Tema 1 : Introducción y errores

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1 Tema 1 : Introducción y errores
Indice: Introducción. Tipos de errores. Algoritmos y convergencia.

2 INTRODUCCIÓN(1) Una definición de Análisis Numérico :
Desarrollo y estudio de procedimientos matemáticos para resolver problemas con ayuda del ordenador. Ventajas : Se pueden resolver de forma aproximada problemas que no tienen solución en el Análisis Matemático tradicional. Las únicas operaciones que se realizan son +, -, *,/ y comparaciones. Los resultados son siempre numéricos. Problemas que se estudian : Resolución de ec. No lineales, Resolución de grandes sistemas de ecuaciones lineales, Interpolación y Aproximación de funciones, Derivación e Integración de funciones, Resolución de EDO y de EDP (Mdo. Elementos Finitos), Optimización. Software utilizado: Para realizar la gran cantidad de operaciones es necesario escribir un programa utilizando un lenguaje como FORTRAN, C, C++,..También se puede utilizar un software matemático como MATLAB, MAPLE, Mathematica o Derive, que permiten el cálculo numérico y simbólico, trabajar con valores exactos o hacer representaciones gráficas de forma muy sencilla, a la vez que incorporan comandos como Do, For o While que permiten repetir muchas veces un conjunto de operaciones.

3 INTRODUCCIÓN(2) Notación científica: Representación en coma flotante.
Nº cifr.significat : bits mantisa Precisión: bits exponente. - En la pizarra o papel se puede trabajar con aritmética exacta(raiz de 3, 1/3..) Los ordenadores o calculadoras solo pueden almacenar un nº finito de cifras decimales: aproximada. Error de redondeo. -Notación científica y Representación en coma flotante: desplazar la coma a la vez que se proporciona una potencia de 10. Ejemplo 2/3 - Con el nº de bits que el ordenador utiliza para almacenar un nº se pueden representar desde un determinado nº muy pequeño: a hasta otro muy grande b, que son los que definen la precisión del ordenador que no podrá representar nºs mas pequeños que a ni mayores que b.(no veremos más porque habría que conocer la representación en base 2 y el cambio de base, etc). - Cuando el ordenador realiza operaciones no guarda todas las cifras que resultan cuando se hace la op. En el papel: nº de cifras significativas que no son nº de cifras decimales.Cuando se dice en un ejerc. Operar con 6 cifras significativas hay que despreciar desde la 7ª. Normalmente lo haremos con el redondeo simétrico.

4 ERRORES (1) TIPOS DE ERRORES Error absoluto y relativo
Error de redondeo. Redondeo simétrico Truncamiento Entre las fuentes más importantes de error que afectan a los métodos de cálculo numérico se pueden citar : el truncamiento debido al método (cuando se sustituye una función por una función de aprox) el redondeo, cometido por los ordenadores que no pueden representar exactamente muchas cantidades Errores en los datos originales, medidas inexactas. Fallos humanos. La propagación de errores cometidos en etapas anteriores En los apuntes otro ejemplo del error de truncamiento.

5 ERRORES (2) Error de truncamiento del método. PROPAGACIÓN DEL ERROR:
- Ejemplo 3º de los apuntes. Hacer el ejercicio nº. 5º con 6/7 cifras significativas y el 6º. Corresponden también los ej. 10 y 11. EFECTO DE CANCELACIÓN Consiste en la pérdida de cifras significativas. Se produce al restar dos cantidades muy parecidas. Solución : Utilizar una expresión matemática equivalente que evite esa diferencia.

6 ALGORITMOS Y CONVERGENCIA(I)
Definición: Describe una sucesión de pasos en un orden especificado para obtener una solución exacta o aproximada. Tipos: Directos e iterativos. Orden de aproximación: “ Sea p(h) una función que aproxima a otra f(h), y sean M>0 y n tales que, si h es suficientemente pequeño: - Ejemplo de algoritmo : Mdo. De Horner para evaluar un polinomio: - En los apuntes se dan cuatro definiciones relativas al orden de aproximación de funciones y sucesiones y los correspondientes ejemplos. Como ejemplo y quizá también el de más aplicación: Entonces se dice que p(h) aproxima a f(h) con un orden de aproximación de O(hn) “

7 ALGORITMOS Y CONVERGENCIA(II)
Algoritmos estables e inestables. Algoritmo estable : Un error pequeño en los datos de partida produce errores pequeños en los resultados finales. Algoritmo inestable: en caso contrario. Sea  el error inicial y (n) el error al cabo de n operaciones, (n)=n  : crecimiento lineal. (n)= kn  : crecimiento exponencial. (k<1 : estable, k>1 inestable) Incertidumbre en los datos: Se conoce como ruido y afecta a cualquier cálculo numérico realizado. - En los apuntes ejemplo de propagación del error. Hacer el ejercicio. Nº 8. - Teniendo en cuenta la propagación de los errores conviene que el nº de op. Elementales que se realizan al desarrollar un algoritmo sea el menor posible. Hacer el ej. Nº 2 operando con 3 cifras significativas