Modelos ARMA

Proceso Ruido Blanco Una secuencia de variables aleatorias {at } tal que . . . . 1 2 3 4 k

La Descomposicion de Wold Sea {Zt} una serie temporal estacionaria y no deterministica. Entonces

Algunos Notas sobre la Descomposicion de Wold

Que no dice la descomposición de Wold? at no tiene por que seguir una distribucion normal y por tanto no tiene por que ser iid Aunque P[at|Zt-j]=0, esto no implica que E[at|Zt-j]=0 (piensa en las posibles consecuencias!!!!) Los shocks a no necesitan ser los “verdaderos” del sistema. Cuando lo serán???? La unicidad del resultado solo dice que la representacion de Wold es la unica representacion lineal donde los shocks son errores de prediciones. Representaciones no-lineales o representaciones en terminos de errores que no sean de prediccion son perfectamente posibles.

Ejemplo de lineal versus no-lineal Suponga que Yt=Xt2 + Zt con Xt y Zt N(0, 1) e independientes entre ellas. La mejor prediccion dado Xt es E[Yt|Xt]=Xt2. La mejor prediccion lineal o projeccion lineal dado Xt es a + b Xt donde se puede comprobar que a=1 y b=0. Si calculamos el error cuadratico medio de las dos predicciones: E[Yt-Xt2]2=E[Zt]2 =1 E[Yt-1]2=E[Xt4]+E[Zt]2-1=3 Que prediccion es mejor? .

Nacimiento de los modelos ARMA Bajo condiciones generales, el polinomio de retardos infinito de la descomposicion de Wold puede ser aproximado por el cociente de dos polinomios de retardos finitos: Entonces AR(p) MA(q)

Procesos MA(1) Sea un ruido blanco de media cero Esperanza Varianza Autocovarianza

Proceso MA(1) (cont) Autocovarianzas de ordenes mayores Autocorrelacion

Proceso MA(1) (cont) MA(1) es un proceso estacionario en covarianzas porque MA(1) es ergodico porque Si fuera Gaussiano, entonces seria ergodico para todos los momentos

Ambos procesos comparten la misma funcion de autocorrelacion Grafico de la funcion 0.5 -1 1 -0.5 Ambos procesos comparten la misma funcion de autocorrelacion MA(1) no es identificable, excepto para

Invertibilidad Definición: Un proceso MA(q) definido por la ecuación se dice que es invertible si existe una secuencia de constantes y Teorema: Sea {Zt} un MA(q). Entonces {Zt} es invertible si y solo si Los coeficientes {pj} están determinados por la relación

Identificación de un MA(1) Si identificamos el MA(1) a través de la estructura de autocorrelaciones, necesitamos decidir que valor de q elegir, el mayor que uno o el menor que uno. Si requerimos que se cumpla condicion de invertibilidad (pensad por que???) elegiríamos el valor q<1. Otra razón por la cual elegimos el valor menor que uno se encuentra en la varianza de los errores de las dos representaciones alternativas:

Estacionario en covarianzas y ergodico, por las mismas MA(q) Momentos MA(q) es Estacionario en covarianzas y ergodico, por las mismas por las que lo es un MA(1)

Es estacionario en covarianzas? MA(infinito) Es estacionario en covarianzas? El proceso es estacionario en covarianzas, si se cumple que mention the change of notation from theta to psi

Procesos Causales y Estacionarios Definición: Un AR(p) definido por la ecuación se dice que es causal, o una función causal de {at}, si existe una secuencia de constantes y Causalidad es equivalente a Definicion: Una solucion estacionaria {Zt} de la ecuacion existe (y es la unica sol. estacionaria) si y solo si Desde ahora en adelante solo trataremos como modelos AR causales

AR(1) Substituyendo hacia atras pogresión geometrica Recordad: es la condición para causalidad y ergodicidad

AR(1) (cont) Por lo tanto, el AR(1) es causal si Alternativamente, considerando la solucion de la ecuación caracteristica: i.e. las raices de esta ecuación estan fuera del circulo unidad. Esperanza Varianza

Autocovarianza de un AR(1) causal Re-escribiendo el proceso como Autocorrelacion de un AR(1) causal ACF PACF: De las ecuaciones de Yule-Walker Make a graph of the autocorrelations of an AR(1)

AR(p) Todas las p raices de la ecuacion caracteristica fuera del circulo unidad Causal ACF Sistema para resolver las primeras p autocorrelations: p unknowns and p equations ACF decae como una mixtura de exponenciales y/o sinusoidales, dependiendo de si las raices son reales o complejas PACF

Relacion entre un AR(p) y un MA(q) AR(p) Causal Ejemplo

Transforme un MA(2) en un AR(infinito) MA(q) Invertible Ask the students to calculate the pi from a MA(2) Transforme un MA(2) en un AR(infinito)

ARMA (p,q)

ARMA(1,1)

ACF de un ARMA(1,1) Tomando esperanzas

ACF PACF

ACF and PACF of an ARMA(1,1)

ACF and PACF of an MA(2)

ACF and PACF of an AR(2)

Apendice: Operador de Retardos L Definicion Propiedades Ejemplos

Apendice: Operador Inverso Definicion Observad que : esta definicion no se mantiene porque el limite no existe Ejemplo:

Apendice: Operador Inverso (cont) Supongamos que tenemos el modelo ARMA y queremos encontrar la representacion MA . Se puede intentar hacerlo directamente pero no es nada divertido. Alternativamente se puede encontrar e igualar coeficientes en los terminos en Lj . Example: Suppose . que se puede resolver recursivamente INTENTALO!!!

Apendice: Factorizando Polinomios de retardos Supongamos que necesitamos invertir el polinomio Se puede hacer factorizando: Ahora invirtiendo cada factor y multiplicando: Check the last expression!!!!

Apendice: Algunos trucos La ultima expresion se puede espresar via la factorizacion parcial. Encuenta las constantes a y b tal que El numerador del lado derecho debe ser 1, asi que

Apendice: Mas sobre Invertibilidad Considere un MA(1) Definicion Un proceso MA es invertible si se puede re-escribir como un AR( ) Un MA(1) es invertible si Un MA(q) es invertible si todas las raices de la ecuacion caracteristica estan fuera del circulo unidad. Procesos MA tienen representaciones invertibles y no-invertibles Representaciones invertibles: prediciones optimas dependen de informacion pasada. Representaciones no-invertibles: prediciones dependen del futuro!!!