JOSE DEL CARMEN AROCHA LUNA

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INSTITUTO TECNICO AGROPECUARIO DE CHINACOTA MATEMATICAS FUNCION JOSE DEL CARMEN AROCHA LUNA

Funciones, Gráficos y Límites. Cálculo Diferencial Cálculo Integral
INSTITUTO TECNICO AGROPECUARIO DE CHINACOTA PROGRAMA DE ESTUDIO 25. Saberes Funciones, Gráficos y Límites. Cálculo Diferencial Cálculo Integral

1. Estrategias Metodológicas Búsqueda de fuentes de información
INSTITUTO TECNICO AGROPECUARIO DE CHINACOTA 1. Estrategias Metodológicas Búsqueda de fuentes de información Consulta, lectura, síntesis e interpretación Opinión acerca del uso y valor del conocimiento. 2. Apoyos educativos. * Antologías, Libros, Artículos publicados, revistas especializadas, programas de computo.

3. Evaluación del desempeño * Ejercicios planteados en clase.
INSTITUTO TECNICO AGROPECUARIO DE CHINACOTA 3. Evaluación del desempeño * Ejercicios planteados en clase. * Ejercicios extra clase. * Tres exámenes parciales ** Entrega oportuna. ** Presentación ** Claridad del proceso

4. Fuentes de Información: * ARYA, Jagdish C. Lardner. Robin W.
INSTITUTO TECNICO AGROPECUARIO DE CHINACOTA 4. Fuentes de Información: * ARYA, Jagdish C. Lardner. Robin W. Matemáticas Aplicada * Haeussler, Ernest F. Jr. Matemáticas para administración, Eco.. * Miller, Charles D. Heeren Matemática, Razonamiento y Aplicación

CALENDARIO DE EXPERIENCIAS
INSTITUTO TECNICO AGROPECUARIO DE CHINACOTA CALENDARIO DE EXPERIENCIAS MAYO INVESTIGACIÒN TEORICA y EXPOSICIÓN RESOLUCIÓN EJERCICIOS EJERCICIOS Y RESOLUCION. 23 EXAMEN 30 INTRODUCCIÓN TEMA III- EJEMPLOS RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS 20 EJERCICIOS Y RESOLUCIÓN. 27 EXAMEN. EVALUACIÓN DE INSTRUMENTOS . FIN DE CURSO MAYO 17. PRESENTACIÓN EE . e INDUCCIÓN A LA FORMA DE TRABAJO 23 INTRODUCCIÓN TEMA I- EJEMPLOS Y EJERCICIOS EN CLASE. INVESTIGACIÒN TEORICA y EXPOSICIÒN RESOLUCION EJERCICIOS EJERCICIOS Y RESOLUCION 18 EXAMEN INTRODUCCIÓN TEMA II- EJEMPLOS Y EJERCICIOS EN CLASE

FUNCIONES, GRÀFICOS Y LÌMITES
INSTITUTO TECNICO AGROPECUARIO DE CHINACOTA UNIDAD I FUNCIONES, GRÀFICOS Y LÌMITES

FUNCIONES, GRÀFICOS Y LÌMITES
INSTITUTO TECNICO AGROPECUARIO DE CHINACOTA FUNCIONES, GRÀFICOS Y LÌMITES

¿Qué son las funciones? INSTITUTO TECNICO AGROPECUARIO DE CHINACOTA
Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. “Dos variables X y Y están asociadas de tal forma que al asignar un valor a X entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a Y, se dice que Y es una función (unívoca) de X. La variable X, a la que se asignan libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la variable Y, cuyos valores dependen de la X, se llama variables dependientes. Los valores permitidos de X constituyen el dominio de definición de la función y los valores que toma Y constituye su recorrido".

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Funciones Una función es la relación entre dos conjuntos llamados Dominio y Co-dominio, donde a cada elemento del dominio se le asigna exactamente un elemento en el co-dominio. La función asocia a cada valor de x un único valor de y. y x y x 1 2 3 4 -2 -1 4 -1 4 3 -5 Función NO Función

Funciones x f(x) INSTITUTO TECNICO AGROPECUARIO DE CHINACOTA Dominio
Co-Dominio x f(x) f(a) a f(b) b f(c) c d f(d) Nota: al Co-dominio también se le conoce como alcance, rango, recorrido o amplitud

¿Dónde se ocupan? INSTITUTO TECNICO AGROPECUARIO DE CHINACOTA
Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas y Generalmente se hace uso de las funciones reales, aún cuando el ser humano no se da cuenta. Las funciones son de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria en cualquier área donde haya que relacionar variables. tales como: *El valor del consumo mensual de agua potable que depende del número de metros cúbicos consumidos en el mes. * El costo de una llamada telefónica que depende de su duración. *La estatura de un niño que depende de su edad, etc.

POLINOMICAS INSTITUTO TECNICO AGROPECUARIO DE CHINACOTA
TIPOS DE FUNCIONES POLINOMICAS ALGEBRAICAS RACIONALES RADICALES FUNCIONES EXPONENCIALES TRASCENDENTES LOGARITMICAS TRIGONOMETRICAS

Funciones Algebraicas En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación Las funciones algebraicas pueden ser: Funciones explícitas Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución. f(x) = 5x - 2 Funciones implícitas Si no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones. 5x - y - 2 = 0

Funciones Algebraicas Función lineal: La función lineal (función polinomial de primer grado) es de la forma y = f (x) = ax + b; a y b son números dados; el dominio y contradominio es el conjunto de todos los números reales. La gráfica de cualquier función lineal es una línea recta. La a representa la pendiente de la recta y b, el intercepto con el eje y (u ordenada en el origen). Como ya mencionamos antes, el intercepto con el eje y, es b; para hallar el intercepto con el eje x (o abscisa en el origen), se iguala la ecuación de la función a 0 y se despeja el valor respectivo para x.

Funciones Lineales 1. y = x. S o l u c i ó n : 2. y = -2x 3. y = x + 2 4. y = x - 3

Funciones constantes: El criterio viene dado por un número real. f(x)= k La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas. Funciones valor absoluto: El criterio viene dado por un número real. f(x)= x La gráfica es una v. Funciones polinómicas : Son las funciones que vienen definidas por un polinomio. f(x) = a0 + a1 x + a1 x² + a1 x³ +··· + an xn Su dominio es R , es decir, cualquier número real tiene imagen.

Funcion valor absoluto
INSTITUTO TECNICO AGROPECUARIO DE CHINACOTA Funcion valor absoluto y x x -2 -1 1 2 2 1 Funcion constante

Funciones racionales Una función racional es aquella que puede expresarse como el cociente de dos funciones polinomiales. Esto es, una función racional es de la forma los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador, Q(x) = 0. Funciones radicales El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical. El dominio de una función irracional de índice impar es R. El dominio de una función irracional de índice par está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.

Funciones trascendentes
INSTITUTO TECNICO AGROPECUARIO DE CHINACOTA Funciones trascendentes La variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría. Función exponencial Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia ax se llama función exponencial de base a y exponente x. Funciones logarítmicas La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.

Función cuadrática

S o l u c i o n e s INSTITUTO TECNICO AGROPECUARIO DE CHINACOTA

Funciones trigonométricas Función seno f(x) = sen x Función coseno f(x) = cosen x Función tangente f(x) = tg x Función cosecante f(x) = cosec x Función secante f(x) = sec x Función cotangente f(x) = cotg x

¿Cuándo una gráfica no corresponde a una función? De las dos gráficas que se muestran a continuación, la de la izquierda corresponde a una función y la derecha no. En ésta a cada valor de la variable independiente X, le corresponde un único valor imagen de la variable dependiente Y En ésta hay algunos valores de la variable X a los que corresponden más de un valor de la variable Y. Lo que contradice la definición de función.

MATEMÀTICAS APLICADAS
INSTITUTO TECNICO AGROPECUARIO DE CHINACOTA Dominio Se llama dominio de definición de una función f, y se designa por Dom f, al conjunto de valores de x para los cuales existe la función, es decir, para los cuales podemos calcular y = f(x). En la función que tiene por expresión algebraica y = 2x +1 podemos dar a la variable x el valor que queramos y con ello obtener un correspondiente valor de y. (EVALUAR) Decimos que en este caso dicha función está definida en todo R (conjunto de los números reales). MATEMÀTICAS APLICADAS

Sin embargo la función y = 1/x no permite calcular el correspondiente valor de y para todos los valores de x. En este caso el valor x=0 no puede ser del dominio de la función. (EVALUAR) Cuando una función se nos presenta a través de su gráfica, simplemente con proyectar sobre el eje de abscisas dicha gráfica conseguimos el dominio de definición. Esto es porque cualquier valor de x del dominio tiene su correspondiente imagen y por ello le corresponde un punto de la gráfica. Y éste punto es el que al proyectar la misma sobre el eje Ox nos incluye ese valor dentro del dominio.

En el ejemplo vemos coloreado de azul el dominio. En este caso tenemos que Dom f = (-∞, 2) U (2, 7]

EJEMPLOS FUNCIONES POLINÓMICAS: Son aquellas cuya expresión algebraica es un polinomio; es decir, las funciones polinómicas, tienen como dominio de definición todo el conjunto de los números reales: R f(x)= 3x5- 8x + 1; D(f) = R g(x)= 2x + 3; D(g) = R h(x)=½ ; D(h) = R

INSTITUTO TECNICO AGROPECUARIO DE CHINACOTA FUNCIONES RACIONALES: Si la función es racional, esto es que su expresión es un cociente de dos polinomios, nos va a plantear el problema de tener que excluir del dominio las raíces del polinomio denominador. Por ejemplo: I) Resolvemos la ecuación x2- 9 = 0; y obtenemos x1 = +3 y x2 = -3. Por lo tanto D(f) = R \ {+3, -3} MATEMÀTICAS APLICADAS

II) Resolvemos la ecuación x2+ 1 = 0; y nos encontramos que no tiene solución. No se han encontrado valores que anulen el denominador. y por lo tanto no tenemos que excluirlos del dominio. Por lo tanto D(f) = R.

FUNCIONES IRRACIONALES: Funciones irracionales son las que vienen expresadas a través de un radical que lleve en su radicando la variable independiente. Si el radical tiene índice impar, entonces el dominio será todo el conjunto R de los números reales porque al elegir cualquier valor de x siempre vamos a poder calcular la raíz de índice impar de la expresión que haya en el radicando. Si el radical tiene índice par, para los valores de x que hagan el radicando negativo no existirá la raíz y por tanto no tendrán imagen .

II) I) Resolvemos la inecuación x2- 25 > 0; y obtenemos (x + 5)·(x - 5) >0 R nos queda dividido en tres zonas y probamos en cuál de ellas se da que el signo del radicando sea positivo. Resolvemos la inecuación x +1 > 0; ==> x > -1; x+1 es una expresión positiva si x pertenece al intervalo [-1, +∞). Por lo tanto D(f) = [-1, +∞). Por lo tanto D(g) = (-∞, -5] U [+5, +∞)

¿En que se traduce esto? En tener que excluir de las zonas donde el radicando sea positivo los extremos -2 y +4. III) Resolvemos la inecuación x2- 2x - 8 > 0; y obtenemos (x + 2)·(x - 4) >0; Observar que la inecuación se plante con desigualdad estricta, esto es porque el radicando está en un denominador y por lo tanto no puede valer 0. Por lo que: R nos queda dividido en tres zonas. Y estudiando el signo del radicando obtenemos el dominio: D(h) = (-∞, -2) U (+4, +∞)

E J E R C I C I O S

Obtén el dominio de definición de los gráficos

Calcula el dominio de las funciones que se dan a continuación:
INSTITUTO TECNICO AGROPECUARIO DE CHINACOTA Calcula el dominio de las funciones que se dan a continuación:

INSTITUTO TECNICO AGROPECUARIO DE CHINACOTA LIMITE MATEMATICO En matemáticas, se usa el concepto del límite para describir la tendencia de una sucesión o una función. La idea es que en una sucesión o una función, al hablar de límite, decimos que tiene uno si se puede acercar a un cierto número (o sea, el límite) tanto como queramos. Se usa el límite en cálculo (por lo que también se usa en el análisis real y matemático) para definir convergencia, continuidad, derivación, integración, y muchas otras cosas. MATEMÀTICAS APLICADAS

Límite de una función Informalmente, decimos que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a p, y escribimos Esta definición se llama frecuentemente la definición épsilon-delta del límite.

Variaciones de una función. Si x1<x2 => f(x1)<f(x2)
INSTITUTO TECNICO AGROPECUARIO DE CHINACOTA Variaciones de una función. Crecimiento-Decrecimiento de la función y Máximos y mínimos. 1.Crecimiento y Decrecimiento. Un determinado parásito se reproduce dividiéndose en dos cada segundo. La función que determina el número de parásitos que hay en cada segundo de tiempo que transcurre es la representada a la derecha. Al aumentar el valor de la variable x, también aumenta el valor de la variable y. Esto es una función es estrictamente creciente. Si x1<x2 => f(x1)<f(x2)

Al aumentar el valor de la variable x, ahora disminuye el valor de la variable y o imagen. Esto es que la función es estrictamente decreciente. Si x1<x2 => f(x1)>f(x2)

El estudio del crecimiento-decrecimiento de una función, lo haremos por intervalos del dominio, indicando en cuáles es creciente y en cuáles decreciente. A partir de la gráfica se ve claro el crecimiento-decrecimiento de una manera intuitiva, pero siempre mirándola de izquierda a derecha que es como va aumentando la variable independiente x.

2.Máximos y mínimos relativos. Debido a cambios que vemos en algunas funciones, que en determinados puntos del eje de abscisas pasan de crecer a decrecer o viceversa nos aparecen los extremos relativos (máximos relativos y mínimos relativos). Una función f tiene un máximo relativo en el punto x0 del eje de abscisas si la función pasa de ser creciente a la izquierda de x0 a ser decreciente a la derecha de x0. Es decir, f tiene en x0 un máximo relativo si f(x0) > f(x) para cualquier x de un entorno cercano a x0.

La función representada tiene en 2; un máximo relativo. Una función f tiene un mínimo relativo en el punto x0 del eje de abscisas si la función pasa de ser decreciente a la izquierda de x0 a ser creciente a la derecha de x0. Es decir, f tiene en x0 un mínimo relativo si f(x0) < f(x) para cualquier x de un entorno cercano a x0.

Aquí vemos que en x=2 hay un mínimo relativo, la función pasa de ser decreciente a creciente Una función puede tener varios extremos relativos, de entre ellos, si existe, llamaremos máximo absoluto al valor x0 que cumpla f(x0) > f(x) para cualquier x del dominio, y análogamente llamaremos mínimo absoluto, si existe, al valor x0 que cumpla f(x0) < f(x) para cualquier x del dominio.

CONTESTA: *El crecimiento de la función es igual entre las 6 y las 7 que entre las 7 y las 8? *Indica los tramos en los que la función es decreciente y los tramos en los que es creciente. *¿En qué tramo no hay variación en el número de viajeros?¿Cómo dirías que es la función en ese tramo? *¿En qué momento hubo un número máximo de viajeros? Observa en esta gráfica que el número de viajeros en una línea de autobuses ha ido en aumento entre las 6y las 8 de la mañana.

CONTESTA *¿Cuándo crece el nivel de ruido? *¿Cuándo decrece? *Indica los instantes de tiempo en los cuales la intensidad del ruido es máxima o mínima La siguiente gráfica nos muestra el nivel de ruido que se produce en un cruce de grandes avenidas de una ciudad:

Simetrías Observa la gráfica . La parte de la curva a la izquierda del eje Oy es la imagen reflejada de la que está a la derecha del eje. Esto es que la función es simétrica respecto del eje Oy o simétrica par. Una función es simétrica respecto al eje Oy (eje de ordenadas) si cumple que f(x) = f(-x) para cualquier x del dominio. Esto se conoce como simetría par de la función f. La función aquí representada es y = x2. Es obvio que x2 = (-x)2.

En cambio ésta muestra como la rama de la izquierda del eje vertical es el reflejo de la de la derecha, pero no respecto a este eje, sino respecto al origen de coordenadas. Ahora la función es simétrica respecto al origen, o sea, simetría impar. Una función es simétrica respecto al origen de coordenadas si cumple que f(x) = - f(-x) para cualquier x del dominio. Esto se conoce como simetría impar de la función f. Ahora la función representada es y = x3+x; (-x)3+(-x) = - x3-x

Continuidad Para que nos hagamos una idea, una función continua en todo su dominio sería aquella que se puede dibujar de un sólo trazo sin levantar el lápiz del papel. Por ejemplo la dibujada a continuación: Pero la mayoría de las funciones van a presentar discontinuidades, o sea, van a ser continua sólo en algunos "trozos" de su dominio y en los límites de éstos presentarán discontinuidades

INSTITUTO TECNICO AGROPECUARIO DE CHINACOTA Discontinuidad de salto finito. Se presentará una discontinuidad de salto finito en un valor x = a, cuando en la gráfica observemos una separación o salto entre dos trozos de la función que pueda medirse. Esto es debido a que la tendencia de la función a la izquierda del punto x = a es diferente de la que tiene a la derecha. MATEMÀTICAS APLICADAS

Discontinuidad de salto infinito. Cuando en un punto de la curva observamos que la tendencia a la izquierda o a la derecha (o ambas) es a alejarse al infinito (más infinito o menos infinito), entonces nos encontramos con una discontinuidad de salto infinito en el punto a.

Discontinuidad evitable. Si nos encontramos que la continuidad de la gráfica se interrumpe en un punto donde no hay imagen, o la imagen está desplazada del resto de la gráfica, tendremos una discontinuidad evitable en el punto a. Aquí la tendencia de la función a la izquierda de a y a la derecha de a sí coincide, sin embargo es f(a) el valor que no coincide con dicha tendencia o que ni siquiera existe.

ACTIVIDADES: 1. Analiza la simetría de estas funciones: y = x y = 2x + 1 y = x y = x4 2. Indica si; en alguna de las funciones que se presentan a continuación existe algún tipo simetría, continuidad, etc….

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Otras características de las funciones. Concavidad-convexidad. Diremos que una función es CÓNCAVA si su gráfica queda por encima de las rectas tangentes a cada uno de sus puntos. Diremos que una función es CONVEXA si su gráfica queda por debajo de las rectas tangentes a cada uno de sus puntos

Cuando tengan tramos de una clase y de otra. Los puntos del dominio donde se produzcan esos cambios de concavidad a convexidad o viceversa serán los que llamaremos PUNTOS DE INFLEXIÓN: Como puedes comprobar, la curva se repite cada cierto intervalo del eje de abscisas, a esto llamamos periodicidad.

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