@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS1 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETA Bloque IV * Tema 171.

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1 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS1 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETA Bloque IV * Tema 171

2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS2 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETA Un grupo de diez amigos acostumbran a salir juntos frecuentemente. Pero cada vez que salen, el número de ellos es aleatoriamente distinto. Sea x el nº de personas que salen juntas. Sabemos que 2 ≤ x ≤ 10. X es una variable DISCRETA, o sea toma valores finitos ( enteros en este caso ) en [ 2, 10 ] Sea f la frecuencia o cantidad de veces que hemos observado el mismo suceso Imaginemos que anotamos el número de ello cada vez que salen juntos, o sea repetimos la misma observación hasta un número muy grande de veces Según la ley del azar, en todo experimento aleatorio, las frecuencias relativas tienden a su probabilidad cuando el número de datos es suficientemente grande. Vemos que las frecuencias relativas se han convertido en las probabilidades. La variable estadística x toma el nombre de variable aleatoria en la distribución de probabilidades. La distribución de probabilidad es una idealización de la distribución de frecuencias.

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS3 Tabulación de resultados observados x345678910 f10130032 f5 1827191173100 f1819363226302615200 f1001302402001408060501000 fr0,100,130,240,200,140,080,060,051 P(x)0,100,130,240,200,140,080,060,051 La frecuencia relativa (fr) es fr = f / Σ f, que es la probabilidad P(x) cuando Σ f es muy grande.

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS4 ESPERANZA MATEMÁTICA MEDIA EN UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETA. _ No difiere su cálculo de la media de una variable estadística, x. Se denota por la letra griega μ. Se llama valor esperado o ESPERANZA MATEMÁTICA, nombre preveniente de los juegos de azar, origen de la probabilidad. μ es la medida utilizada para medir la equidad de un juego. Si μ = 0, no hay ventaja ni para el jugador ni para la banca. Por cada 100 ptas jugadas: μ = 70 en la Lotería Nacional. μ = 55 en la Lotería Primitiva o en la Quiniela de fútbol. μ = Σ xi. pi En el ejemplo anterior: μ = 0’10. 3 + 0’13. 4 + 0’25. 5 + 0’20. 6 + 0’14. 7 + 0’08. 8 + 0’06. 9 + 0’05. 10 = 0,3 + 0,52 + 1,25 + 1,2 + 0,98 + 0,64 + 0,56 + 0,5 = 5,95  6 Lo que significa que el valor esperado en dicha observación es de 6 personas.

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS5 Desviación típica (σ) DESVIACIÓN TÍPICA en una Distribución de Probabilidad Discreta. No difiere ni su nomenclatura ni su cálculo de la desviación típica de una variable estadística. σ = √ Σ (xi - μ) 2. pi En el ejemplo anterior: σ = √ (3-5,95) 2. 0,10 + (4-5,95) 2. 0,13 + (5-5,95) 2. 0,25 + (6-5,95) 2. 0,20 + + (7-5,95) 2. 0,14 + (8-5,95) 2. 0,08 + (9-5,95) 2. 0,06 + (10-5,95) 2. 0,05 = = √ 0,9 + 0,52 + 0,25 + 0 + 0,14 + 0,32 + 0,54 + 0,9 = √ 3,57 = 1,89 COEFICIENTE DE VARIACIÓN en una Distribución de Probabilidad Discreta. Se emplea para comparar la variabilidad entre diferentes distribuciones. CV (x) = σ / μ En el ejemplo anterior:CV =1,89 / 5,95 = 0,31

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS6 Ejemplo 1 1En urna hay 3 bolas blancas y 5 bolas negras. Si sacamos una bola negra pagamos a la banca 5 Euros, pero si es blanca ganamos 10 Euros. ¿ Cuál es la esperanza matemática o valor esperado ?. 2 xipixi – μ(xi – μ).pi -55/8 = 0,625-5,52519,08 103/8 = 0,3759,475 33,66 ∑= 52,74 μ = -5.0,625+10.0,375 = -3,125 + 3,75 = 0,525 Sí jugaría, pues tengo ventaja. s = √ 52,74 = 7,275 CV (x) = 7,275 / 0,525 = 14

7 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS7 Ejemplo 2 2.-Lanzamos dos monedas al aire. Apostamos 5 Euros. Si salen dos caras, volvemos a tirar; si salen dos cruces, nos llevamos 10 Euros; pero si sale una cara y una cruz perdemos lo apostado. ¿ Cuál es la esperanza matemática o valor esperado ?. Xipi - 52/4 = 0,5 01/4 = 0,25 101/4 = 0,25 μ = - 5. 0,5+ 0. 0,25 + 10. 0,25 = -2,5 +0 + 2,5 = 0 Al ser μ = 0 el juego es equitativo, no hay ventaja ni para el jugador ni para la banca,

8 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS8 Ejemplo 3 3.-En una urna hay 2 bolas blancas y 5 bolas rojas. Extraemos una bola y la sustituimos por otra de distinto color. Luego extraemos otra bola. Si el resultado es BB, ganamos 50 Euros; si es BR, ni ganamos ni perdemos; si es RB perdemos 5 Euros; y si es RR perdemos 10 Euros. ) Cuál es la esperanza matemática o valor esperado ?. P(BB) = 2 / 7. 1/ 7 = 2 / 49 = 0,041 P(BR) = 2/ 7. 6 /7 = 12 / 49 = 0,245 P(RB) = 5 / 7. 3 / 7 = 15 / 49 = 0,306 P(RR) = 5 / 7. 4 / 7 = 20 / 49 = 0,408 Xipi 500,041 00,245 - 50,306 - 100,408 μ = 50. 0,041+ 0. 0,245 – 5.0,306 – 10.0,408 = - 3,56 No jugaríamos, pues tenemos desventaja, no es equitativo.

9 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS9 Ejemplo 4 4.-Lanzamos dos dados en forma de tetraedro, uno con las caras numeradas del 0 al 3, y el otro con las caras numeradas del 1 al 4. ¿Cuál es la esperanza matemática o valor esperado de la función que asigna a cada valor de x la suma de resultados?. Xifipixi.pi 010,050 120,100,10 230,150,30 340,200,60 440,200,80 530,150,75 6 20,100,60 7 10,050,35 203,50 X / Y 1234 01234 12345 23456 34567 μ = ∑xi.pi = 3,5

10 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS10 FUNCIÓN DE PROBABILIDAD Se llama función de probabilidad de una variable discreta X a la aplicación que a cada valor xi de la variable le hace corresponder la probabilidad de que la variable tome dicho valor. f(xi) = P(X=xi) En el ejemplo propuesto teníamos: X345678910Xi P(xi)0,100,130,240,200,140,080,060,05f(xi) 3 4 5 6 7 8 9 10 X P(X=xi) 0,05 0,24 0,14 0,10 0,20 FUNCIÓN DE PROBABILIDAD