Teoría de la Probabilidad

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1 Teoría de la Probabilidad
-Espacio muestral (o espacio de muestra): Conjunto de todos los resultados posibles de un experimento estadístico. Se denomina con la letra S o la letra griega omega. A cada resultado de un espacio muestral se le llama elemento o miembro . Cuando el espacio muestral tiene un número finito de elementos, se pueden listar los miembros separándolos con comas y encerrándolos entre paréntesis, por ejemplo: “el espacio muestral de S, de los resultados posibles cuando se lanza una moneda equilibrada al aire será: S = {A, S}, donde A = águila y S = sello. ejemplo 2: “se lanza al aire un dado (perfectamente equilibrado), enumere los posibles resultaos del experimento”. S = {1,2,3,4,5,6}. ejemplo 2. Suponga que selecciona al azar 3 artículos de una línea producción, cada artículo puede clasificarse como Defectuoso o No Defectuoso (N) , en el siguiente diagrama Donde S = {DDD,DDN,DND,DNN,NDD,NDN,NND,NNN} D DDD D DDN N D D DND N DNN N D NDD D N NDN N N D NND N NNN

2 Teoría de las probabilidades
Un enunciado o regla describe los espacios muestrales con un número grande o infinito de puntos muestrales ejemplo 1: Sí los resultados posibles de un experimento son el conjunto de ciudades en el mundo con una población mayor a un millón de habitantes, el espacio muestral se describe como: S = {x | x es una ciudad con más de un millón de habitantes}, y se le: “S es el conjunto de todas las x, tal que x es una ciudad con más de un millón de habitantes”. Evento es un subconjunto de un espacio muestral. Ejemplo 1: Sea A el evento de que aparezca un número par al lanzar un dado A= {2,4,6}. Ejemplo 2 : en el ejercicio de los artículos defectuosos y no defectuosos, sea B el evento en el que el número de artículos defectuosos sea mayor que 1. B = {DDN,DND,NDD,DDD} del espacio muestral S. Los eventos también pueden expresarse con la teoría de conjuntos: Complemento: El complemento de un evento A con respecto a S, es el conjunto de todos los elementos de S que no están en A, y se representa como A´ o AC.. AC es el complemento de A y “ es el evento que ocurre sí y sólo sí A no ocurre” S A Ac

3 Teoría de la Probabilidad
Intersección La intersección de 2 eventos A y B es y es el evento que contiene a todos los elementos comunes a A y a B. ejemplo 1: Sea P el evento de que una persona que se selecciona al azar entre los que comen en un restaurante y cumplen con el pago de impuestos, y sea Q el evento de que dicha persona sea mayor de 65 años. Entonces el evento es el conjunto de todas las personas que se encuentran en el restaurante, que pagan impues- tos y que son mayores de 65 años. Ejemplo 2: Sea M = {a,e,i,o,u} y N = {r,s,t}, entonces, (conjunto vacío o nulo). Eventos mutuamente excluyentes: Dos eventos A y B son mutuamente excluyentes o disjuntos si , esto es, si A y B no tienen elementos en común ( o bien, no ocurren simultáneamente) Unión: La unión de 2 eventos A y B es es el evento que contiene a todos los elementos que pertenecen a A o a B o en ambos. Ejemplo: Sea P el evento de que un empleado de una compañía perforadora al que se selecciona al azar fume. Sea Q el evento de que aquel que se escoge tome bebidas alcohólicas . Entonces el evento es el conjunto de todos los empleados que fuman o beben o ambos cosas. , por tqnto, la fórmula sería: donde, es el número de permutaciones que es posible obtener de n objetos, ente los que existen una cantidad x1 de objetos iguales, x2, todos iguales y xk iguales también. AB S A B S

4 Teoría de la probabilidad
Axiomas y teoremas de la teoría de la probabilidad. La probabilidad de un evento se puede establecer en forma indirecta, de acuerdo con los tres axiomas siguientes: Axioma 1: Si A es un evento cualquiera, entonces la probabilidad de A, denotada con con P(A), es un número real no negativo y no mayor 1, esto es : Axioma 2: Si A y B son eventos ajenos (es decir, mutuamente exclusivos), entonces Axioma 3: Si S denota el espacio muestral, entonces P(S) = 1 (la probabilidad de que ocurra el espacio muestral debe ser 1). Teorema 1: Si es el conjunto vacío (evento imposible) entonces Teorema 2: Para cualquier evento A de un espacio muestral, P(A) +P(AC) = 1, o bien, “la probabilidad del complemento de A, AC debe ser, P(AC) = 1 - P(A).” Teorema 3: Si un evento Teorema 4: Para cualquier evento A y B de un espacio muestral, se verifica la igualdad Teorema 4: Para cualquier evento A y B de un espacio muestral, se verifica la igualdad La es la suma de las probabilidades de los puntos muestrales en P(A) + P(B) es la suma de todas las probabilidades en A más la suma de todas la s probabilidades en B, por lo tanto se han sumado 2 veces las probabilidades en De manera que se debe restar la probabilidad de la intersección para obtener la probabilidad de AUB AB S A B S

5 que le dé servicio al menos a 5 carros el siguiente día de trabajo?
Ejemplos: (teorema 2). Si las probabilidades de que un mecánico automotriz repare 3,4, 5,6,7,8 o más vehículos en un día hábil cualquiera de la semana son, respec- tivamente, 0.12, 0.19, 0.28, 0.24, y 0.07, ¿cuál es la probabilidad de que le dé servicio al menos a 5 carros el siguiente día de trabajo? Solución: E = el evento de que se arreglen al menos 5 carros, P(E) la probabilidad deque ocurra E , y P(EC) la probabilidad de que se reparen menos de 5 carros, entonces: P(EC) = = 0.31, por lo tanto, la probabilidad de que le dé servicio al menos a 5 carros el siguiente día de trabajo es: P(E) = 1 - P(EC) = = 0.69 (teorema 4). La probabilidad de que Paula apruebe matemáticas es de 2/3 y la de que apruebe inglés es de 4/9. Si la probabilidad de que apruebe ambos cursos es de 1/4 , ¿cuál es la probabilidad de que Paula apruebe al menos uno de ellos? Sol.: M = el evento “aprobar matemáticas” E = el evento “aprobar inglés” , y ¿cuáles la probabilidad de obtener un total de 7 u 11 cuando se lanza un par de dados? Solución: A = el evento de que ocurra el 7 y B = que ocurra el 11, y P(A) = 6/36 y P(B) = 2/36, eventos mutuamente excluyentes, por tanto: Sea E el evento de que se arreglen por lo menos 5 caros, entonces la P(E) = 1 – P(EC), donde EC es el evento de que se reparen menos de 5 carros. Dado que P(E) = = 0.31, entonces P(E) = 1 – = 0.69 E ME S M

6 Teoría de las Probabilidades
Espacios probabilísticos finitos: Sea S un espacio finito, S = { a1 , a2 ,..., an }. Un espacio probabilístico finito o modelo probabilístico finito, se obtiene asignando a cada punto ai , de S un número real pi , llamado “ probabilidad de ai", que cumple con las siguientes propiedades: Cada pi es no negativo, es decir, La suma de pi, es 1, es decir p1 + p pn = 1 Ejemplo 1: Se lanzan 3 monedas y se observa el número de veces que sale águila. S = {0,1,2,3} . Las siguientes asignaciones de los elementos de S definen el espacio probabilístico: Se tiene que cada probabilidad es no negativa y la suma de las mismas es 1. Sea A el evento de que aparezca águila al menos 1 vez, y B el que aparezcan o todas águilas o todos sellos: A = {1,2,3} y B = {0,3}, entonces: P(A) = P(1) + P(2) + P(3) = 3/8 + 3/8 + 1/8 = 7/8 y P(B) = P(0) + P(3) = 1/8 + 1/8 = 2/8 Ejemplo 2: Tres caballos A,B,C están en un carrera; A tiene el doble de posibilidades de ganar que B,y B que C. Hallar P(A), P(B) y P(C). Sea P(C) = p; P(B) = 2p y P(A) = 2 P(B) = 2(2p) = 4p la suma es igual a 1: p + 2p + 4p = 1 o 7 p de manera que p = 1/7 P(A) = 4(1/7) = 4/7; P(B) = 2(1/7) = 2/7 ; P(C) = 1/7 Resultado Probabilidad 1/ / / /8 Ejemplo 1 : S = { aaa, aas, asa, ass, saa, sas, ssa, sss} espacio muestral al lanzar las tres monedas Ejemplo 2 Cuál es la probabilidad de que gane B o C , es decir, P({B, C}) = P(BUC) = P(B) + P(C) = 2/7 + 1/7 = 3/7

7 Teoría de las Probabilidades
Espacios finitos equiprobables: Suponga que S es un espacio muestral finito, con n elementos, cuyas características físicas del experimento sugieren que a varios de los resultados se les asignen probabilidades iguales. Entonces S se convierte en un espacio probabilístico, llamado espacio finito equiprobable, si a cada punto P se le Asigna la probabilidad 1/n y si a cada suceso A que contiene r puntos se le asigna la probabilidad r/n. , esto es, ejemplo: Sea S = {a1, a2, a3, a4 }, entonces n = 4 y p(a1) = p(a2) = p(a3) = p(a4) = 1/4 Sea A = {a1, a4 }, entonces r = 2 , entonces: P(A) = r/n = 2/4 = 1/2 Ejemplo: en la clase de probabilidad hay 35 alumnos, de los cuales 5 son de la carrera química, 15 de electrónica, 7 son de eléctrica, 4 de producción y 4 de mecánica. Se elige un alumno al azar; encuentre la probabilidad de que sea: a) electrónico, b) químico o mecánico , c) de producción o de eléctrica. Sol: S = {35 alumnos}; a1 = 15 electrónicos, a2 = 5 químicos; a3 = 7 eléctricos, a4 = 4 producción y a5 = 4 mecánicos, de manera que: S = {a1 , a2 , a3 , a4 , a5 } a) b) c) La formula solo se aplica a espacios equiprobables El termino aleatorio sólo se aplica a espacios equiprobables.

8 Teoría de las Probabilidades
Probabilidad condicional: Es la probabilidad de que ocurra un evento cuando se sabe que ha ocurrido otro evento. Considere dos eventos A y B. La probabilidad de que ocurra B, dado el hecho de que A ya ha ocurrido, se denota por P(B/A), que se lee: “ la probabilidad de que ocurra B, dado que A ya ha ocurrido” o bien “la probabilidad de B dado A”. Y se define como: Donde: = Número de elementos comunes a los eventos A y B A = numero de elementos del eventos A Ejemplo: En un grupo de 36 estudiantes hay nueve que dominan el idioma inglés, cuatro francés y dos ambos idiomas. Se selecciona un alumno al azar y se comprueba que domina el inglés. ¿ cuál es la probabilidad de que domine el francés ? Sea I = domina inglés; y F = domina francés, entonces: P(I) = 9/36: P(F) = 4/36 y ; entonces: A E AE S Note que el conocimiento previo de que el estudiante dominaba el inglés, aumento la probabilidad de que hablara bien ambos idiomas de 1/8 a 2/9, porque el espacio muestral se redujo a los 9 que dominan el inglés, en tanto que los restantes 27 alumnos no necesitaron ser considerados.

9 Teoría de las Probabilidades
Teorema de multiplicación: Si en un evento pueden ocurrir los eventos A y B, entonces: Ejemplo: Una bolsa contiene cuatro bolas blancas y tres negras, y una segunda bolsa contiene tres blancas y cinco negras. Se saca una bola de la primera bolsa y sin verla se coloca en la segunda bolsa. ¿ cuál es la probabilidad de que ahora se saque una bola negra de la segunda bolsa ? . Sea N1 la extracción de una bola negra de la bolsa 1 . Sea N2 la extracción de una bola negra de la bolsa 2 . Sea B1 la extracción de una bola blanca de la bolsa 1 . Sea B1 la extracción de una bola blanca de la bolsa 2 Lo que se busca es : La probabilidad de que la primera sea negra = 3/7; y que sea blanca es = 4/7 La probabilidad de que la segunda sea negra, después de que se sacó de la primera bolsa una negra es 6/9. La probabilidad de que la segunda sea negra, después de que se sacó de la primera bolsa una blanca es 5/9, entonces: la probabilidad de que la segunda sea negra. Teorema: Dos eventos A y B son independientes si y sólo sí: Se puede hacer un diagrama de árbol P(n1 * n2) = (3/7)(6/9) Bolsa 2 3 b y 5 n P(n1*b2) = (3/7)(3/9) Bolsa 1 4 b y 3 n P(b1 * n2) = (4/7)(5/9) P(b1 * b2) = (4/7)(4/9)

10 Teoría de las Probabilidades
ejemplo: Se lanzan dos veces un par de dados, ¿cuál es la probabilidad de obtener totales de 7 y 11 ?. . Sea A1 el evento de que ocurra un 7 en el primer lanzamiento . Sea A2 el evento de que ocurra un 7 en el segundo lanzamiento . Sea B1 el evento de que ocurra un 11 en el primer lanzamiento . Sea B2 el evento de que ocurra un 11 en el segundo lanzamiento Teorema: Si en un experimento, pueden ocurrir los eventos A1, A2, A3, ... An, entonces: Si los eventos A1, A2, A3, ... An, son independientes, entonces: Ejemplo: Se sacan tres cartas una tras otra, sin reemplazo, de una baraja. Encuentre la probabilidad de que ocurra el evento donde A1 es el evento de que la primera carta sea un as rojo, A2 el evento de que la segunda carta sea un 10 o una sota y A3 el evento de que la tercera carta sea mayor que tres pero menor que siete. P(A1) = 2/5, P(A2/ A1) = 8/51, P(A3/ A A2) = 12/50 Ejemplo 4.2 del libro introducción a la probabilidad y estadística pagina 135

11 Teoría de la Probabilidad
Procesos Estocásticos Finitos: Estocástico (del griego conjeturar). En estadística, dícese de la relación que existe entre dos variables tales que, sin ser una de ellas función de la otra, tampoco son independientes. Un proceso estocástico es la representación de un experimento finito, en donde cada resultado tiene asociada una probabilidad de ocurrencia. Una forma conveniente de describir esos resultados es por medio de un diagrama de árbol. Ejemplo: suponga que tiene las siguientes cajas: La caja X tiene 10 focos, de los 4 son defectuosos. La caja Y tiene 6, de los que sólo uno defectuosos La caja Z tiene 8, con 3 defectuosos. Se escoge una caja al azar y entonces se escoge un foco al azar de la caja elegida. Hallar la probabilidad de que el foco no sea defectuoso Existen dos experimentos: a) elegir una de las tres cajas y b) elegir un foco que será defectuoso (D) o no (N). El siguiente diagrama de árbol describe el proceso y da la probabilidad. Como existen 3 caminos independientes que llevan a un foco no defectuoso, la suma de las probabilidades de estos caminos, dan la probabilidad requerida. 2/5 D X 1/3 3/5 N D 1/3 1/6 Y 5/6 N 3/8 D 1/3 Z 5/8 N

12 Teorema de Bayes. Un método para calcular la probabilidad condicional de un evento que es un subconjunto de un conjunto de eventos, el cual constituye una partición de un espacio muestral, es el teorema de Bayes: Sea {B1, B2, B3,... Bn} un conjunto de n eventos que forman una partición del espacio muestral S, con P( Bi) 0, para i = 1,2,3...n. Sea A cualquier evento de S, con P(A) 0, entonces para k=1,2,3...,n: Ejemplo: Tres máquinas A, B y C producen 45, 26, y 31% de la producción total de una empresa, se ha detectado que un 8, 2, y 1.6 % del producto es defectuo- oso. ¿cuál es la probabilidad de que el producto haya sido fabricado en la máquina B. b) Si el producto seleccionado no es defectuoso, ¿ cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado en la máquina C . . S B1 B3 A B2 Bn B4

13 Sea D el evento de que el sea defectuoso (evento que condiciona)
Sea A el evento de que sea fabricado por A. Sea B el evento de que sea fabricado por B. Sea C el evento de que sea fabricado por C. a) B) ND es el evento de que el producto seleccionado no sea defectuoso (evento que condiciona. 8% D A 43% 92% N 2% D 26% B 98% N 1.6% D 31% C 98.4% N