TEMA T ÉCNICAS DE C ONTEO M. EN P. E. A NA M ARGARITA A RRIZABALAGA R EYNOSO T OLUCA DE L ERDO ; E STADO DE M ÉXICO. A GOSTO DE 2015 P ROBABILIDAD Y E STADÍSTICA U NIVERSIDAD A UTÓNOMA DEL E STADO DE M ÉXICO F ACULTAD DE Q UÍMICA P ROGRAMA E DUCATIVO DE Q UÍMICO EN A LIMENTOS 1

T ÉCNICAS DE C ONTEO A NÁLISIS C OMBINATORIO Á BACO F UENTE : I MÁGENES DE G OOGLE,

I NTRODUCCIÓN U NA DE LAS INTERROGANTES QUE CON MAYOR FRECUENCIA SE PLANTEA ES ¿ DE CUÁNTAS MANERAS DISTINTAS PUEDE PRESENTARSE DETERMINADA SITUACIÓN ? L AS T ÉCNICAS DE C ONTEO O TAMBIÉN DENOMINADAS COMO A NÁLISIS C OMBINATORIO PERMITEN CALCULAR DE FORMA MÁS FÁCIL EL NÚMERO DE CASOS FAVORABLES Y EL NÚMERO DE CASOS TOTALES COMO RESULTADO DE UN EXPERIMENTO PROBABILÍSTICO. 3

I NTRODUCCIÓN E JEMPLO E L S R. O ROZ TIENE UN TRAJE GRIS Y UNO AZUL ; TIENE CUATRO CAMISAS : BLANCA, AZUL, CREMA Y RAYADA ¿D E CUANTAS MANERAS DISTINTAS SE PUEDE VESTIR, UTILIZANDO ESTAS PRENDAS, SI TODAS LAS PRENDAS COMBINAN BIEN ? S OLUCIÓN C ON EL PRIMER TRAJE PUEDE USAR LAS CUATRO CAMISAS, CON EL SEGUNDO TRAJE TAMBIÉN PUEDE USAR LAS CUATRO CAMISAS. 4

I NTRODUCCIÓN S OLUCIÓN P OR LO TANTO, SE PUEDE RESUMIR ESTA INFORMACIÓN EN LA TABLA SIGUIENTE : D ONDE LA PRIMERA LETRA ES LA INICIAL DEL COLOR DEL TRAJE Y LA SEGUNDA ES LA INICIAL DEL COLOR DE LA CAMISA. T RAJE C AMISAS B LANCA A ZUL C REMA R AYADA A ZUL (A, B) (A, A) (A, C) (A, R) G RIS (G, B) (G, A) (G, C) (G, R) 5

I NTRODUCCIÓN S OLUCIÓN A NALIZANDO LA INFORMACIÓN DE LA T ABLA ANTERIOR SE IDENTIFICAN OCHO POSIBLES COMBINACIONES : N ÚMERO DE T RAJES M ULTIPLICAR N ÚMERO DE C AMISAS N ÚMERO DE C OMBINACIONES 2X4=8 6

C ONTENIDO T ÉCNICAS DE C ONTEO P ERMUTACIÓN C OMBINACIÓN T ÉCNICAS DE C ONTEO P RINCIPIOS DE LAS T ÉCNICAS DE C ONTEO F UENTE : E LABORACIÓN PROPIA,

T ÉCNICAS DE CONTEO L AS T ÉCNICAS DE C ONTEO FACILITAN EL RECUENTO DE SUCESOS PARA : N O HACER UNA LISTA DE UNO A UNO DE LOS OBJETOS O SUJETOS QUE COMPONEN UNA COLECCIÓN GRANDE. N O HACER UNA LISTA DE UNO A UNO DE LOS OBJETOS O SUJETOS QUE COMPONEN UNA COLECCIÓN GRANDE. D ESCRIBIR EVENTOS DIFÍCILES DE ORGANIZAR. D ESCRIBIR EVENTOS DIFÍCILES DE ORGANIZAR. E NUMERAR LAS POSIBILIDADES DE ORGANIZAR UN EVENTO. E NUMERAR LAS POSIBILIDADES DE ORGANIZAR UN EVENTO. L AS T ÉCNICAS DE CONTEO SON USADAS PARA CUANTIFICAR EL NÚMERO DE ELEMENTOS DE UN ESPACIO MUESTRAL T ÉCNICAS DE C ONTEO F UENTE : I MÁGENES DE G OOGLE,

T ÉCNICAS DE CONTEO P RINCIPIO DE LA MULTIPLICACIÓN P RINCIPIO DE LA ADICIÓN P ERMUTACIONES P ERMUTACIONES CON REPETICIÓN C OMBINACIONES P RUEBAS O RDENADAS F UENTE : E LABORACIÓN PROPIA, 2015 C ONTENIDO TEMÁTICO 9

P RINCIPIO DE LA M ULTIPLICACIÓN D EFINICIÓN S I SE DESEA REALIZAR UNA ACTIVIDAD QUE CONSTA DE R PASOS, EN DONDE EL PRIMER PASO DE LA ACTIVIDAD A REALIZAR PUEDE SER LLEVADO A CABO DE N 1 MANERAS, EL SEGUNDO PASO DE N 2 MANERAS Y EL R - ÉSIMO PASO DE N R MANERAS, ENTONCES ESTA ACTIVIDAD PUEDE SER LLEVADA A CABO : PM = [(N 1 )(N 2 )…(N r )] T ÉCNICAS DE C ONTEO F UENTE : I MÁGENES DE G OOGLE,

P RINCIPIO DE LA M ULTIPLICACIÓN E JEMPLO U NA JOVEN SE ENFRENTA POR LA MAÑANA A LA INTERROGANTE ¿C ÓMO ME VOY A VESTIR HOY ? S E PARA FRENTE AL GUARDARROPA Y LO PRIMERO QUE DICE ES NO TENGO QUE PONERME!!! P RINCIPIO DE LA M ULTIPLICACIÓN F UENTE : I MÁGENES DE G OOGLE,

P RINCIPIO DE LA M ULTIPLICACIÓN S OLUCIÓN P ERO EN SU ARMARIO HAY TRES PANTALONES (N 1 ), DOS FALDAS (N 2 ), DOS VESTIDOS (N 3 ), CINCO BLUSAS (N 4 ), CUATRO SUÉTERES (N 5 ). ¿D E CUÁNTAS FORMAS PUEDE VESTIRSE ? A PLICAR EL P RINCIPIO DE LA M ULTIPLICACIÓN (PM): PM = [(N 1 )(N 2 )(N 3 )(N 4 )(N 5 )] = [(3)(2)(2)(5)(4)] = 240 POSIBILIDADES PARA VESTIRSE P RINCIPIO DE LA M ULTIPLICACIÓN F UENTE : I MÁGENES DE G OOGLE,

P RINCIPIO DE LA M ULTIPLICACIÓN E JERCICIO U NA PERSONA SELECCIONA UNA LÍNEA AÉREA PARA UN VIAJE DE L OS Á NGELES A C HICAGO Y UNA SEGUNDA PARA CONTINUAR A N UEVA Y ORK. L AS OPCIONES QUE TIENE SON : U NA AEROLÍNEA LE OFRECE CUATRO HORARIOS PARA VIAJAR DE L OS Á NGELES A D ENVER ; OTRA LE OFRECE DOS HORARIOS PARA VIAJAR DE D ENVER A C HICAGO Y FINALMENTE OTRA AEROLÍNEA LE OFRECE TRES HORARIOS PARA VIAJAR DE C HICAGO A N UEVA Y ORK ¿C UÁNTOS HORARIOS TIENE DISPONIBLES PARA VIAJAR DE L OS Á NGELES A N UEVA Y ORK ? 13

P RINCIPIO DE LA M ULTIPLICACIÓN S OLUCIÓN ¿C UÁNTOS HORARIOS TIENE DISPONIBLES PARA VIAJAR DE L OS Á NGELES A N UEVA Y ORK ? A PLICAR EL P RINCIPIO DE LA M ULTIPLICACIÓN (PM) N 1 = H ORARIOS DE VIAJE L OS Á NGELES A D ENVER = 4 N 2 = H ORARIOS DE VIAJE D ENVER A C HICAGO = 3 N 3 = H ORARIOS C HICAGO A N UEVA Y ORK = 3 PM = [(N 1 )(N 2 )(N 3 )] = [(4)(3)(3)] = 36 14

P RINCIPIO DE LA ADICIÓN 15

E JEMPLO U NA PERSONA DESEA COMPRAR UNA LAVADORA DE ROPA ; PARA LO CUAL HA PENSADO QUE PUEDE SELECCIONAR DE ENTRE LAS MARCAS W HIRPOOL (W), E ASY (E) Y G ENERAL E LECTRIC (GE); CUANDO ACUDE A HACER LA COMPRA SE ENCUENTRA QUE LA LAVADORA DE LA MARCA W SE PRESENTA EN DOS TIPOS DE CARGA (8 O 10 KG ), EN CUATRO COLORES DIFERENTES Y PUEDE SER AUTOMÁTICA O SEMIAUTOMÁTICA. C ONTINÚA … P RINCIPIO DE LA ADICIÓN 16

E JEMPLO L A LAVADORA DE LA MARCA E SE PRESENTA EN TRES TIPOS DE CARGA (8, 10 O 15 KG ), EN DOS COLORES DIFERENTES Y PUEDE SER AUTOMÁTICA O SEMIAUTOMÁTICA, Y LA LAVADORA DE LA MARCA GE SE PRESENTA EN SOLO UN TIPO DE CARGA, QUE ES DE 10 KG, DOS COLORES DIFERENTES Y SOLO HAY SEMIAUTOMÁTICA. C ONTINÚA … P RINCIPIO DE LA ADICIÓN 17

P RINCIPIO DE LA ADICIÓN S OLUCIÓN ¿C UÁNTAS POSIBILIDADES TIENE ESTA PERSONA PARA SELECCIONAR LA LAVADORA QUE QUIERE COMPRAR ? U TILIZAR EL P RINCIPIO DE LA M ULTIPLICACIÓN PARA OBTENER LAS OPCIONES QUE OFRECE CADA MARCA DE LAVADORAS. U TILIZAR EL P RINCIPIO DE LA M ULTIPLICACIÓN PARA OBTENER LAS OPCIONES QUE OFRECE CADA MARCA DE LAVADORAS. U TILIZAR EL P RINCIPIO DE LA A DICIÓN PARA OBTENER TODAS LAS POSIBILIDADES QUE SE TIENE PARA COMPRAR UNA LAVADORA. U TILIZAR EL P RINCIPIO DE LA A DICIÓN PARA OBTENER TODAS LAS POSIBILIDADES QUE SE TIENE PARA COMPRAR UNA LAVADORA. M ARCA C ARGA C OLOR M ECANISMO T OTAL W HIRPOOL (W) E ASY (E) G ENERAL E LECTRIC (GE)

P RINCIPIO DE LA ADICIÓN S OLUCIÓN T OTAL DE POSIBILIDADES PARA LA COMPRA DE UNA L AVADORAS = [O PCIONES DE (W)+ O PCIONES DE (E) + O PCIONES DE (GE)] = [ ] = 30 O PCIONES DE L AVADORAS POR M ARCA M ARCA C ARGA C OLOR M ECANISMO T OTAL W HIRPOOL (W) E ASY (E) G ENERAL E LECTRIC (GE)

T ÉCNICAS DE C ONTEO F UENTE : E LABORACIÓN PROPIA, 2015 N O INTERESA EL LUGAR O POSICIÓN QUE OCUPA CADA UNO DE LOS ELEMENTOS I NTERESA EL LUGAR O POSICIÓN QUE OCUPA CADA UNO DE LOS ELEMENTOS 20

P ERMUTACIONES D EFINICIÓN U NA PERMUTACIÓN (P) ES UN ARREGLO DE TODO O PARTE DE UN CONJUNTO DE OBJETOS. P ARA ESTE ARREGLO DE TODOS LOS ELEMENTOS DE UN CONJUNTO, O DE UNA PARTE DE ELLOS, EL ORDEN ES IMPORTANTE. 21

P ERMUTACIONES 22

P ERMUTACIONES D EFINICIÓN E L NÚMERO DE PERMUTACIONES DE (n) OBJETOS DISTINTOS P ARA ARREGLOS EN DONDE SE UTILICEN LOS (n) OBJETOS CON QUE SE CUENTA, LA FÓRMULA DE LAS PERMUTACIONES ES : nPn = n! 23

P ERMUTACIONES E JEMPLO E N UNA CARRERA DE AUTOMÓVILES HAY CUATRO CORREDORES INSCRITOS. P ARA EVITAR SUSPICACIAS, LOS ORGANIZADORES DETERMINAN ASIGNAR MEDIANTE UN SORTEO LOS AUTOS QUE CADA CORREDOR USARÁ ¿D É CUANTAS MANERAS DIFERENTES PUEDEN SER ASIGNADOS LOS AUTOMÓVILES A LOS CORREDORES ? nPn = n! = 4! = 24 FORMAS 24

P ERMUTACIONES E JEMPLO ¿C UÁNTOS COMITÉS DIFERENTES SERÁN POSIBLES FORMAR, SI SE DESEA QUE CONSTEN DE UN P RESIDENTE, UN S ECRETARIO, UN T ESORERO, UN P RIMER V OCAL Y UN S EGUNDO V OCAL ?, SÍ ESTA REPRESENTACIÓN PUEDE SER FORMADA DE ENTRE 25 MIEMBROS DEL SINDICATO DE UNA PEQUEÑA EMPRESA. 25

S OLUCIÓN P OR EL PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACIÓN P OR EL PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACIÓN : P ERMUTACIONES N1N1N1N1X N2N2N2N2X N3N3N3N3X N4N4N4N4X N5N5N5N5=25X24X23X22X21=6,375,600 MANERAS DE FORMAR UNA REPRESENTACIÓN SINDICAL 26

P ERMUTACIONES 27

P ERMUTACIONES 28

P ERMUTACIONES E STE CÁLCULO PERMITE OBTENER TODOS AQUELLOS ARREGLOS EN DONDE EL ORDEN ES IMPORTANTE Y SOLO SE USE UNA PARTE (r) DE LOS (n) OBJETOS CON LOS QUE SE CUENTA ; ADEMÁS HAY QUE HACER NOTAR QUE NO SE PUEDEN REPETIR OBJETOS DENTRO DEL ARREGLO ; ESTO ES, LOS (n) OBJETOS SON TODOS DIFERENTES. E STE CÁLCULO PERMITE OBTENER TODOS AQUELLOS ARREGLOS EN DONDE EL ORDEN ES IMPORTANTE Y SOLO SE USE UNA PARTE (r) DE LOS (n) OBJETOS CON LOS QUE SE CUENTA ; ADEMÁS HAY QUE HACER NOTAR QUE NO SE PUEDEN REPETIR OBJETOS DENTRO DEL ARREGLO ; ESTO ES, LOS (n) OBJETOS SON TODOS DIFERENTES. 29

P ERMUTACIONES CON REPETICIÓN 30

D E DONDE : P ERMUTACIONES CON REPETICIÓN n N ÚMERO TOTAL DE DATOS DEL ESTUDIO X 1, X 2, X 3, … X K C ANTIDAD DE OBJETOS DE CADA TIPO nP (X 1, X 2, X 3, … X K ) N ÚMERO TOTAL DE PERMUTACIONES QUE ES POSIBLE OBTENER CON (n) OBJETOS E NTONCES, SE BUSCA OBTENER LAS PERMUTACIONES DE (n) OBJETOS, CUANDO ENTRE ESOS OBJETOS HAY ALGUNOS QUE SON IGUALES. 31

E JEMPLO S I UN EQUIPO DE FÚTBOL SOCCER FEMENIL PARTICIPA EN 12 JUEGOS EN UNA TEMPORADA ¿ CUÁNTAS MANERAS HAY DE QUE ENTRE ESOS DOCE JUEGOS EN LOS QUE PARTICIPA, OBTENGA 7 VICTORIAS, 3 EMPATES Y 2 JUEGOS PERDIDOS ? S OLUCIÓN P ERMUTACIONES CON REPETICIÓN 32

E JERCICIOS ¿C UÁNTAS PALABRAS DISTINTAS DE SEIS LETRAS SE PUEDEN FORMAR CON LAS LETRAS A, B, C, D, E Y F? ¿C UÁNTAS PALABRAS DISTINTAS DE SEIS LETRAS SE PUEDEN FORMAR CON LAS LETRAS A, B, C, D, E Y F? ¿C UÁNTAS PALABRAS DISTINTAS DE SEIS LETRAS SE PUEDEN FORMAR CON LAS LETRAS A, B, C, D, E Y F, SI NO SE PUEDEN REPETIR ? ¿C UÁNTAS PALABRAS DISTINTAS DE SEIS LETRAS SE PUEDEN FORMAR CON LAS LETRAS A, B, C, D, E Y F, SI NO SE PUEDEN REPETIR ? ¿C UÁNTAS PALABRAS DE CUATRO LETRAS PUEDEN FORMARSE CON LAS LETRAS A, B, C, D, E Y F? ¿C UÁNTAS PALABRAS DE CUATRO LETRAS PUEDEN FORMARSE CON LAS LETRAS A, B, C, D, E Y F? T RES NIÑOS VAN A INTERPRETAR A LOS R EYES M AGOS EN UNA PASTORELA ¿D E CUÁNTAS MANERAS DIFERENTES PUEDEN ELEGIR LOS PAPELES DE M ELCHOR, G ASPAR Y B ALTASAR ? T RES NIÑOS VAN A INTERPRETAR A LOS R EYES M AGOS EN UNA PASTORELA ¿D E CUÁNTAS MANERAS DIFERENTES PUEDEN ELEGIR LOS PAPELES DE M ELCHOR, G ASPAR Y B ALTASAR ? P ERMUTACIONES 33

E JERCICIOS U STED ACABA DE SER CONTRATADO PARA CONFORMAR LA PROGRAMACIÓN DE LA CADENA DE TELEVISIÓN FOX. C UANDO ESTÁ SELECCIONANDO LOS PROGRAMAS A TRANSMITIR EL LUNES POR LA NOCHE, ENCUENTRA QUE TIENE 27 PROGRAMAS DISPONIBLES Y QUE DEBE SELECCIONAR CUATRO DE ELLOS. E L ORDEN DE LOS PROGRAMAS ES IMPORTANTE POR LOS EFECTOS DE LIDERAZGO. ¿C UÁNTAS SECUENCIAS DIFERENTES DE CUATRO PROGRAMAS SON POSIBLES CUANDO HAY 27 PROGRAMAS DISPONIBLES ? U STED ACABA DE SER CONTRATADO PARA CONFORMAR LA PROGRAMACIÓN DE LA CADENA DE TELEVISIÓN FOX. C UANDO ESTÁ SELECCIONANDO LOS PROGRAMAS A TRANSMITIR EL LUNES POR LA NOCHE, ENCUENTRA QUE TIENE 27 PROGRAMAS DISPONIBLES Y QUE DEBE SELECCIONAR CUATRO DE ELLOS. E L ORDEN DE LOS PROGRAMAS ES IMPORTANTE POR LOS EFECTOS DE LIDERAZGO. ¿C UÁNTAS SECUENCIAS DIFERENTES DE CUATRO PROGRAMAS SON POSIBLES CUANDO HAY 27 PROGRAMAS DISPONIBLES ? P ERMUTACIONES 34

E JERCICIOS S E TIENE UN ASTA BANDERA DE DIEZ POSICIONES Y DIEZ BANDERAS DE LAS CUALES CINCO SON ROJAS, TRES AZULES Y DOS BLANCAS. C ALCULAR EL NÚMERO DE SEÑALES DIFERENTES QUE PUEDEN FORMARSE AL COLOCAR TODAS LAS BANDERAS SIMULTÁNEAMENTE SOBRE EL ASTA ? S E TIENE UN ASTA BANDERA DE DIEZ POSICIONES Y DIEZ BANDERAS DE LAS CUALES CINCO SON ROJAS, TRES AZULES Y DOS BLANCAS. C ALCULAR EL NÚMERO DE SEÑALES DIFERENTES QUE PUEDEN FORMARSE AL COLOCAR TODAS LAS BANDERAS SIMULTÁNEAMENTE SOBRE EL ASTA ? ¿D E CUÁNTAS MANERAS SE PUEDEN COLOCAR DIEZ LIBROS EN UN ESTANTE, SI CUATRO DE ELLOS DEBEN ESTAR SIEMPRE JUNTOS ? ¿D E CUÁNTAS MANERAS SE PUEDEN COLOCAR DIEZ LIBROS EN UN ESTANTE, SI CUATRO DE ELLOS DEBEN ESTAR SIEMPRE JUNTOS ? S I UN EXAMEN CONSISTE EN 12 PREGUNTAS DE FALSO - VERDADERO ¿E N CUÁNTAS FORMAS DIFERENTES UN ESTUDIANTE PUEDE CONTESTAR EL EXAMEN CON UNA RESPUESTA A CADA PREGUNTA ? S I UN EXAMEN CONSISTE EN 12 PREGUNTAS DE FALSO - VERDADERO ¿E N CUÁNTAS FORMAS DIFERENTES UN ESTUDIANTE PUEDE CONTESTAR EL EXAMEN CON UNA RESPUESTA A CADA PREGUNTA ? P ERMUTACIONES 35

C OMBINACIONES D EFINICIÓN D ADOS (n) OBJETOS Y (r) ≤ (n), UNA COMBINACIÓN DE (n) OBJETOS, TOMADOS DE (r) EN (n) ES CUALQUIERA DE LAS DIFERENTES MANERAS EN LAS CUALES SE PUEDEN ELEGIR (r) DE LOS (n) DISPONIBLES SIN IMPORTAR EL ORDEN EN EL CUAL SE PRESENTAN. 36

C OMBINACIONES 37

E JEMPLO E N UN COLEGIO SE CUENTA CON 14 ALUMNOS QUE DESEAN COLABORAR EN UNA CAMPAÑA PRO LIMPIEZA DE LA INSTITUCIÓN, ¿C UÁNTOS GRUPOS DE LIMPIEZA PODRÁN FORMARSE, SI SE DESEA QUE CONSTEN DE 5 ALUMNOS CADA UNO DE ELLOS ? C OMBINACIONES 38

S OLUCIÓN E NTRE LOS 2002 GRUPOS DE LIMPIEZA, HAY GRUPOS QUE CONTIENEN SOLO HOMBRES, GRUPOS QUE CONTIENEN SOLO MUJERES Y GRUPOS MIXTOS. C OMBINACIONES 39

C OMBINACIONES 40

E JEMPLO ¿C UÁNTOS DE LOS GRUPOS DE LIMPIEZA CONTARÁN CON 4 HOMBRES POR LO MENOS ? E N ESTE CASO INTERESA AQUELLOS GRUPOS DONDE HAYAN 4 HOMBRES O MÁS. * G RUPOS CON 4 HOMBRES + GRUPOS CON 5 HOMBRES. C OMBINACIONES 41

C OMBINACIONES 42

E JERCICIOS U NA TARJETA DE CIRCUITO IMPRESO ES OFRECIDA POR CINCO PROVEEDORES ¿D E CUÁNTAS MANERAS SE ESCOGE A TRES PROVEEDORES DE ENTRE LOS CINCO ? U NA TARJETA DE CIRCUITO IMPRESO ES OFRECIDA POR CINCO PROVEEDORES ¿D E CUÁNTAS MANERAS SE ESCOGE A TRES PROVEEDORES DE ENTRE LOS CINCO ? L OS NÚMEROS TELEFÓNICOS EN LA C IUDAD DE C UERNAVACA, M ORELOS, CONSTAN DE SIETE DÍGITOS. a) ¿ CUÁNTAS LÍNEAS TELEFÓNICAS PUEDEN CREARSE EN ESTA CIUDAD ? ( RECUERDE QUE PUEDEN COMENZAR CON CERO ) b) S I LOS TRES PRIMEROS DÍGITOS REPRESENTAN UNA ZONA DE C UERNAVACA ¿C UÁNTAS LÍNEAS TELEFÓNICAS PERTENECEN A LA ZONA 326? L OS NÚMEROS TELEFÓNICOS EN LA C IUDAD DE C UERNAVACA, M ORELOS, CONSTAN DE SIETE DÍGITOS. a) ¿ CUÁNTAS LÍNEAS TELEFÓNICAS PUEDEN CREARSE EN ESTA CIUDAD ? ( RECUERDE QUE PUEDEN COMENZAR CON CERO ) b) S I LOS TRES PRIMEROS DÍGITOS REPRESENTAN UNA ZONA DE C UERNAVACA ¿C UÁNTAS LÍNEAS TELEFÓNICAS PERTENECEN A LA ZONA 326? C OMBINACIONES 43

E JERCICIOS C INCO FABRICANTES PRODUCEN UN DETERMINADO DISPOSITIVO ELECTRÓNICO CUYA CALIDAD VARÍA DE UN FABRICANTE A OTRO. S I USTED ELIGIERA TRES FABRICANTES AL AZAR ¿C UÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE LA ELECCIÓN CONTENGA A DOS DE LOS TRES MEJORES ? C INCO FABRICANTES PRODUCEN UN DETERMINADO DISPOSITIVO ELECTRÓNICO CUYA CALIDAD VARÍA DE UN FABRICANTE A OTRO. S I USTED ELIGIERA TRES FABRICANTES AL AZAR ¿C UÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE LA ELECCIÓN CONTENGA A DOS DE LOS TRES MEJORES ? U NA ALUMNA ESTUDIA UNA LISTA DE DIEZ PROBLEMAS A FIN DE PREPARARSE PARA EL EXAMEN. E LLA RESUELVE SEIS DE ELLOS. P ARA EL EXAMEN EL PROFESOR SELECCIONA CINCO PROBLEMAS AL AZAR DE LA LISTA DE DIEZ ¿C UÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE LA ALUMNA RESUELVA LOS CINCO PROBLEMAS EN EL EXAMEN ? U NA ALUMNA ESTUDIA UNA LISTA DE DIEZ PROBLEMAS A FIN DE PREPARARSE PARA EL EXAMEN. E LLA RESUELVE SEIS DE ELLOS. P ARA EL EXAMEN EL PROFESOR SELECCIONA CINCO PROBLEMAS AL AZAR DE LA LISTA DE DIEZ ¿C UÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE LA ALUMNA RESUELVA LOS CINCO PROBLEMAS EN EL EXAMEN ? C OMBINACIONES 44

D EFINICIÓN C UANDO SE ELIGE UN ELEMENTO DESPUÉS DE OTRO EN UN CONJUNTO ; POR EJEMPLO, (r) VECES, A LA ELECCIÓN DE LA MUESTRA SE LE LLAMA SELECCIÓN DE LA MUESTRA ORDENADA DE TAMAÑO (r). E STA ELECCIÓN SE PUEDE REALIZAR DE 2 FORMAS : P RUEBAS ORDENADAS C ON SUSTITUCIÓN S IN SUSTITUCIÓN F UENTE : E LABORACIÓN PROPIA,

D EFINICIÓN P RUEBA O RDENADA CON SUSTITUCIÓN (PO CS ) S E SELECCIONA EL PRIMER OBJETO ENTRE LOS (n) QUE HAY, SE OBSERVA DE QUE TIPO ES Y SE REGRESA A LA URNA. L UEGO SE SELECCIONA EL SEGUNDO OBJETO, Y SE REPITE LO ANTERIOR HASTA QUE SE HAN EXTRAÍDO LOS (r) OBJETOS DE LA PRUEBA. P RUEBAS ORDENADAS C ON SUSTITUCIÓN S IN SUSTITUCIÓN 46

D EFINICIÓN P RUEBA O RDENADA CON SUSTITUCIÓN (PO CS ) E L NÚMERO TOTAL DE PRUEBAS ORDENADAS CON SUSTITUCIÓN SE CALCULA : PO CS = n r P RUEBAS ORDENADAS C ON SUSTITUCIÓN S IN SUSTITUCIÓN 47

P RUEBAS ORDENADAS D EFINICIÓN P RUEBA O RDENADA SIN SUSTITUCIÓN (PO SS ) S E SELECCIONA EL PRIMER OBJETO Y NO SE REGRESA A LA URNA. L UEGO SE SELECCIONA EL SEGUNDO OBJETO, Y SE REPITE LO ANTERIOR HASTA QUE SE HAN EXTRAÍDO LOS ( R ) OBJETOS DE LA PRUEBA. C ON SUSTITUCIÓN S IN SUSTITUCIÓN 48

P RUEBAS ORDENADAS C ON SUSTITUCIÓN S IN SUSTITUCIÓN 49

E JEMPLO ¿C UÁNTAS MANERAS HAY DE QUE SE ASIGNEN TRES PREMIOS DE UN SORTEO EN DONDE EL PRIMER PREMIO ES UNA DEPARTAMENTO, EL SEGUNDO PREMIO ES UN AUTO Y EL TERCER PREMIO ES UN CENTRO DE CÓMPUTO, SI LOS PARTICIPANTES EN ESTE SORTEO SON 120 PERSONAS ? S I LA ASIGNACIÓN SE PUEDE HACER CON SUSTITUCIÓN S I LA ASIGNACIÓN SE PUEDE HACER CON SUSTITUCIÓN S I LA ASIGNACIÓN SE PUEDE HACER SIN SUSTITUCIÓN S I LA ASIGNACIÓN SE PUEDE HACER SIN SUSTITUCIÓN P RUEBAS ORDENADAS 50

S OLUCIÓN S I LA ASIGNACIÓN SE PUEDE HACER CON SUSTITUCIÓN S I LA ASIGNACIÓN SE PUEDE HACER CON SUSTITUCIÓN P OR EL PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACIÓN : PM=(N 1 )(N 2 )(N 3 ) = (120)(120)(120) = FORMAS P OR LA FÓRMULA : PO S = n r = = FORMAS P RUEBAS ORDENADAS H AY QUE CONSIDERAR QUE EN ESTE CASO, AL REGRESAR CADA BOLETO QUE ES EXTRAÍDO DE LA URNA, LAS PERSONAS TIENEN LA POSIBILIDAD DE NO GANAR, GANAR UNO, GANAR DOS O INCLUSO LOS TRES, SITUACIÓN QUE GENERALMENTE NO OCURRE. 51

P RUEBAS ORDENADAS 52

E JERCICIOS ¿C UÁNTAS PALABRAS DE TRES LETRAS SE PUEDEN FORMAR CON LAS A, B, C? E LABORE LA LISTA DE TODAS LAS PALABRAS ; ASÍ COMO EL DIAGRAMA DE ÁRBOL CORRESPONDIENTE. ¿C UÁNTAS PALABRAS DE TRES LETRAS SE PUEDEN FORMAR CON LAS A, B, C? E LABORE LA LISTA DE TODAS LAS PALABRAS ; ASÍ COMO EL DIAGRAMA DE ÁRBOL CORRESPONDIENTE. U N RESTAURANTE OFRECE A SUS COMENSALES CINCO VARIEDADES DE SOPA, CUATRO GUISADOS Y TRES POSTRES ¿C UÁNTOS MENÚS DIFERENTES QUE INCLUYAN SOPA, GUISADO Y POSTRE PUEDE PREPARAR ? U N RESTAURANTE OFRECE A SUS COMENSALES CINCO VARIEDADES DE SOPA, CUATRO GUISADOS Y TRES POSTRES ¿C UÁNTOS MENÚS DIFERENTES QUE INCLUYAN SOPA, GUISADO Y POSTRE PUEDE PREPARAR ? ¿D E CUÁNTAS MANERAS SE PUEDEN GUARDAR SEIS CAMISAS EN CUATRO CAJONES ? ¿D E CUÁNTAS MANERAS SE PUEDEN GUARDAR SEIS CAMISAS EN CUATRO CAJONES ? P RUEBAS ORDENADAS 53

R EFERENCIAS B IBLIOGRÁFICAS Celis de la Rosa, A. de J. y Labrada M., V. (2014). Bioestadística. México: Manual Moderno. ISBN: De Oteysa, E., Lam, E., Hernández, C., y Carrillo, A. (2015). Probabilidad y Estadística. México: Pearson. ISBN: Devore, J. (2012). Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Ciencias. México: Cengage. ISBN: Garza O., B. (2014). Estadística y Probabilidad. México: Pearson. ISBN: Gutiérrez B., A. L. (2012). Probabilidad y estadística, un enfoque por competencias. México: McGraw Hill. ISBN Johnson, R. A. (2012). Probabilidad y Estadística para Ingenieros de Miller y Freud. México: Pearson. ISBN: Johnson, R., y Kuby, P. (2012). Estadística Elemental. México: Cengage. ISBN: — Mendenhall, W., Beaver, R. J. y Beaver, B. M. (2008). Introducción a la Probabilidad y Estadística. México: Thomson. ISBN:

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