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ECUACIÓN LINEAL. Introducción: Las ecuaciones son fundamentales en el álgebra. En este capítulo se estudiarán las ecuaciones como una estrategia para.

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1 ECUACIÓN LINEAL

2 Introducción: Las ecuaciones son fundamentales en el álgebra. En este capítulo se estudiarán las ecuaciones como una estrategia para la resolución de problemas. Se definirán las ecuaciones, particularmente las ecuaciones de primer grado en una variable. Luego estudiarás métodos para hallar la solución de una ecuación de primer grado en una variable. Posteriormente estudiarás las proporciones como una igualdad de razones. Las proporciones ayudan a resolver muchas situaciones interesantes, una de ellas son los porcientos. Los porcientos son importantes en todas las áreas y juegan un papel fundamental en la matemática financiera. Finalmente, estudiarás ecuaciones polinómicas de diferente grado y más de una variable. Se prestará especial interés en la expresión de una variable en términos

3 QUÉ ES UNA ECUACIÓN? Una ecuación es una igualdad que solo se cumple para uno o determinados valores de las incógnitas. Una ecuación es una igualdad entre cantidades conocidas, o números, y cantidades desconocidas, o incógnitas ECUACIONES EQUIVALENTES Dos o más ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones

4 Para obtener ecuaciones equivalentes, se podrá transformar la ecuación: Se transforma una ecuación en otra si: 1. A los dos miembros de una ecuación se les suma o resta un número distinto de cero. 2. Multiplicamos o dividimos los dos miembros de una ecuación por el mismo número, distinto de cero. 3. Se puede pasar un término cualquiera de un miembro a otro, cambiándolo de signo.

5 4. Una ecuación no varía si se suprime un factor común a todos sus términos. 5. Se pueden elevar al cuadrado los dos términos de una ecuación, resultando otra que tiene las mismas soluciones que la propuesta.

6 SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DEPRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Para dar solución a una ecuación de primer grado, debemos tener en cuenta: Reducir términos semejantes Quitar denominadores Eliminar paréntesis Simplificar términos, si es posible Transponer términos Despejar la incógnita Hallar el valor de la incógnita.

7 EJEMPLO 1: Resolver la siguiente ecuación lineal:

8 SOLUCIÓN AL EJEMPLO 1 1. Para iniciar la solución, primero quitamos paréntesis, realizando las multiplicaciones indicadas 2. El m.c.m. de 4, 3, 6 y 2 es 12, entonces multiplicamos los dos miembros de la ecuación por el m.c.m. (mínimo común múltiplo)

9 3. Dividimos el m.c.m. entre el denominador y lo multiplicamos por el numerador de cada término. –18X + 16 = 6X Transponemos términos: –18X – 6X = 18 – Reducimos términos semejantes: – 24X = 2 6. Multiplicamos ambos miembros por (–1) para que la incógnita no tenga signo negativo: (–24X) (–1) = 2 (–1) 24X = –2 7. Despejamos la incógnita :

10 Resolver la siguiente ecuación: 7x – (2x–6) = (x+1) – (3x+2) EJEMPLO 2

11 SOLUCIÓN PARA EL EJEMPLO 2 1. Suprimimos signos de agrupación, aplicando la ley de los signos 7X – 2X + 6 = X + 1 – 3X – 2 2. Reducimos términos semejantes en cada miembro: 5X+ 6 = –2X-1 3.Por transposición de términos: 5X + 2X = – 6 –1 4. Volvemos a reducir términos semejantes en cada miembro: y obtenemos: 7x = –7 5. Despejamos x Respuesta:, X = –1

12 EJEMPLO 3 Resolver la siguiente ecuación:

13 SOLUCIÓN PARA EL EJEMPLO 3 1.Para iniciar la solución para esta ecuación, primero realizamos las multiplicaciones indicadas: 2.Ahora vamos a quitar denominadores: para ello se determina el m.c.m. de los denominadores, que en este caso es 9:

14 3. Ahora agrupamos los términos con semejantes. (Recuerda que al pasar un término de un miembro a otro de la ecuación cambia su signo) 6X – 18X = 2 – Realizando las operaciones entre los términos semejantes, obtenemos: –12X = –13 5. Despejamos la X:

15 Resuelve os siguientes ejercicios de ecuaciones con una incógnita, ver el documento: 1. EJERCICIOS ECUACIÓN LINEAL CON UNA INCÓGNITA

16 GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN LINEAL Las gráficas son de gran utilidad en diferentes áreas, como son la física, la química, mediante ellas se puede visualizar el movimiento de una partícula, además, permiten presentar informes nuevos y entendibles en los negocios, la universidad, deportes, administración, etc.

17 Para realizar una gráfica la herramienta principal a utilizar es el PLANO CARTESIANO, el cual es una región determinada por dos rectas que se cortan en forma perpendicular. A estas rectas les damos el nombre de eje horizontal o ABSCISA y eje vertical u ordenada. El punto de corte de esos ejes será el centro u origen del plano. El eje de las abscisas se utiliza para representar el conjunto de elementos correspondientes a la variable independiente y la segunda componente se refiere a la variable dependiente. Para realizar una gráfica la herramienta principal a utilizar es el PLANO CARTESIANO, el cual es una región determinada por dos rectas que se cortan en forma perpendicular. A estas rectas les damos el nombre de eje horizontal o ABSCISA y eje vertical u ordenada. El punto de corte de esos ejes será el centro u origen del plano. El eje de las abscisas se utiliza para representar el conjunto de elementos correspondientes a la variable independiente y la segunda componente se refiere a la variable dependiente.

18 La gráfica correspondiente a una ecuación de primer grado es una línea recta, mientras que las gráficas para ecuaciones de orden superior son curvas; por eso es aconsejable buscar dos puntos para las primeras y seis o más para las demás.

19 Para elaborar una gráfica se sigue el siguiente proceso: 1.Despejar la variable dependiente, algebraicamente es la letra y. 2.Debe confeccionar una tabla de valores (tabular), en el que se asignan valores a la variable independiente; se remplazan en la ecuación con el fin de obtener los respectivos valores para la variable dependiente. Si la ecuación es de primer grado, basta con localizar dos puntos para determinar la gráfica. 3. Ubicar en el plano cartesiano los puntos que se han obtenido en tabulación. Debemos recordar que el signo de los valores de las componentes determina su ubicación Para elaborar una gráfica se sigue el siguiente proceso: 1.Despejar la variable dependiente, algebraicamente es la letra y. 2.Debe confeccionar una tabla de valores (tabular), en el que se asignan valores a la variable independiente; se remplazan en la ecuación con el fin de obtener los respectivos valores para la variable dependiente. Si la ecuación es de primer grado, basta con localizar dos puntos para determinar la gráfica. 3. Ubicar en el plano cartesiano los puntos que se han obtenido en tabulación. Debemos recordar que el signo de los valores de las componentes determina su ubicación

20 a la derecha o a la izquierda, arriba o abajo, según sean positivas o negativas, respectivamente. 4. Unir los puntos ubicados, para obtener la representación gráfica deseada. a la derecha o a la izquierda, arriba o abajo, según sean positivas o negativas, respectivamente. 4. Unir los puntos ubicados, para obtener la representación gráfica deseada.

21 EJEMPLO 1 Graficar la ecuación 3x – 2y = 5 Solución al ejemplo1 De acuerdo con el proceso que hemos descrito, procedemos de la siguiente manera: 1. Se despeja la variable dependiente y: -2y = 5 – 3x De acuerdo con el proceso que hemos descrito, procedemos de la siguiente manera: 1. Se despeja la variable dependiente y: -2y = 5 – 3x

22 Como la ecuación es de primer grado, su gráfica es una línea recta, la cual queda completamente determinada al conocer dos puntos, por esta razón, la tabla siguiente solo contiene dos parejas de valores. Luego, la tabla de valores nos muestra el siguiente aspecto: X1 y -4

23 Localizando los puntos y uniéndolos, obtenemos la línea recta de la siguiente figura: Solución al ejemplo1

24 EJEMPLO 2 Graficar la ecuación y = 2x + 1 Solución al ejemplo1 Tabulando directamente x02 y15

25 SISTEMAS LINEALES

26 DEFINICIÓN Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es un par de expresiones algebraicas que se suelen representar de la siguiente forma: ax + by = p cx + dy = q donde x e y son las incógnitas, a, b, c y d son los coeficientes y p y q son los términos independientes. Un ejemplo de un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas puede ser: x + y = 10 x - y = 2 DEFINICIÓN Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es un par de expresiones algebraicas que se suelen representar de la siguiente forma: ax + by = p cx + dy = q donde x e y son las incógnitas, a, b, c y d son los coeficientes y p y q son los términos independientes. Un ejemplo de un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas puede ser: x + y = 10 x - y = 2

27 Cada una de las ecuaciones que componen el sistema, por separado, tendrían infinitas soluciones, ya que hay infinitas parejas de números que sumen 10 y, por otro lado, infinitos pares de números cuya resta sea 2. Sin embargo, al considerar juntas ambas ecuaciones para formar el sistema, estaremos buscando un par de números (x, y) que cumplan a la vez las dos.

28 Consideremos dos ecuaciones lineales con dos variables cada una, por ejemplo 2x – y = 1 3x + 2y = 5 Estas dos ecuaciones constituyen un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, su solución, si existe, es un valor para x y otro valor para y. Estos dos valores deben satisfacer simultáneamente a ambas ecuaciones, por esto es que se les llama ecuaciones simultáneas. Consideremos dos ecuaciones lineales con dos variables cada una, por ejemplo 2x – y = 1 3x + 2y = 5 Estas dos ecuaciones constituyen un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, su solución, si existe, es un valor para x y otro valor para y. Estos dos valores deben satisfacer simultáneamente a ambas ecuaciones, por esto es que se les llama ecuaciones simultáneas.

29 VALORES QUE SATISFACEN UNA ECUACIÓN 1.Un sistema puede tener una pareja única de valores que la satisfacen (dos rectas secantes en el plano). 2.Pueden tener un conjunto infinito de parejas que satisface al sistema (dos rectas coincidentes), 3.No tener ninguna pareja de números que la satisfacen (dos rectas distintas paralelas). VALORES QUE SATISFACEN UNA ECUACIÓN 1.Un sistema puede tener una pareja única de valores que la satisfacen (dos rectas secantes en el plano). 2.Pueden tener un conjunto infinito de parejas que satisface al sistema (dos rectas coincidentes), 3.No tener ninguna pareja de números que la satisfacen (dos rectas distintas paralelas).

30 MÉTODOS PARA RESOLVER UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Existen varios métodos para resolver estos sistemas. Algunos de ellos son el de REDUCCIÓN, IGUALACIÓN, SUSTITUCIÓN, POR DETERMINANTES. REDUCCIÓN IGUALACIÓN SUSTITUCIÓN DETERMINANTES

31 REDUCCIÓN Este método consiste en multiplicar una de las ecuaciones por un número de modo que en ambas resulte que el coeficiente de una de las variables sea opuesto al de la otra para que al sumarla se reduzca.

32 Hallar la solución para el siguiente sistema: Hallar la solución para el siguiente sistema: EJEMPLO 1:

33 SOLUCIÓN EJEMPLO 1 Para dar solución a nuestro ejemplo1, multiplicaremos la primera ecuación por 2: Para dar solución a nuestro ejemplo1, multiplicaremos la primera ecuación por 2:

34 SOLUCIÓN AL EJEMPLO 1 Para dar solución a nuestro ejemplo multiplicaremos la primera ecuación por 2 y luego sumamos ambas ecuaciones, para obtener: Por lo tanto, si despejamos a X, obtenemos su valor: Sustituimos ahora el valor obtenido de x en cualquiera de las dos ecuaciones: 2(1) – y = = y y = 1 Luego la solución al sistema es x = 1, y = 1.

35 MÉTODO DE SUSTITUCIÓN Para resolver un sistema de ecuaciones lineales por este método, se siguen los siguientes pasos: 1. Se despeja una de las incógnitas en una cualquiera de las ecuaciones. 2. Se sustituye la expresión obtenida en la otra ecuación y se resuelve la ecuación de primer grado en una incógnita que resulta de esta sustitución. 3. Una vez calculada la primera incógnita, se calcula la otra en la ecuación despejada obtenida en el primer paso.

36 NOTA IMPORTANTE La incógnita que se va a despejar en el primer paso puede ser cualquiera y de cualquier ecuación, es mejor, por la facilidad de los cálculos posteriores, hacer una buena elección de ambas, incógnita y ecuación. Es decir que será más fácil operar después si, por ejemplo, se elige una incógnita en una ecuación en la que "no tenga" coeficiente (es decir, que su coeficiente sea 1), ya que, en ese caso, podremos evitar el cálculo con fracciones

37 EJEMPLO Resolver utilizando el método de sustitución el siguiente sistema: Si: en la primera, entonces, sustituyamos este valor en la segunda ecuación,, para obtener los siguientes resultados: Sumando los términos semejantes, y despejando, obtenemos:

38 MÉTODO DE IGUALACIÓN Para dar solución a un sistema utilizando este método, debemos seguir los siguientes pasos: 1. Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones. 2. Se igualan las expresiones obtenidas. 3. Se resuelve la ecuación lineal que resulta. 4. Se sustituye la solución obtenida en cualquiera de las expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita

39 EJEMPLO Resolver utilizando el método de igualación el siguiente sistema: 1.Despejando la variable y en ambas ecuaciones, obtenemos: 2.Igualando las ecuaciones 3 y 4, obtenemos que:

40 Al multiplicar en cruz por 3 del denominador, obtenemos que: 9 - 6x = -5 + x Realizando transposición de términos: pasamos – 6x a la derecha y – 5 a la izquierda, también aplicamos ley de signos, obtenemos: -7x = -14 Ahora despejamos a X: Entonces si x = 2 y = (2) y = - 1

41 MÉTODO GRÁFICO Igual que en los métodos anteriores, hay que seguir algunas pautas, como son: 1. Se despeja la incógnita y en las dos ecuaciones. 2. Se representan en los mimos ejes de coordenadas las dos rectas así obtenidas. 3. El punto (a, b) donde se cortan ambas rectas es la solución del sistema: x = a, y = b.

42 Despejando a y de la ecuación 1y 2, obtenemos: Ahora graficamos las dos ecuaciones, recordemos que debemos darle valores a la variable independiente, x, para hallar el valor de y, por lo que vamos a construir nuestra tabla de valores:

43 x-3 6 y9- 9 Tabla de valores para: x- 48 y- 31 La gráfica será la siguiente:

44 Gráfica para el sistema

45 Mediante cualquiera de los métodos relacionados anteriormente, se obtiene un sistema equivalente al dado y que, por tanto, tendrá las mismas soluciones que el primitivo y según el tipo de solución, el sistema puede presentar: una única solución, el sistema recibe el nombre de SISTEMA COMPATIBLE. Si tiene múltiples soluciones, recibe el nombre de SISTEMA INDETERMINADO. Si no tiene solución, recibe el nombre de INCOMPATIBLE

46 TALLER NÚMERO DOS: Sistema de dos ecuaciones lineales

47 SISTEMAS DE ECUACIONES CON TRES (O MÁS) INCÓGNITAS DEFINICIÓN. Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones. El método general de resolver sistemas de ecuaciones consiste en encontrar otro sistema equivalente de más fácil resolución.

48 SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES POR EL METODO DE GAUSS El método de Gauss para la resolución de sistemas lineales se puede considerar como un generalización del de reducción (para los sistemas con dos incógnitas). En esencia consiste en hacer, al sistema de ecuaciones lineales, determinadas transformaciones elementales a fin de obtener un sistema escalonado, más fácil de resolver.

49 EJEMPLO Resolvamos el sistema el sistema

50 SOLUCIÓN Para iniciar la solución al sistema multiplicamos la 1ª ecuación por 2 y se la restamos a la segunda: Ahora debemos cambiar (Permutamos) las ecuaciones 2ª y 3ª:

51 Ahora, multiplicamos la 1ª ecuación por 5 y se la sumamos a la 2ª: Ya se ha conseguido un sistema escalonado ahora para resolverlo se procede (de abajo arriba): z = -11, por lo tanto, 4x = (-11) x =27, a y la obtenemos sustituyendo estos dos valores en la ecuación 1ª ; y = -9 – , y = - 30.

52 SOLUCIÓN POR DETERMINANTE Determinante se representa como A = Este se calcula de la siguiente manera: det A = a·d – b·c Si tenemos un sistema de ecuaciones como este: a 1 x + b 1 y = c1 a 2 x + b 2 y = c 2 Para hallar los valores de x e y se procede de la siguiente forma:

53 Para ilustrar este método resolvamos el sistema: Resolvemos el determinante para x:

54 Ahora resolvemos el determinante para y: El punto de intersección de las rectas dadas es (4, 2), que corresponde a las solución del sistema

55 APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES

56 INTRODUCCIÓN Estudiadas las ecuaciones lineales y los sistemas de ecuaciones lineales, el objetivo que nos guía ahora es darle aplicabilidad al planteamiento y solución a los sistemas de ecuaciones lineales, en problemas de la vida real. Esta adaptabilidad a situaciones típicas, permite darle un sentido más práctico y objetivo al uso de los sistemas de ecuaciones de primer grado.

57 PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN POR ECUACIONES SIMULTÁNEAS ESTRATEGIAS DE SOLUCIÓN RECOMENDADAS 1.Leer cuidadosamente el problema, varias veces si es necesario, hasta entenderlo perfectamente, de tal manera que se identifiquen los datos y se establezca lo que se pide. 2.Hacer un bosquejo, en la medida que sea posible, donde se señalen los valores conocidos y desconocidos.

58 3. Buscar fórmulas o expresiones literales que correlacionen las cantidades conocidas con las desconocidas, llamadas también incógnitas. 4. Una vez planteado el sistema de ecuaciones, decidir el método de solución a emplear 5. Comprobar la solución. Como ayuda, presentamos, algunas pautas que pueden ayudar a la solución de problemas verbales, según el lenguaje de las matemáticas: ver el documento word, PAUTAS PARA INTERPRETAR EL LENGUAJE DE LA MATEMATICA.

59 Por presumir de certero un tirador atrevido se encontró comprometido en el lance que os refiero: Y fue, que ante una caseta de la feria del lugar presumió de no fallar ni un tiro con la escopeta, y el feriante alzando el gallo un duro ofreció pagarle por cada acierto y cobrarle a tres pesetas el fallo. Dieciséis veces tiró el tirador afamado al fin dijo, despechado por los tiros que falló: "Mala escopeta fue el cebo y la causa de mi afrenta pero ajustada la cuenta ni me debes ni te debo". Y todo el que atentamente este relato siguió podrá decir fácilmente cuántos tiros acertó. Rafael Rodríguez Vidal. Enjambre matemático SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES


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