Distribuciones de probabilidad

Presentación del tema: "Distribuciones de probabilidad"— Transcripción de la presentación:

1 Distribuciones de probabilidad
Matemáticas aplicadas a las CCSS II Ana Pola IES Avempace

2 Ley de los grandes números
Al repetir, en condiciones estables, un gran número de veces un mismo experimento, las frecuencias relativas correspondientes a cada uno de los sucesos tienden a estabilizarse en un determinado valor. Este valor recibe el nombre de probabilidad.

3 Del modelo experimental al modelo teórico
Variable estadística Variable aleatoria

4 120 lanzamientos

5 1200 lanzamientos

6 4800 lanzamientos

7 Variable aleatoria Es una variable numérica cuyo valor viene determinado por el azar. Es una función tal que a cada suceso elemental del espacio muestral le asigna un número real. Se lanza tres veces una moneda. Contamos el número de caras E R XXX XXC XCX CXX CCX XCC CXC CCC 1 2 3

8 Función de probabilidad
Llamamos función de probabilidad P de una variable aleatoria X, o distribución de probabilidad de esa variable, a una función que hace corresponder a cada valor de la variable su probabilidad: Como la variable aleatoria recorre todos los sucesos del espacio muestral, la suma de las probabilidades asociadas debe ser 1:

9 Distribuciones discretas de probabilidad 1
Una variable aleatoria es discreta cuando toma un número de valores finito. Ejemplo 1: Se tira un dado. Se define la variable aleatoria: puntuación obtenida. A cada valor de la variable aleatoria se le asocia su probabilidad. P(X = x1)+P(X = x2)+P(X = x3)+P(X = x4)+P(X = x5)+P(X = x6) = = 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1 Distribución uniforme

10 Distribuciones discretas de probabilidad 2
Ejemplo 2: Se tira tres veces una moneda. Se define la variable aleatoria: número de caras. P(X = x1)+P(X = x2)+P(X = x3)+P(X = x4) = 1/8 + 3/8 + 3/8 + 1/8 = 1. Distribución no uniforme

11 Valor esperado Llamamos valor esperado o esperanza matemática de la variable aleatoria X al valor: La expresión valor esperado alude a los juegos de azar. Es la ganancia que se espera recibir, en promedio, por jugar a una sola opción en dicho juego. Si E(X) = 0  no existe ventaja para el jugador ni para la “banca” Si E(X) > apuesta  el juego es favorable al jugador Si E(X) < apuesta  el juego es desfavorable al jugador

12 Dos ejemplos En el experimento del lanzamiento de 3 monedas:
 = 0·1/8 + 1·3/8 + 2·3/8 + 3·1/8 = 12/8 = 1,5 Es decir, por término medio, se espera que la mitad de las veces salga cara y la otra mitad cruz. En una rifa de números, se vende cada uno a 10€ y hay la posibilidad de ganar un coche valorado en 12000€. La función de probabilidad es y la esperanza matemática es Es decir, la ganancia media del jugador es 1,2 €. Para que la rifa fuera justa, cada número debería venderse a 1,2 €- Sucesos perder ganar X 12000 P(X) 9999/10000 1/10000

13 Varianza y desviación típica
Dada una variable aleatoria discreta X, con su correspondiente distribución de probabilidad, definiremos la varianza de esa distribución como: Se puede demostrar que esta fórmula es equivalente a esta otra: Llamaremos desviación típica de esta variable aleatoria a la raíz cuadrada de su varianza:

14 Un juego de azar con apuesta
Una urna contiene 5 bolas: 3 rojas y 2 azules. Extraemos dos bolas. Ganamos 100 € cuando salen 2 bolas rojas. Perdemos 20 € cuando salen de distinto color y 150 € cuando salen las azules. En cada jugada esperamos ganar 3 €. Por tanto, en 100 jugadas la ganancia esperada sería de 300 €. El juego es arriesgado porque en una jugada la pérdida o ganancia se sitúa, muy probablemente, en el intervalo: [ , ] = [ , 77.03] r a 3/5 2/5 2/4 3/4 1/4 P(rr) = 3/5·2/4 =3/10 P(ra) = 3/5·2/4 =3/10 P(ar) = 2/5·3/4 =3/10 P(aa) = 2/5·1/4 =1/10