Regla de Resolución

Ejercicio 1 q ⇒ r s ⇒ p p ⇒ r Demostrar que r se deduce del siguiente conjunto de fórmulas proposicionales utilizando el método de resolución para la lógica proposicional. r ⇒ (p ∨ q ∨ s) q ⇒ r s ⇒ p p ⇒ r

Solución a ejercicio 1 Paso 1: Pasar la negación de la fórmula a FNC. ¬(((r ⇒ (p ∨ q ∨ s)) ∧ (q ⇒ ¬r) ∧ (s ⇒ p) ∧ (p ⇒ ¬r)) ⇒ ¬r) ¬(¬((¬r ∨ (p ∨ q ∨ s)) ∧ (¬q ∨ ¬r) ∧ (¬s ∨ p) ∧ (¬p ∨ ¬r)) ∨ ¬r) ¬¬((¬r ∨ p ∨ q ∨ s) ∧ (¬q ∨ ¬r) ∧ (¬s ∨ p) ∧ (¬p ∨ ¬r)) ∧ ¬¬r (¬r ∨ p ∨ q ∨ s) ∧ (¬q ∨ ¬r) ∧ (¬s ∨ p) ∧ (¬p ∨ ¬r) ∧ r Paso 1b: Notación de conjuntos. (¬r ∨ p ∨ q ∨ s) ∧ (¬q ∨ ¬r) ∧ (¬s ∨ p) ∧ (¬p ∨ ¬r) ∧ r {{¬r, p, q, s}, {¬q,¬r}, {¬s, p}, {¬p,¬r}, {r}}

Paso 2: Aplicar sucesivamente regla de resolución {¬r, p, q, s} {¬q,¬r} {¬s, p} {¬p,¬r} {r} De (1) y (2) (Q = q): {¬r, p, s} De (3) y (6) (Q = s): {¬r, p} De (4) y (7) (Q = p): {¬r} De (5) y (8) (Q = r): {}

Resolución en Lógica de 1er. Orden Para ver si una fórmula A es lógicamente válida debemos: Obtener ¬A Testear si ¬A es insatisfactible Calcular la forma clausal B de ¬A. Testear B usando la regla de resolución. Para pasar una fórmula a forma clausal debemos: Form nornal negada Forma normal Prenex Formal normal de Skolem

Ejercicio 2 G(H, H) ∧ x(F(x)  ((y G(x, y)) ∧ G(H, x)) ) Pasar a la forma normal negada G(H, H) ∧ ∀x(¬F(x) ∨ ∃yG(x, y) ∨ ¬G(H, x) ) En forma normal Prenex ∀x∃y(G(H, H)∧(¬F(x) ∨ G(x, y) ∨ ¬G(H, x)) ) En forma normal de Skolem Solo debemos tratar el Existencial ∃y

Ejercicio 2 cont. C ={x} n = 1 por lo cual se introduce una función unaria U al lenguaje. ∀x(G(H, H) ∧ (¬F(x) ∨ G(x, y) ∨ ¬G(H, x)) ) ∀x(G(H, H) ∧ (¬F(x) ∨ G(x, U(x)) ∨ ¬G(H, x)) ) Una vez obtenida la formula de Skolem se eliminan los ∀ y se pasa a FNC como si fuera proposicional (que en este caso ya esta en FNC) Por lo que queda: G(H,H) ∧ (¬F(x) ∨ G(x,U(x)) ∨ ¬G(H,x)) Y en conjuntos: {{G(H,H)},{¬F(x), G(x,U(x)), ¬G(H,x)}}

Regla de resolución {A1,. ,Am,P1,. ,Pk} {B1,. ,Bn,¬Q1,. ,¬Ql}. σ({A1, Regla de resolución {A1,...,Am,P1,...,Pk} {B1,...,Bn,¬Q1,...,¬Ql} σ({A1,...,Am,B1,...,Bn}) donde σ es el MGU de {P1,...,Pk,Q1,...,Ql}. Si las cláusulas{A1,...,Am,P1,...,Pk}y{B1,...,Bn,¬Q1,...,¬Ql} tienen variables en común debe efectuarse un renombre previamente. σ({A1,...,Am,B1,...,Bn}) es el resolvente de {A1,...,Am,P1,...,Pk} y {B1,...,Bn,¬Q1,...,¬Ql}. Resolviendo el ejemplo {{G(H,H)},{¬F(x),G(x,U(x)),¬G(H,x)}} Solo se puede utilizar la regla poniendo P1 = G(H,H) y Q1 = G(H,x) ya que ¬G(H,x) es el único átomo negativo que unifica con un átomo de la otra cláusula. Esto hace que σ = {x ← H} y el resolvente es σ({F(x),G(x,U(x))}) = F(H),G(H,U(H)). En conjuntos {{G(H,H)},{¬F(x),G(x,U(x)),¬G(H,x)},{¬F(H),G(H,U(H))}}

Resolviendo el ejemplo {{G(H,H)},{¬F(x),G(x,U(x)),¬G(H,x)},{¬F(H),G(H,U(H))}} Con las dos ultimas cláusulas: Q1 = G(H,x) y P1 = G(H,U(H)), σ ={x ←U (H)}. Resolvente: {¬F(U(H)), ¬F(H), G(U(H), U(U(H)))} {{G(H,H)},{¬F(x),G(x,U(x)),¬G(H,x)},{¬F(H),G(H,U(H))}, {¬F(U(H)),¬F(H),G(U(H),U(U(H)))}} ¿Qué pasa si continuamos?

Ejercicio Mostrar que la premisa ¬(A ∧ B) puede derivar la conclusión ¬A ∨ B. La premisa la podemos representar como {¬A, ¬B} al aplicar la negación dentro de los argumentos. Ahora, al negar la conclusión resulta {A ∧ B}por lo tanto podemos denotarla como {A}, {B} Reescribiendo y aplicando Resolución obtenemos: 1. {¬A, ¬B} 2. {A} agregada 3. {B} agregada 4. {¬B} resolución 1, 2 5. {} resolución 3, 4

Ejemplo completo (cortito) Pseudo-identidad Intentemos demostrar: ∀x∃y(P(x)⇒ P(y)). Negación de la fórmula: ¬(∀x∃y(P(x)⇒ P(y))). Forma normal negada: ∃x∀y(P(x)∧¬P(y)). Forma normal prenex: ∃x∀y(P(x)∧¬P(y)). Forma normal de Skolem: ∀y(P(U)∧¬P(y)). FNC, notación de conjuntos: {{P(U)},{¬P(y)}}.