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Publicada porJavier Parra Pérez Modificado hace 8 años
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Técnicas numéricas para el procesamiento de datos reales Antonio Turiel Instituto de Ciencias del Mar de Barcelona
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Sumario Introducción Caracterización probabilística básica: el histograma Cálculo de los momentos de una distribución Estudio de las correlaciones a dos puntos Análisis espectral Análisis en componentes principales (PCA) Inferencia Markoviana Wavelets
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Introducción Requisitos básicos para este taller: Sólida formación de Matemáticas y Probabilidad Nociones de programación Todos los ejemplos mostrados en este taller han sido obtenidos usando programas C cuyo código fuente está a la disposición de los estudiantes. ¿Por qué se necesita programación en el análisis de datos? El análisis de datos se basa en la aplicación repetitiva de reglas de cálculo (generales o deducidas de modelos)
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1.- Desempaquetarlos ¿Cómo usar los programas?
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2.- Cambiamos de directorio y compilamos
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¿Cómo usar los programas? 3.- Ejecutamos el programa y verificamos el resultado
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¿Por qué se hacen análisis de tipo estadístico? Porque se pretende inferir principios universales, no dependientes de realizaciones particulares ¿Determinista o aleatorio?
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Caracterización probabilística básica: el histograma Aproximación empírica a la función de densidad de probabilidad Muestreo: Buscamos el máximo y mínimo empíricos de esa variable Dividimos el rango total en B cajas, de ancho:
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Los lados de las cajas son de la forma: Los puntos centrales de cada caja son de la forma: o sea,
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Eventos por caja: Probabilidad estimada: Si N, N i son suficientemente grandes:
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Ejemplo
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Histograma B = 100
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Problemas típicos: Si la distribución es muy curtótica Histograma de la derivada
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Solución: Truncar el rango estudiado Criterio k : con
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33 11 … aunque se ha de tener cuidado de no cortar demasiado
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Otro problema es el muestreo limitado de las colas Criterio de significación sencillo:
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Cálculo de los momentos de una distribución Los momentos determinan propiedades de la distribución Media: Varianza: Sesgo: Curtosis: Si los momentos enteros positivos no divergen demasiado rápido, el conjunto de todos los define
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Estimación empírica: En la práctica, es imposible obtener estimaciones precisas para p≥3 Teorema: Análogamente, Pero, obviamente:
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Realmente, ¿es tan grave este problema? Densidad de momento p: Densidad empírica de momento p:
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Densidades empíricas p=1p=2p=3p=4 Estimar p=3 requiere millones de datos; p=4 miles de millones
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Estudio de las correlaciones a dos puntos Estadística de orden 2, pero distribuida espacialmente. Correlación a dos puntos: Si hay estacionariedad espacial (invariancia de traslación) En este caso, la correlación coincide con la autocorrelación
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Se puede simplificar el cálculo usando transformadas de Fourier donde la transformada de Fourier se calcula: Sobre datos numéricos, se puede usar la FFT La inversa es igual, cambiando el signo
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Inconveniente: la transformada de Fourier numérica es, en realidad, una serie de Fourier donde la unidad de frecuencia es: Las series son periódicas (aliasing).
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La segunda mitad de los índices representan frecuencias negativas: si entonces con La transformada de Fourier discreta de la autocorrelación discreta es el cuadrado del módulo de la transformada. El aliasing ha de ser tratado correctamente Función de autocorrelación discreta:
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1.- Se extiende la secuencia x n con igual número de ceros: 2.- Se define la máscara de los datos:
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3.- Se calculan las autocorrelaciones vía FFT: 4.- Se estima la autocorrelación contínua:
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Correlación a dos puntos de la señal de ejemplo
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Correlación a dos puntos de las derivadas
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Correlación de los valores absolutos de las derivadas
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Análisis espectral Generalmente el análisis de la autocorrelación se aborda directa en el espacio de Fourier:
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Análisis de componentes principales (PCA) Varias series temporales:
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Modelo lineal: Existen M causas independientes, que se combinan linealmente para formar las series observadas. ¿Cómo se extraen las causas? Decorrelando. Fijamos Matriz de correlación:
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Diagonalizando: Se aplica a los datos para extraer las componentes principales
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Datos originales:
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Derivadas:
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Inferencia Markoviana Sólo estudiaremos el grado de dependencia mutua. Cantidad de información compartida o información mutua: Entropía o cantidad de información:
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Datos originales:
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Derivadas: Extremos empíricos Criterio 3
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Wavelets ¿Qué es una wavelet? Una wavelet (wave particle) es una función oscilatoria elemental y localizada.
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¿Para qué sirve una wavelet? Las wavelet tienen dos aplicaciones principales: Análisis Representación Las wavelets están muy bien adaptadas para estudiar sistemas sin escala definida, aunque también son útiles en otras situaciones.
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¿Cómo se usan las wavelets? Las proyecciones de wavelet corren sobre todas las posiciones y escalas de observación E s c a l a Posición Por medio de proyecciones de wavelet
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Se pueden reconstruir las señales a partir de sus proyecciones de wavelet Pero tal representaci ó n en wavelets es extremadamente redundante (una serie 1D se vuelve una funci ó n 2D, una imagen 2D se convierte 3D, etc) … si la wavelet es admisible Por ello se buscan subselecciones de escalas y posiciones más eficientes. Paradigma: caso diádico Representación:
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Análisis: Caracterización de propiedades locales de una señal A cada punto de la señal q se le asigna un exponente h invariante de escala: el exponente de singularidad Donde es una wavelet sobre la que se proyecta la señal Paradigma: Análisis de singularidades
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Imagen SST Pathfinder (Cabo Hatteras, 8 de Mayo, 2000) Exponentes de singularidad asociados El análisis de singularidades sirve para detectar estructuras, independientemente de la escala y la amplitud
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¡GRACIAS POR SU ATENCIÓN!
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