EJEMPLO COMPLETO Y APLICACIONES Bloque IV * Tema 161.

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1 EJEMPLO COMPLETO Y APLICACIONES Bloque IV * Tema 161

2 Ejemplo A lo largo de 5 años una empresa se ha visto obligada a duplicar el número de empleados, reduciendo no obstante sus beneficios según se ve en la Nube de Puntos. Estudiar la distribución, hallando la Recta de Ajuste correspondiente e indicando el porcentaje de beneficios que se deben al número de empleados que tiene la empresa. 5 6 7 8 9 10 87658765 Número de empleados Beneficios en decenas de miles de €

3 Por la nube de puntos está claro que hay una correlación lineal entre el nº de empleados y los beneficios de la empresa. Al aumentar el nº de éstos han disminuido los beneficios. xiyixi 2 yi 2 xi. yi 57254935 68366448 7749 86643648 95812545 1051002550 4538355248275

4 Calculamos los parámetros o medidas de la correlación lineal EMPLEADOSBENEFICIOS ( Respecto de xi )( Respecto de yi ) Medias marginalesx = 45 / 6 = 7,5y = 38 / 6 = 6,33 Varianzas marginalesVx = 355/6 – 7,5 2 = 3,25 ; Vy = 248/6 – 6,33 2 = 1,55 D. típicas marginalesσx = 1,80σy = 1,25 Covarianza Vxy = -10 / 6 = -1,66 Coeficiente de Correlación lineal r = Vxy /σx*σy = -1,66 / 1,8*1,25 = -0,740 Coeficiente de Determinación r 2 =0,55El 55 % de los beneficios se puede atribuir al número de empleados.

5 El Coeficiente de Correlación es NEGATIVO, lo que implica una correlación INVERSA. El Coeficiente de Correlación está próximo a -0,85, por lo que podemos considerar una correlación FUERTE. C alculemos la Recta de Ajuste (Y sobre X): m = Vxy /σx2 = -1,66 / 1,8*1,8 = - 0,5123 n = y - m*x = 6,3333 - (-0,5123)*7,5 = 6,3333 + 3,843 = 10,176 y = - 0,5123.x + 10,176 La recta de ajuste presenta una pendiente muy pequeña y de valor negativo ( al ser una correlación inversa ). La llevamos sobre el Diagrama dado en forma de Nube de Puntos. Para ello tomamos dos valores cualquiera de x : x 1 = 6  y 1 = 7,1 ; x 2 = 9  y 2 = 5,5

6 Calculemos la Recta de Ajuste (X sobre Y): m = Vxy /σy2 = -1,66 / 1,25*1,25 = - 1,0666 n = x - m*y = 7,5 - (- 1,0666)*6,33 = 7,5 + 6,7285 = 14,2285 x = - 1,0624.y + 14,2285 La recta de ajuste presenta una pendiente muy pequeña y de valor negativo ( al ser una correlación inversa ). La llevamos sobre el Diagrama dado en forma de Nube de Puntos. Para ello tomamos dos valores cualquiera de y : y 1 = 5  x 1 = 8,9 ; y 2 = 8  x 2 = 5,7

7 Los puntos por los que deberá pasar la Recta de Regresión (Y sobre X) son: (7,5, 6,33) (6, 7,1) (9, 5,5) Los puntos por los que deberá pasar la Recta de Regresión (X sobre Y) son: (7,5, 6,33) (8,9, 5) (5,7, 8) Por el ángulo que forman podemos ver que la correlación no es ni débil ni fuerte 5 6 7 8 9 10 87658765 Número de empleados Beneficios en millones de €

8 Aplicaciones A veces por la nube de puntos se ve claramente que hay una clara correlación entre las variables de una distribución bidimensional. Pero cuando esa correlación es cuadrática o exponencial, hallar sin más la recta de ajuste o regresión lineal puede llevar consigo grandes errores. En esos casos procede hacer un cambio de variable. EJEMPLO DE CORRELACIÓN EXPONENCIAL Los valores de y son tales que fácilmente podemos ver que vienen dados por y = e (mx + n) Se efectúa el cambio z = ln y Y se tabula, se calculan los parámetros y se hallan las rectas de ajuste con los valores de x y de z.

9 Aplicaciones EJEMPLO DE CORRELACIÓN POTENCIAL Los valores de y son tales que fácilmente podemos ver que vienen dados por y = k.x m Es decir, los valores de y son aproximadamente (o proporcionales a) el cuadrado, el cubo o cualquier otra potencia de x. Tomando logaritmos: ln y = ln k + m.ln x Y se tabula, se calculan los parámetros y se hallan las rectas de ajuste con los valores de ln x y de ln y ( en lugar de x e y). Con estos cambios la correlación sería claramente lineal, la recta de ajuste tendría pleno sentido y la interpolación se haría con un error muy pequeño.

10 Dos ejemplos de aplicaciones xiyixizi 1611,79 22022,99 36034,09 414044,94 540055,99 6100066,91 21 38 xiyiln xiln yi 110,00 2100,692,30 3251,103,19 4701,394,25 51201,614,79 62001,795,30 6,5819,83 Solución: ln y = x – 1 Donde y = e (x – 1) Solución: ln y = 3.ln x Donde y = x 3