FACTORIZACIÓN LU Bachilleres: UNIVERSIDAD DE LOS ANDES NÚCLEO UNIVERSITARIO ‘RAFAEL RANGEL’ DEPARTAMENTO DE FÍSICA Y MATEMÁTICA CATEDRA: ÁLGEBRA LINEAL TRUJILLO; ESTADO TRUJILLO FACTORIZACIÓN LU Bachilleres: Miguel A. Orden Carbonell Olmer E. Parra Briceño Prof.: Wilfredo Zuleta

Introducción: Matrices triangulares superiores: Ejemplo: Sea A una matriz de orden mxn. Diremos que A es triangular superior si los coeficientes que están por debajo de la diagonal principal son iguales a cero, es decir: Ejemplo:

Teorema Nº 1. El producto de dos matrices triangulares superiores es una matriz triangular superior . Demostración: multipliquemos dos matrices triangulares superiores de orden nxn: Vemos pues que el producto de dos matrices triangulares superiores es otra matriz triangular superior.

Ejemplo: Por otro lado el determinante de una matriz triangular superior estará dado por el producto de los elementos de la diagonal principal

Matrices triangulares inferiores Sea A una matriz de orden mxn, diremos que A es triangular inferior si los coeficientes que están por arriba de la diagonal principal son iguales a cero, es decir Ejemplo:

Teorema Nº 2. El producto de dos matrices triangulares inferiores es una matriz triangular inferior. La demostración es análoga a la que se hizo con la multiplicación de matrices triangulares superiores. El determinante de una matriz triangular inferior estará dado por el producto de los elementos de la diagonal principal

Propiedad 1. Una matriz triangular superior tiene inversa siempre y cuando todos los coeficientes de la diagonal principal sean distintos de cero. La matriz inversa de una matriz triangular superior es también una matriz triangular superior, ejemplo

Propiedad 2. Una matriz triangular inferior tiene inversa siempre y cuando todos los elementos de su diagonal principal sean distintos de cero. La inversa de una matriz triangular inferior será una matriz triangular inferior:

Matrices Elementales. Definición: Sabemos que, siendo A una matriz de orden mxn, entonces se pueden realizar operaciones elementales con renglones en A. Las operaciones elementales con renglones son: i. Multiplicar el renglón i por un número c diferente de cero: ii. Sumar un múltiplo del renglón i al renglón j: iii. Permutar (intercambiar) los renglones i y j: De este modo, las matrices elementales son aquellas que se obtienen a partir de una única operación elemental de matrices sobre la matriz identidad.

Ejemplo: escribir la reducción de la siguiente matriz como el producto de una matriz elemental por dicha matriz. Tenemos la siguiente matriz y tratemos de reducirla: A la transformación (-2)[1]+[2] [2] podemos representarlo mediante la siguiente matriz elemental E:

Fijémonos que hemos tomado a la matriz identidad y colocado al escalar -2 en el segundo renglón ya que a través de la reducción realizada, el renglón afectado fue precisamente el segundo. Veamos ahora que E multiplicado por la izquierda de A da precisamente a la matriz reducida:

Factorización LU Sea Anxn una matriz, esta puede ser representada por el producto de una matriz triangular inferior donde los elementos de la diagonal principal son unos, y de una matriz triangular superior donde L y U son de orden nxn. El término LU proviene del inglés Lower que significa inferior y Upper que significa superior. Veamos los siguientes ejemplos:

Factorización LU Proposición N° 1. Sea A una matriz no singular o invertible de orden mxm. Si A = LU, entonces A-1= U-1 L-1   Teorema N° 3. Sea A una matriz de orden mxm. Si A es no singular o invertible, entonces A posee factorización LU única. Proposición N° 2. Sea A una matriz de orden mxm. Si A es singular o no invertible, entonces la factorización LU de A puede ser no única.

Veamos que los siguientes ejemplos, demuestran la veracidad de la proposición nº 2:

Ahora bien, estamos ante la situación de que no sabemos cómo hacer para que, dada una matriz, podamos hallar las matrices triangulares superiores e inferiores las cuales multiplicadas originan a nuestra matriz.

Primer método Ya conocido el concepto de matriz elemental, podemos determinar los factores LU de una matriz mediante este método. Ya que la factorización LU es básicamente una forma modificada de la eliminación gaussiana, transformamos la matriz A en una triangular superior U anulando los elementos debajo de la diagonal. Cada paso de la eliminación lo representamos con matrices elementales E1, E2,…,En, teniendo pues que: Así pues: comprobemos que C se puede escribir de la forma C = LU. Ejemplo: sea

Segundo método Sea A una matriz cuadrada, existe un camino más sencillo para encontrar la factorización LU de A sin usar la reducción por renglones. Lo demostraremos con el siguiente ejemplo: Si A es invertible sabemos que la podemos escribir como A=LU, es decir, podemos escribir a A de la siguiente manera:

Observemos que el primer renglón de U es igual al primer renglón de A, que L es triangular inferior con unos en su diagonal principal e incógnitas por debajo de esta y que U es diagonal superior con incógnitas en los espacios distintos de cero. Hacemos la multiplicación LU: Por igualdad entre matrices, tenemos las siguientes ecuaciones:

De este modo: Es decir:

Matriz de Permutación Definición: sea A una matriz invertible de nxn. Entonces existe una matriz de permutación P tal que Donde L es una matriz triangular inferior con unos en la diagonal y U es triangular superior. Para cada P (puede haber más de una), las matrices L y U son únicas.   Este método nos sirve cuando en la diagonal principal de la matriz que queremos factorizar aparece uno o más ceros. Por ejemplo:

La permutación consistiría en cambiar el renglón 1 por otro donde no vaya a quedar cero en la diagonal principal, es decir:

Eliminemos por Gauss-Jordan la última matriz: Como nuevamente tenemos un cero en la diagonal principal permutamos nuevamente:

A las dos permutaciones que realizamos las podemos representar como dos matrices y para formar estas matrices partimos de la matriz identidad y las modificamos de la siguiente manera: En la primera permutación, tomamos a la matriz identidad, pero cambiamos la primera y la tercera fila una con otra, quedando así: En la segunda permutación, tomamos la matriz identidad nuevamente, e intercambiamos la segunda y tercera fila:

Obtengamos ahora el producto P1P2: Haciendo PF obtenemos una matriz que ya no presenta problema en ser reducida por Gauss-Jordan:

Y como vimos anteriormente, esta última reducción se puede representar como una matriz elemental: Es decir, EPF=U, y ya que E-1=L, quedaría entonces que PF=LU:

Factorización LU para matrices singulares o no invertibles Si A es una matriz cuadrada no invertible o singular, entonces la forma escalonada por renglones de A tendrá al menos un renglón de ceros, al igual que la forma triangular de A. Es posible que todavía se pueda escribir A=LU o PA=LU; pero en este caso U no será invertible y L y U pueden no ser únicas. Ilustremos esto con el siguiente ejemplo:

Vemos pues que A no es invertible Vemos pues que A no es invertible. Sin embargo, tratemos de hallar L y U con el método sencillo: En donde obtenemos las siguientes ecuaciones:

En esta última ecuación, c puede tener cualquier valor.

De este modo: Vemos pues que al ser c cualquier número, L puede ser cualquier matriz. A su vez, U no es invertible.

Sin embargo, hay matrices no invertibles cuyos factores L y U son únicos, por ejemplo: Usando el método sencillo de factorización L y U obtenemos: Y luego tenemos que los valores de las incógnitas son: a=2, b=3, c=1, x=-5, y=-2, z=0 por lo tanto L y U son únicas. Hemos obtenido pues que si una matriz cuadrada con una factorización LU no es invertible, entonces su factorización LU puede ser o no única.

Factorización LU para matrices no cuadradas Sea A una matriz de mxn. Supongamos que A se puede reducir a su forma escalonada por renglones sin realizar permutaciones. Entonces existe una matriz L triangular inferior de mxm con unos en la diagonal principal y una matriz U de mxn con uij = 0 si i > j tales que A=LU La condición uij = 0 si i > j significa que U es triangular superior en el sentido de que todos los elementos debajo de la diagonal son cero.

Por ejemplo, una matriz 3x5 que cumple con esta condición tiene esta forma: Y una matriz 5x3

Veamos cómo se cumple esta situación con el siguiente ejemplo. Encontremos la factorización LU de Resolvámoslo por el método sencillo para factorización LU de matrices cuadradas:

Despejando a cada una de las variables se obtiene:

Segundo método de factorización LU para matrices no cuadradas Existe a su vez otro método para realizar la factorización LU para matrices no cuadradas. Por ejemplo, trabajemos con la siguiente matriz

Definición General de Factorización LU Para cualquiera que sea la matriz A de orden mxn, existen dos matrices que llamaremos L y U, tales que: Sea L de orden mxm, triangular inferior y con todos los elementos de su diagonal principal igual a 1. Sea U de orden mxn (de igual orden que A) y triangular superior. Nótese que o bien A = LU o bien A’ = LU, donde A’ resulta de permutar de algún modo las filas de A, es decir, A’ = PA para cierta matriz P de permutación.

Uso de la factorización LU para resolver un sistema de ecuaciones Supongamos que queremos resolver el sistema Ax=b, donde A es invertible. De este modo se sabe que A puede ser escrito como A=LU, por lo tanto: Ya que L es invertible, existe un vector único y tal que Ly=b. Como U también es invertible, existe un vector único x tal que Ux=y. Entonces Ax=L(Ux)=Ly=b y nuestro sistema estará resuelto. Observaremos luego que Ly=b se puede resolver directamente por sustitución hacia adelante y Ux=y se puede resolver directamente por sustitución hacia atrás.

Veamos el siguiente ejemplo para ilustrar esta situación: Resolvamos el sistema Ax=b donde y Solución Descomponiendo a A en sus factores L y U, se tiene:

Determinemos ahora Ly=b De aquí obtenemos: Así pues

Ahora determinemos Ux=y De aquí obtenemos Por lo tanto

Prueba de la validez de la factorización LU para matrices cuadradas de cualquier orden Probaremos esto por el principio de inducción Para n=1, esta afirmación es evidente ya que Donde uno de los factores puede ser escogido arbitrariamente.

Supongamos que el teorema es cierto para una matriz cuadrada de orden (n-1) verifiquemos pues que se cumple para una matriz cuadrada de orden n. Vamos a encontrar una descomposición de la forma A=CB poniendo A en la forma de un producto de dos matrices B y C de la forma deseada, habiendo transformado éstas de la misma forma como hicimos con A

Multiplicando ambas matrices tendríamos De donde obtenemos Como habíamos supuesto por hipótesis la existencia de Cn-1 y Bn-1 y como

Entonces Por otro lado: Por lo tanto, ambos quedan en función de u y v. Por último. Donde cnn ó bnn puede ser escogido arbitrariamente.