@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO1 PROBABILIDAD U.D. 15 * 3º ESO E.AC.

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1 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO1 PROBABILIDAD U.D. 15 * 3º ESO E.AC.

2 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO2 LEY DEL AZAR U.D. 15.2 * 3º ESO E.AC.

3 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO3 Frecuencias vifihi Cara6565/1000,65 Cruz3535/1000,35 100100/1001 Experimento 1: Lanzamos una moneda al aire 100 veces. La frecuencia absoluta es el número de veces que se repite dicho suceso: f(Cara)=f(C)= 65 f(Cruz)=f(X)= 35 La frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta y el número de veces que se repite el experimento: h(Cara)=h(C)= f(C)/N =65/100 = 0,65 h(Cruz)=h(X)= f(X)/N = 35/100 =0,35 Es muy conveniente expresar la frecuencia relativa en forma decimal.

4 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO4 Frecuencias Experimento 2: Continuamos tirando una moneda al aire hasta 1000 veces. Las frecuencias absolutas de los sucesos “Obtener cara” y “Obtener cruz” resultan: f(Cara)=f(C)= 475 f(Cruz)=f(X)= 525 Las frecuencias relativas de ambos sucesos son: h(Cara)=h(C)= f(C)/N = 475/1000 = = 0,475 h(Cruz)=h(X)= f(X)/N =525/1000 = = 0,525 Observar que las frecuencias relativas tienden a igualarse. vifihi Cara475 ------ 1000 0,475 Cruz525 ------ 1000 0,525 1000 ------- 1000 1

5 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO5 Frecuencias Experimento 3: Continuamos tirando una moneda al aire hasta un millón de veces. Las frecuencias absolutas de los sucesos “Obtener cara” y “Obtener cruz” resultan: f(Cara)=f(C)=498 321 f(Cruz)=f(X)= 501 679 Las frecuencias relativas de ambos sucesos son: h(Cara)=h(C)= 0,498321 h(Cruz)=h(X)= 0,501679 Observar que las frecuencias relativas son casi iguales. vifihi Cara498 3210,498321 Cruz501 6790,501679 1 000 0001

6 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO6 La Ley de los grandes números o Ley del azar dice: La frecuencia relativa de un suceso tiende a estabilizarse en un número cuando el número de repeticiones es suficientemente grande. Ese número recibe el nombre de probabilidad de dicho suceso. Y se denota por p(A) En el ejemplo de la moneda: p(Cara)=p(C )=0,5 = 1 / 2 p(Cruz)=p(X )=0,5 = 1 / 2 En otras palabras: Aunque no sepamos el resultado de una tirada concreta, si repetimos un número de veces muy elevado, el número de caras y el de cruces resultará prácticamente el mismo. La probabilidad de un suceso, p(A), es siempre un número comprendido entre 0 y 1. La probabilidad del suceso seguro es siempre 1. La probabilidad del suceso imposible es siempre 0. Ley del azar

7 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO7 Frecuencias xifihi 155/1000,05 21010/1000,10 33535/1000,35 41515/1000,15 52023/1000,23 61512/1000,12 100100/1001 Experimento 4: Lanzamos un dado al aire 100 veces. La frecuencia absoluta es el número de veces que se repite dicho suceso: f(5)= 23 f(6)= 12 La frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta y el número de veces que se repite el experimento: h(5)= f(5)/N =23/100 = 0,23 h(6)= f(6)/N = 12/100 =0,12 Observar que las frecuencias del “5” son casi el doble que del “6”.

8 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO8 Frecuencias xifihi 11470,147 21300,130 33500,350 41500,150 51030,103 61200,120 10001 Experimento 5: Seguimos lanzando el mismo dado hasta 1000 veces. Las frecuencias absolutas de los sucesos “Obtener un 5” y “Obtener un 6” resultan: f(5)= 103 f(6)= 120 Las frecuencias relativas valdrán: h(5)= f(5)/N = 103/1000 = 0,103 h(6)= f(6)/N = 120/1000 = 0,120 Observar que las frecuencias del “5” son ahora mayores que las del “6”.

9 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO9 Frecuencias Experimento 6: Continuamos tirando un dado al aire hasta un millón de veces. Las frecuencias absolutas de los sucesos “Obtener 5” y “Obtener 6” resultan: f(5) = 168 498 f(6) = 165 679 Las frecuencias relativas de ambos sucesos son: h(5) = 0,168498 h(6) = 0,165679 Observar que las frecuencias relativas son casi iguales. xifihi 1171 6380,171638 2166 6790,166679 3167 5010,167501 4160 0050,160005 5168 4980,168498 6165 6790,165679 1 000 0001

10 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO10 La Ley de los grandes números o Ley del azar dice: La frecuencia relativa de un suceso tiende a estabilizarse en un número cuando el número de repeticiones es suficientemente grande. Ese número recibe el nombre de probabilidad de dicho suceso. Y se denota por p(A) En el ejemplo del dado: p(1) = 0,166666 = 1 / 6 p(2) = 0,166666 = 1 / 6 p(3) = 0,166666 = 1 / 6 p(4) = 0,166666 = 1 / 6 p(5) = 0,166666 = 1 / 6 p(6) = 0,166666 = 1 / 6 En otras palabras: Aunque no sepamos el resultado de una tirada concreta, si repetimos un número de veces muy elevado, el número de unos, doses, treses, cuatros, cincos y seises resultará prácticamente el mismo. Ley del azar