Métodos de Diferencias Finitas para Ecuaciones en Derivadas Parciales

Presentación del tema: "Métodos de Diferencias Finitas para Ecuaciones en Derivadas Parciales"— Transcripción de la presentación:

1 Métodos de Diferencias Finitas para Ecuaciones en Derivadas Parciales

2 Ecuaciones en Derivadas Parciales
Introducción Diferencias finitas Convergencia y estabilidad Ecuaciones hiperbólicas: ecuación de Ondas Ecuaciones parabólicas: ecuación del Calor Ecuaciones elípticas: ecuación de Laplace

3 Auxx+Buxy+Cuyy+Dux+Euy+Fu=G
Introducción EDP de orden 2, lineales de coeficientes constantes. Auxx+Buxy+Cuyy+Dux+Euy+Fu=G Ecuación de Ondas utt - c2uxx = 0 Ecuación del Calor ut - cuxx = 0, c>0 Ecuación de Laplace uxx + uyy = 0 Condiciones iniciales y de contorno

4 Diferencias finitas Discretización: EDP EDF Métodos explícitos
Sencillos Inestables Métodos implícitos Más complejos Estables h y j+1 k y j u i,j y j - 1 x x x i - 1 i i+1

5 Diferencias primeras Hacia adelante Error Hacia atrás

6 Diferencias primeras (cont.)
Diferencias simétricas Error

7 Diferencias segundas Diferencias simétricas Error

8 Convergencia y estabilidad
EDP F(x,y,u)=0 Solución: EDF Gi,j(h,k,u)=0, para cada (i,j) Convergencia Consistencia Estabilidad: Control del error de redondeo Consistencia + Estabilidad Convergencia

9 Ecuaciones hiperbólicas
Ecuación de Ondas Condiciones iniciales Condiciones de contorno Ecuación en diferencias finitas utt = c²uxx , 0 < x < L, t > 0 u(x, 0) = f(x) ut(x, 0) = g(x) u(0,t) = l(t) u(L,t) = r(t)

10 Ec. de Ondas: Método explícito
Condiciones iniciales ui,0 = fi y ui,1 - ui,-1 = 2kgi Paso 1º ui,1 = a2 (fi-1+fi+1)/2 + (1-a2)fi + kgi Pasos siguientes ui,j+1 = a2(ui+1,j + ui-1,j) +2(1 - a2)ui,j - ui,j-1 Convergencia a £ 1

11 Ecuación de ondas. Método explícito. Ejemplo
utt = c²uxx , 0 < x < L, t > 0 c = 1, L=T=4, nx=4, nt=8, u(x, 0) = 2|x-2| ut(x, 0) = 0 u(0,t) = u(L,t) = 0 Condición de convergencia : Instante t = 0: u0,0 = f(x0) = 2  |x0  2| = 2  |0  2| = 0 = f(x4) u1,0 = f(x1) = 2  |x1  2| = 2  |1  2| = 1 = f(x3) u2,0 = f(x2) = 2  |x2  2| = 2  |2  2| = 2

12 Instante t=1: ui,1 = a2·(ui-1,0+ui+1,0)/2 + (1  a2)·ui,0 + k·g(xi) donde a2 = 1/4, 1  a2 = 3/4: u1,1 = (1/4)(u0,0 + u2,0)/2 + (3/4)u1,0 = (1/4)(0 + 2)/2 + (3/4)1 = 1 = u3,1 u2,1 = (1/4)(u1,0 + u3,0)/2 + (3/4)u2,0 = (1/4)(1 + 1)/2 + (3/4)2 = 7/4

13 Aplicando la fórmula genérica
Aplicando la fórmula genérica ui,j+1 = a2·(ui-1,j + ui+1,j) + 2·(1  a2)·ui,j  ui,j1 con lo que, para t = 1 obtenemos: u1,2 = (1/4)(u0,1 + u2,1) + (3/2)u1,1  u1,0  = (1/4)(0 + 7/4) + (3/2)1  1 = 15/16 = u3,2 u2,2 = (1/4)(u1,1 + u3,1) + (3/2)u2,1  u2,0  = (1/4)(1 + 1) + (3/2)(7/4)  2 = 9/8

14 Procediendo análogamente
x = 0 x = x = x = x = 4 t = t = t = t = t = t = t = t = t =

15 Ec. de Ondas: Método implícito
Idea ui,j+1 - 2ui,j + ui,j-1 = a2 [(ui+1,j+1 - 2ui,j+1 + ui-1,j+1) + (ui+1,j-1 - 2ui,j-1 + ui-1,j-1)]/2 Pasos (1+a2)ui,j+1 - a2(ui+1,j+1 + ui-1,j+1)/2 = 2ui,j + a2(ui+1,j-1 + ui-1,j-1)/2 - (1+a2)ui,j-1 Convergencia para todo a

16 Algoritmo del método implícito
Truco ecuación implícita - a2( ui-1,j-1 + ui-1,j+1)/4 + (1 + a2)(ui,j-1 + ui,j+1)/2 - a2(ui+1,j-1 + ui+1,j+1)/4 = ui,j Sistema Aw = v, v = (u1,j,u2,j,...,unx-1,j)' tridiagonal ui,j+1 = wi - ui,j-1 Factorización LU Lz = v Uw = z

17 Método implícito. Resolución del sistema Sustitución Factorización LU

18 x = 0 x = x = 2 x = 3 x = 4 t = t = t = t = t = t = t = t = t =

19 Ecuaciones parabólicas
Ecuación ut = cuxx, 0 < x < L, t > 0 del Calor Condición u(x, 0) = f(x) inicial Condiciones u(0, t) =T u(L, t) = TL de contorno Ecuación en diferencias

20 Ec. del Calor: Método explícito
Condición inicial ui,0 = f(xi) Condiciones de contorno u0,j = T unx,t = TL para j>0 Pasos siguientes ui,j+1 = a(ui+1,j+ui-1,j) +(1-2a)ui,j Convergencia a £ 1/ Óptimo a = 1/6

21 Ecuación del Calor. Método explícito. Ejemplo
Hallar la temperatura para t = 0.3 de una barra de 1m cuyos extremos se mantienen a 20ºC y a 40ºC. La temperatura inicial de la barra es de 100ºC y el coeficiente c = 0.1. Tomar Dx = 0.2 y Dt = 0.1. Justificar la aplicabilidad del método explícito.

22 Ajuste de las condiciones iniciales y de contorno:
Ajuste de las condiciones iniciales y de contorno: u0,0 = 60, u1,0 = u2,0 = u3,0 = u4,0 = 100, u5,0 = 70 Instante t = 0.1 u1,1 = (u0,0 + u2,0)/4 + u1,0/2 = (60+100)/ /2 = 90 u2,1 = u3,1 = 100 u4,1 = (u3,0 + u5,0)/4 + u4,0/2 = (100+70)/ /2 = 92.5

23 Instante t = 0.2 : u1,2 = 75 u2,2 = u3,2 = u4,2 = 81.25 Instante t = 0.3: u1,3 = u2,3 = u3,3 = u4,3 =

24 Ec. del Calor: Método implícito
Idea: Diferencias hacia atrás Pasos (1+2a)ui,j - a(ui-1,j + ui+1,j) = ui,j-1 Convergencia para todo a

25 Ecuación del Calor. Método implícito
Se verifica la condición de convergencia : a = 1/4 < 1/2 Diagonal principal: 1 + 2a = 3/2, Diagonales contiguas a = 1/4. Para t = 0.1:

26 Valores obtenidos por este método:. x = 0. 2 x = 0. 4. x = 0. 6 x = 0
Valores obtenidos por este método: x = x = x = x = 0.8 t = t = t =

27 Método de Crank-Nicholson
Idea: media de diferencias centrales ui,j+1 - ui,j = a [(ui+1,j+1 - 2ui,j+1 + ui-1,j+1) + (ui+1,j - 2ui,j + ui-1,j)] /2 Pasos 2(1+a)ui,j+1 - a(ui+1,j+1 + ui-1,j+1) = (1-a)ui,j + a(ui+1,j + ui-1,j) Convergencia para todo a

28 Ecuación del Calor. Método de Crank-Nicholson
Matriz del sistema: Término independiente del primer paso:

29 Valores obtenidos por Crank-Nicholson:. x = 0. 2 x = 0. 4. x = 0
Valores obtenidos por Crank-Nicholson: x = x = x = x = 0.8 t = t = t =

30 Ecuaciones elípticas Ecuación de Laplace
uxx + uyy = 0, < x < a, < y <b Condiciones de contorno u(x,0), u(x,b), u(0,y), u(a,y) Discretización

31 Ecuación de Laplace Ecuación en diferencias: a=k/h
a2(ui-1,j + ui+1,j) + ui,j-1 + ui,j+1 - 2(a2+1)ui,j = 0 Matriz del sistema: grande , dispersa Caso h = k : ui-1,j + ui+1,j + ui,j-1 + ui,j+1 = 4ui,j

32 Ec. de Laplace: Métodos iterativos
Método de Jacobi Método de Gauss-Seidel Criterio de parada

33 Método de Sobrerrelajación
Idea: ponderar el desplazamiento de Gauss-Seidel Pasos Si w = 1 coincide con Gauss-Seidel

34 Ecuación de Laplace. Ejemplo
uxx+ uyy=0, 0 < x < 1 0 < y < 1, n= m=4, u(x, 0) = u (x, 1) = 100x u(0, y) = u(1, y) = 100y e = 0.01 Ajuste de las condiciones de contorno:

35 Método de Jacobi. Iteraciones: 8 Operaciones en coma flotante: 1142

36 Método de Gauss-Seidel.
Iteraciones: 11 Operaciones en coma flotante: 1378

37 Método de Sobrerrelajación.
Factor de relajación: w = 1.2 Iteraciones: 8 Operaciones en coma flotante: 1802

38 Algoritmos iterativos por bloques
Iteración por bloques fila Para j = 1, 2, … , m-1, resolver el sistema Iteración por bloques columna Método implícito de direcciones alternadas

39 Método de Direcciones Alternadas.
Iteraciones: 5 Operaciones en coma flotante: 1468

40 Errores máximos. Solución: u(x,y) = x·y

41 F I N