/(1+0.02)]n -1} VP = $1,115,062

Interés Compuesto En el caso de proyectos que no tienen caducidad, el tiempo podría ser infinito por lo cual se requiere saber el valor presente de una serie infinita de flujos. En principio supongamos que dichos flujos son iguales:

Interés Compuesto ¿Cuál es el valor presente del costo de mantenimiento y actualización ($4,000,000 anuales) que cobra una empresa de desarrollo por un aplicativo a su cliente suponiendo que el cliente lo usará indefinidamente y que el costo de oportunidad de la empresa es del 15% anual? VP = A/i = $4,000,000 / 0.15 = $26,666,667

Interés Compuesto Igualmente, se puede aplicar la teoría a gradientes geométricos infinitos.

Interés Compuesto Igualmente, se puede aplicar la teoría a gradientes geométricos infinitos.

Interés Compuesto ¿Cuál es el valor presente del costo de mantenimiento ($4,000,000 anuales que sube con el IPC anualmente) que cobra una empresa de desarrollo por un aplicativo a su cliente suponiendo que el cliente lo usará indefinidamente y que el costo de oportunidad de la empresa es del 15% anual? Suponga un IPC del 4,5%. VP = B/(i-j) = $4,000,000 / (0.15-0.045) = $38,095,238

Interés Compuesto Plazo Muerto Periodo en el cual no se hacen pagos ni se contabilizan intereses pero si se toma en cuenta el tiempo transcurrido del plazo muerto dentro del plazo total del préstamo.

Interés Compuesto Periodo de Gracia Período en el cual no se hacen pagos pero sí se contabilizan intereses. Igualmente el tiempo transcurrido de gracia cuenta en el tiempo total.

Amortización Fórmulas: INTt = SIt * i ABt = Ct – INTt SFt = SIt – ABt SIt+1 = SFt donde: INTt = Monto de los intereses del período t ABt = Abono a capital período t Ct = Monto de pago o cuota período t SIt = Saldo inicial del período t SFt = Saldo final del período t i = Tasa de interés a aplicar en cada período

Amortización Ejemplo en Excel (alicuota): P 100,000,000 i 30% n 5 Periodo Saldo ini intereses capital cuota saldo fin 1 30,000,000 11,058,155 41,058,155 88,941,845 2 26,682,554 14,375,601 74,566,244 3 22,369,873 18,688,282 55,877,962 4 16,763,389 24,294,766 31,583,196 9,474,959

Amortización Ejemplo en Excel (gradiente geométrico): P 100,000,000 i 30% j 10% n 5 Periodo Saldo ini intereses capital cuota saldo fin 1 30,000,000 5,320,535 35,320,535 94,679,465 2 28,403,839 10,448,750 38,852,589 84,230,715 3 25,269,215 17,468,633 42,737,848 66,762,082 4 20,028,625 26,983,008 47,011,633 39,779,074 11,933,722 51,712,796

Tasas de interés

Denominaciones de la Tasa de Interés Según como proponga la información de los períodos de tiempo: Periódica – corresponde al periodo de composición (día, mes, trimestre, etc.) Nominal – la expresión anualizada de la tasa periódica, es decir, la tasa periódica multiplicada por el número de períodos al año Efectiva – la expresión equivalente a una tasa periódica pero con período igual a un año

Denominaciones de la Tasa de Interés Según la causación: Anticipada – cuando el interés se causa en forma anticipada en el período. Vencida - cuando el interés se causa en forma vencida en el período. La tasa efectiva solamente se expresa como vencida.

Ejemplos de Tasas de Interés Tasa periódica: 2% m.v. 2% mes vencido, es decir, paga de interés el 2% del valor prestado al final de cada mes. 3% t.a. 3% trimestre anticipado, es decir, paga anticipadamente el 3% del valor prestado cada tres meses empezando desde el mes cero.

Ejemplos de Tasas de Interés Tasa nominal: 24% a.m.v. 24% anual compuesto mensualmente causado al final del mes, es decir, equivalente al 2% m.v. de la página anterior (2%*12) 12% a.t.a. 12% anual compuesto trimestralmente con pago anticipado, equivalente al 3% t.a. anterior (3%*4).

Ejemplos de Tasas de Interés Tasa efectiva: Fórmulas de conversión de tasas periódicas y nominales a efectivas: de periódica anticipada a periódica vencida: ipv = ipa/(1-ipa) de periódica vencida a periódica anticipada: ipa = ipv/(1+ipv) de periódica vencida a efectiva: ie = (1 + ipv)n – 1 de efectiva a periódica vencida: ipv = (1 + ie)1/n – 1

Ruta de Equivalencia de Tasas m periodos por año ñ periodos por año inv ipv ie ipv inv ina ipa ipa ina ipv=inv/m ie=(1+ipv)m-1 ipv=(1+ie)1/ñ-1 inv=ipv*ñ ipv=ipa/(1-ipa) ipa=ipv/(1+ipv) ipa=ina/m ina=ipa*ñ

Ejemplos de Tasas de Interés Tasa efectiva: 24% a.m.v. = 24% / 12 m.v. = 2% m.v. = (1 + 2%)12 - 1 e.a. = (1.02)12 – 1 = 0.2682 = 26.82% e.a. 12% a.t.a. = 12% / 4 t.a. = 3% t.a. = 3% / (1 – 3%) t.v. = 0.03/0.97 t.v. = 0.0309 t.v. = 3.09% t.v. = (1 + 3.09%)4 -1 e.a. = (1.0309)4 – 1 e.a. = 0.1296 e.a. = 12.96% e.a.

Fórmula: iR = (1 + ie) / (1 + if) - 1 Tasa real Tasa de interés sobre moneda constante, es decir, libre del efecto de la inflación. Fórmula: iR = (1 + ie) / (1 + if) - 1 Ejemplo 1: 20% e.a. con inflación del 5% e.a. Tasa real = (1 + 20%)/(1 + 5%) -1 = 14.29% e.a.

Tasa real Ejemplo 2 Hoy Tengo : $10,000 Precio panela : $100 Puedo comprar : 100 panelas Inflación = 5% e.a. Tasa inversión = 20% e.a. En un año Tengo : $10,000*(1+20%)=$12,000 Precio panela : $100*(1+5%)=$105 Puedo comprar : $12,000 / $105 = 114.29 panelas

Tasas Mixtas Una tasa es mixta cuando se declara como la suma de dos tasas, generalmente una variable o de referencia y una fija. Las dos tasas deben referirse al mismo período antes de sumarse. Normalmente se acepta como guía la declaración de la fija a menos que ésta no se defina y en ese caso se toma la declarada por la variable.

Tasas Mixtas Ejemplo: DTF + 5% a.t.v. (si el DTF está en 7% ea) Pasar la DTF a a.t.v. 7% e.a. -> (1+7%)(1/4)-1 t.v.=1.706% t.v.=6.823% a.t.v. Sumar las tasas 6.823% + 5% = 11.823% a.t.v. 3) Pasar la tasa a efectiva anual para comparación: 11.823% a.t.v. -> 2.956% t.v. -> (1+2.956%)4-1 e.a. = 12.358% e.a. Otras tasas de referencia: Libor, Prime rate

Tasas Compuestas Cuando la tasa se define entre dos o más tasas y una de ellas se declara sobre una base monetaria diferente a la base de declaración de la tasa original. Fórmula: i = (1 + iu)(1 + ic) - 1 Ejemplo 1: Inversión que gana 9% e.a. en dólares – tasa equivalente en pesos si la devaluación es del -2% e.a. i = (1 + 9%)(1 – 2%) – 1 = 6.82% e.a.

Tasas Compuestas Ejemplo 2: Hoy: Tengo : $100,000,000 COP TRM : $2,500 COP/USD Compro: $40,000 USD Tasa inversión USD : 9% e.a. Devaluación : -2% e.a. En un año: Tengo : $40,000*(1+9%) = $43,600 USD TRM: $2,500*(1-2%) = $2,450 COP/USD Compro : $43,600*2,450 = $106,820,000 COP Utilidad : ($106,820,000 / $100,000,000 )-1 = 6.82%