Matemáticas Acceso a CFGS

Presentación del tema: "Matemáticas Acceso a CFGS"— Transcripción de la presentación:

1 Matemáticas Acceso a CFGS
RECTA DE REGRESIÓN Bloque IV * Tema 160 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

2 Matemáticas Acceso a CFGS
Regresión lineal En el caso de variables bidimensionales, como la del ejemplo anterior, al representarlas gráficamente nos saldrá una nube de puntos. Cuando esa nube de puntos es aproximadamente una recta, o sus puntos no están excesivamente dispersos, nos interesa conocer la ecuación de la misma. Esa recta será la que más se ajuste a la nube de puntos. Esa recta significativa es tal que la suma de distancias de todos los puntos de la nube a dicha recta es la menor posible. Es la llamada Recta de Regresión, o Recta de Ajuste. De ecuación y = a.x + b Una vez que obtengamos la ecuación de dicha recta, tendremos la función lineal: y=f (x) , pudiendo interpolar valores, es decir hallar pares de valores ( xi,yi ) que no estaban en la nube de puntos. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

3 Matemáticas Acceso a CFGS
La suma de los cuadrados de las distancias de todos los puntos a la recta yi = a.xi + b es : Σdi2 = Σ[yi – (a.xi + b)]2 Para que una recta ajuste lo máximo posible a una nube de puntos, o sea pase por la mayoría de los puntos o por su cercanía, se debe cumplir que la suma anterior sea la menor posible. Para que dicha suma sea la menor posible, derivamos la ecuación y la igualamos a cero, pues es un problema de máximos y mínimos. Como tenemos dos variables, a y b, derivamos dos veces, una con respecto a a y la otra con respecto a b, obteniendo dos nuevas ecuaciones igualadas a cero: Σyi – a. Σxi – n.b = 0 Σxi.yi – a. Σxi2 – b. Σxi = 0 Resolviendo el sistema, queda: Vxy a =  b = y – a.x  y = a.x + b σ2x @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

4 Matemáticas Acceso a CFGS
Recta de regresión En nuestro ejemplo (Y sobre X) m = 4,595 / (1,9)2 = 1,27 y – yo = m.(x – xo) y - 4,30 = 1,27.( x – 3,35) La ecuación será: y = 1,273.x + 0,036 Para llevarla sobre el gráfico de la Nube de Puntos tomamos dos valores: x = 1  y = 1,31 x = 5  y = 6,44 La recta de regresión o recta de ajuste deberá pasar por el centro de gravedad (3’35, 4’30) Nota = f (horas) Nota 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Horas @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

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Recta de regresión En nuestro ejemplo (X sobre Y) m = 4,595 / (2,57)2 = 0,70 x – xo = m.(y – yo) x – 3,35 = 0,70.( y – 4,30) La ecuación será: x = 0,70.y + 0,34 Para llevarla sobre el gráfico de la Nube de Puntos tomamos dos valores: y = 1  x = 1,04 y = 6  x = 4,54 La recta de regresión o recta de ajuste deberá pasar por el centro de gravedad (3’35, 4’30) Horas = f (notas) Nota 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Horas @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

6 Matemáticas Acceso a CFGS
Rectas de regresión En nuestro ejemplo (Y sobre X) y = 1,273.x + 0,036 En nuestro ejemplo (X sobre Y) x = 0,70.y + 0,34 Si en lugar de una correlación estadística fuera una correlación funcional, ambas rectas serían la misma. Si el ángulo que forman ambas rectas es muy pequeño, la correlación es fuerte o muy fuerte. Por el contrario, cuando el ángulo es grande la correlación es débil o muy débil (hasta casi 90º). Horas = f (notas) Nota 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Horas @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

7 Otro ejemplo (Evolución IPC y Tasa de Inflación)
x y x2 y2 xy IPC T. Inflación 0,7 6 0,49 36 4,2 1,1 1,21 6,6 1,7 6,3 2,89 39,69 10,71 2 6,2 4 38,44 12,4 1,9 5,8 3,61 33,64 11,02 4,9 24,01 9,31 9,3 35,2 15,81 207,78 54,24 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

8 Matemáticas Acceso a CFGS
Cálculo de parámetros Medias marginales x = 1,55 y = 5,87 Varianzas marginales Vx = 0,23 Vy = 0,21 Desviaciones típicas sx = 0,48 sy = 0,46 Covarianza Vxy = -0,05 Coeficiente c. lineal r = -0,24 Coeficiente determinación r2 = 0,06 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

9 Matemáticas Acceso a CFGS
Rectas de regresión Rectas de regresión Y sobre X y - yo = m(x - xo) m = -0,2294 y = m.x + yo - m.xo y = - 0,2294 x + 6,22 X sobre Y x - xo = m(y - yo) -0,25 x = m.y + xo - m.yo y = - 0,25 x - 0,01 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

10 Matemáticas Acceso a CFGS
Y sobre X X sobre Y x y 1,55 5,87 0,8 6,03 5 1,76 2 5,76 6 1,51 Tabla de valores en ambas rectas. No puede faltar el centro de gravedad, común a ambas. Como se aprecia el ángulo que forman las dos rectas es muy grande  Correlación débil. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

11 Matemáticas Acceso a CFGS
Interpolación Una vez que obtengamos la ecuación de la Recta de Regresión de Y sobre X tendremos la función lineal: y=f (x) , pudiendo interpolar valores, es decir hallar pares de valores ( xi,yi ) que no estaban en la nube de puntos. Esto es lo que hemos hecho al hallar f(5) para trazar la recta de ajuste. Hemos visto que con 5 horas de estudio la calificación esperada es de 6,44. Cierto que también hemos hallado f(1), cuyo valor ya sabíamos (valía 1) y nos ha dado 1,31, diferente. Pero es que, a diferencia de la correlación funcional, ahora la Recta de Regresión no pasa por la mayoría de los puntos dados en la tabla inicialmente. Si pasa por alguno es simple casualidad. La interpolación, en correlación estadística, sólo puede ser fiable si la correlación es fuerte o muy fuerte; y si de las dos variables, elegimos como xi la más correcta. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS