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1/42 Validación de Series de Números de Pseudoaleatorios Mg. Samuel Oporto Díaz Lima, 8 Noviembre 2005 SIMULACION DE SISTEMAS DISCRETOS.

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1 1/42 Validación de Series de Números de Pseudoaleatorios Mg. Samuel Oporto Díaz Lima, 8 Noviembre 2005 SIMULACION DE SISTEMAS DISCRETOS

2 2/42 Objetivo Exponer los conceptos básicos para realizar pruebas estadísticas de uniformidad y aleatoriedad de series de números pseudoaleatorios. Confirmar el grado confianza en un generador de números pseudoaleatorios.

3 3/42 Tabla de Contenido Pág. 1. Objetivos3Objetivos 2. Antecedentes4Antecedentes 3. Validación de Series de Números Aleatorios8Validación de Series de Números Aleatorios 4. Prueba de Bondad de Ajuste (distribución uniforme)8Prueba de Bondad de Ajuste (distribución uniforme) 4.1. Prueba Ji-Cuadrado12Prueba Ji-Cuadrado 4.2. Prueba Kolmogorov-Smirnov 15Prueba Kolmogorov-Smirnov 5. Prueba de Aleatoriedad (independencia)18Prueba de Aleatoriedad (independencia) 5.1. Prueba de las Series.20Prueba de las Series Prueba de las Distancias23Prueba de las Distancias 6. Conclusiones.26Conclusiones 7. Bibliografía27Bibliografía

4 4/42 Mapa Conceptual del Curso Modelado y Simulación Simulación X Eventos Proyectos Simulación Colas en Serie Colas con un servidor Colas en Paralelo Inventarios Series de Nro. Aleato Validación de Series Generación de VA

5 5/42 Mapa Conceptual Fenómenos Físicos Procedimientos Matemáticos Números Aleatorios Validación de Series de NA Variables U (0,1) Variables Aleatorias Tabla de Nros. aleatorios X i+1 =(aX i +c) mod m

6 6/42 ANTECEDENTES

7 7/42 Antecedentes Generación de Números pseudoaleatorios. X i+1 =(aX i +c) mod m Manual o mecánico.Tabla de Números aleatorios Computador

8 8/42 Antecedentes Métodos para la generación de series de números pseudoaleatorios. –Generadores Congruenciales. –Producto Medio. –Cuadrado Medio.

9 9/42 Antecedentes Propiedades deseables de la serie de números generados. Distribución uniforme.Independientes entre si.

10 10/42 Validación de Series de Números Pseudoaleatorios Probar si una serie de números generados corresponde a una distribución de probabilidad supuesta y probar que los números son independientes entre sí. Prueba de Bondad de Ajuste. –Si cumple una distribución uniforme Prueba de Aleatoriedad. –Si los elementos de la serie son independientes.

11 11/42 PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE

12 12/42 Pruebas de Bondad de Ajuste Probar si una serie de números pertenece a cierta distribución de la probabilidad. En este caso la distribución es uniforme. Prueba de Ji-Cuadrado. Prueba Kolmogorov-Smirnov

13 13/42 Prueba de Bondad de Ajuste H 0, los números están distribuidos uniformemente. H 1, los números no están distribuidos uniformemente. > Prueba Ji-cuadrado Se usa cuando se trabaja con variables nominales (categorías o grupos). Responder la pregunta: si las frecuencias observadas, difiere de la frecuencia esperada.

14 14/42 Prueba Ji-Cuadrado Tomar la serie de N números. Dividir la serie en k intervalos. k N ½ Calcular E i = N/k Calcular O i = (cantidad de #s por intervalo) Calcular Si se acepta H 0 No hay diferencia significativa entre la cantidad de números de cada intervalo

15 15/42 Prueba Ji-Cuadrado kk-1k-2 intervalo frecuencia

16 16/42 Ejemplo N = 64 k = 10 X 2 = 8.50 X 2 (9, 5%) = X 2 < X 2 (9, 5%)

17 17/42 Prueba de Kolmogorov-Smirnov Tomar la serie de N números. Ordenar los números de menor a mayor. Calcular F N (U i ) = i /N Calcular D = max[U i - F N (U i ) ] = max(U i – i/N) Si D < D N,α se acepta H 0 N > 30

18 18/42 Prueba de Kolmogorov-Smirnov D FN (Ui) Ui

19 19/42 Ejemplo i Ui i/N D D = D 64,5% = D < D 64,5%

20 20/42 PRUEBAS DE ALEATEORIEDAD (INDEPENDENCIA)

21 21/42 Prueba de Aleatoriedad (independencia) Probar si los elementos de una serie de números no estas correlacionados. Prueba de las Series. Prueba de las Distancias

22 22/42 Prueba de las series Tomar una muestra de tamaño N Dividir un cuadrado de lado 1 en n 2 celdas. Formar los pares ordenados (U i, U i+1 ), N-1 pares Calcular E ij = (N -1)/n 2 Calcular O ij = (cantidad de # s por celda) Calcular Si se acepta H 0

23 23/42 Prueba de las series 3/n 4/n 1/n 2/n 8/n 1 5/n 7/n 3/n4/n1/n2/n8/n15/n7/n

24 Ejemplo n U1 U X 2 = X 2 (24,5%) = Oij = Oij - Eij = Eij = (Oij – Eij) 2 = Eij N = 64 n = 5 X 2 < X 2 (24, 5%)

25 25/42 Prueba de las distancias Tomar una muestra de tamaño N Elegir α y θ, tal que β = α + θ Definir: PE = θ y PF = 1 – θ Calcular para cada número si o al intervalo. Hueco. Es la cantidad de números aleatorios, en la serie, que no se encuentran en el intervalo α, β, pero se encuentran entre dos números que pertecen al intervalo. αβ θ Є 0.43 Є 0.71 ¢ 0.61 ¢ 0.42 Є 0.31 Є 0.94 ¢ 0.83 ¢ 0.32 Є α = 0.3, β = 0.6, θ = 0.3 i = 0 i = 2 i = 0 P 0 = θ P 1 = (1 - θ)θ P 2 = (1 - θ) 2 θ P i = (1 – θ) i θ P i = (1 – θ) n, i > n

26 26/42 Prueba de las distancias Calcular la tabla. Calcular Si se acepta H0 n n

27 27/42 Ejemplo α = 0.55, β = 0.95, θ = 0.4 X 2 = X 2 (7,5%) = X 2 < X 2 (7, 5%)

28 28/42 Conclusiones Antes de usar un generador de números pseudoaleatorios, se debe probar su distribución uniforme y aleateatoriedad. La prueba de uniformidad, permite determinar si la serie corresponde a una distribución uniforme. La prueba de aleatoriedad permite determinar si los números no están correlacionados. En caso de rechazar algunas de las Ho, se recomienda probar con otra serie de números. Los resultados obtenidos por las pruebas son válidos para series de más de 30 elementos.

29 29/42 Bibliografía Simulación. Métodos y Aplicación. D. Rios, S. Rios y J. Martín Simulación. Sheldom M. Ross da. Edición. Simulación de Sistemas Discretos. J. Barceló. 1996

30 30/42 PREGUNTAS

31 31/42 Samuel Oporto Díaz

32 32/42


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