@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I1 U.D. 12 * 1º BCS ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL.

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1 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I1 U.D. 12 * 1º BCS ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL

2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I2 PARÁMETROS BIDIMENSIONALES U.D. 12.3 * 1º BCS

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I3 Parámetros En una distribución bidimensional existen los siguientes parámetros a calcular, siendo n el número de observaciones o pares de valores (x,y). MEDIA MARGINAL de xi: Es la media respecto de xi. x = ∑ xi / n MEDIA MARGINAL de yi: Es la media respecto de yi. y = ∑ yi / n Al punto (x, y) se le llama centro de gravedad de la distribución. DESVIACIÓN TÍPICA MARGINAL de xi: sx = √ [ ( ∑ xi 2 / n ) – x 2 ] DESVIACIÓN TÍPICA MARGINAL de yi: sy = √ [ ( ∑ yi 2 / n ) – y 2 ]

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I4 COVARIANZA Es un parámetro estadístico conjunto. Es la media aritmética de los productos de las desviaciones de cada una de las variables respecto a sus medias respectivas. Presenta dos maneras diferentes para su cálculo. ∑ (xi – x).(yi – y) ∑ xi.yi V xy = ----------------------- = ------------- – x.y n n Del valor y el signo que presente se pueden deducir ciertas características: Si la covarianza es mayor que cero, la correlación es directa. Si la covarianza es menor que cero, la correlación es inversa Si la covarianza es nula, igual a cero, no existe correlación. Si el valor de la covarianza es grande, la correlación puede ser fuerte. Si el valor de la covarianza es pequeño, la correlación puede ser débil.

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I5 COEFICIENTE DE CORRELACIÓN LINEAL Si la nube de puntos se condensa en torno a una recta existe una correlación lineal entre las variables. El coeficiente de correlación lineal es el parámetro utilizado para medir la relación lineal entre las dos variables. Covarianza Vxy r = ---------------------------------------------------------------- = ------------- Producto de desviaciones típicas de xi e yi sx. sy Variación de r r = 00<r<0,20,2<r<0,40,4<r<0,70,7<r<0,90,9<r<1r = 1 Nula Muy débil DébilModeradaFuerteMuy fuerte Dependencia funcional Dependencia aleatoria directa (r > 0) Dependencia aleatoria inversa (r < 0)

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I6 Ejemplo 1: TABULACIÓN xiyixi 2 yi 2 xi.yi 11111 1,522,2543 22444 23496 2,536,2597,5 3491612 46163624 4,5520,252522,5 69368154 78496456 33,543147,75249190 xi=Horas de estudio semanal de una asignatura. yi=Calificaciones en los exámenes correspondientes.

7 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I7 Cálculo de parámetros ( Respecto de xi )( Respecto de yi ) Medias Marginales x = ∑xi / N = 33,5 /10 = 3,35y = ∑yi / N = 43 / 10 = 4,3 Varianzas Marginales Vx = ∑xi 2 / N – x 2 = =147,75 / 10 – 3,35 2 = 3,55 Vy = ∑yi 2 / N – y 2 = = 249 / 10 – 4,3 2 = 6,61 D. Típicas Marginales sx = √Vx = √3,35 = 1,88sy = √Vy = √6,61 =2,57 CovarianzaVxy = [ ∑(xi.yi) / N ] – x.y = (190 / 10) – 3,35.4,3 = 4,595 Coefic. de Correlación r = Vxy / sx*sy = 4,595 / 1,88*2,57 = 0,951 Coefic. de Determinación r 2 =0,90El 90 % de los resultados se debe a las horas de estudio. El resto a otras causas.

8 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I8 Ejemplo 2: TABULACIÓN xiyixi – xyi – y(xi-x).(yi-y)xi 2 yi 2 xi.yi 17- 1,52-31497 16- 1,51 1366 26- 0,51 43612 360,51 93618 350,50092515 340,5-0,591612 330,5-2999 431,5-2-316912 2040- 95821691 xi=Precio de un producto (en €). yi=Miles de unidades vendidas.

9 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I9 Cálculo de parámetros ( Respecto de xi )( Respecto de yi ) Mediasx = 20 / 8 = 2,5y = 40 / 8 = 5 VarianzasVx = 58 / 8 – 2,5 2 = = 7,25 – 6,25 = 1 Vy = 216 / 8 – 5 2 = = 27 – 25 = 2 D. Típicassx = √1 = 1sy = √2 = 1,41 Covarianza Vxy = (91 / 8) – 2,5.5 = 11,375 – 12,5 = – 1,125 Covarianza También: Vxy = Σ(xi-x).(yi-y) / n = – 9 / 8 = – 1,125 Coefic. de Correlación r = Vxy / sx*sy = – 1,125 / 1.1,41 = – 0,7979 La correlación es inversa y fuerte. Coefic. de Determinación r 2 =0,6366El 63,67% de las ventas se deben al precio

10 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I10 Ejemplo 3: TABULACIÓN xiyixi 2 yi 2 xi.yi 15372251379555 15412251681615 16392561521624 16432561849688 17372891379629 18393241521702 18433241849774 1152791899111794587 xi=Edad de un joven (años). yi=Nº de calzado.

11 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I11 Cálculo de parámetros ( Respecto de xi )( Respecto de yi ) Medias Marginales x = 115 / 7 = 16,43y = 279 / 7 = 39,857 Varianzas Marginales Vx = 1899 / 7 – 16,43 2 = = 271,28 – 269,94 = 1,24 Vy = 11179 / 7 – 39,875 2 = = 1597 – 1590 = 7 D. Típicas Marginales sx = √1,24 = 1,1135sy = √7 = 2,6457 CovarianzaVxy = (4587 / 7) – 16,43.39,857 = 655,2857 – 654,8505 = 0,43 Coefic. de Correlación r = Vxy / sx*sy = 0,43 / 1,1135.2,6457 = 0,15 La correlación es directa y muy débil. Coefic. de Determinación r 2 =0,0225El 2,25% del nº calzado se deben a la edad