MODELOS DE HETEROCEDASTICIDAD CONDICIONAL

Presentación del tema: "MODELOS DE HETEROCEDASTICIDAD CONDICIONAL"— Transcripción de la presentación:

1 MODELOS DE HETEROCEDASTICIDAD CONDICIONAL
Dr. Luís Miguel Galindo

2 “I was interestedin measuring the response of economic agents to uncertainty using time series data, bat recognized that if the variance was constant, the response was unidentified”. Robert. F. Engle (1995)

3 Características de las series económicas: Tienen tendencia.
INTRODUCCIÓN: Características de las series económicas: Tienen tendencia. Tienen persistencia. Muestran variabilidad en el tiempo. Existen datos extremos asociados. Dr. Galindo

4 Características de las series financieras:
INTRODUCCIÓN: Características de las series financieras: Son leptokurticas (achatadas y con colas más gordas) Las relaciones entre ganancia y riesgo no son lineales La volatilidad aparece en clusters Leverage effect: la volatilidad es mayor con una caída de la variable Dr. Galindo

5 Volatilidad histórica se estima con la varianza
INTRODUCCIÓN: Forward looking behaviour requiere pronosticar adecuadamente la volatilidad y el riesgo de un activo La volatilidad no es una serie observable en el momento t, se requieren datos históricos para estimar la volatilidad Volatilidad histórica se estima con la varianza Dr. Galindo

6 Una opción para estimar la volatilidad histórica es:
INTRODUCCIÓN: Una opción para estimar la volatilidad histórica es: Exponantiall y Weigted Moving Average Models (EWMA) que es una extensión del promedio histórico pero haciendo que las observaciones más recientes tengan un mayor peso Dr. Galindo

7 INTRODUCCIÓN: Pronósticos ARMA: Dr. Galindo

8 Características de la volatilidad de los activos financieros:
INTRODUCCIÓN: Características de la volatilidad de los activos financieros: La volatilidad viene en clusters La volatilidad cambia en el tiempo La volatilidad no crece sin cota y se mantiene dentro de ciertos rangos La volatilidad reacciona asimétricamente a un aumento o disminución del precio Dr. Galindo

9 HISTORIA: Engle R. en LSE en 1979: la respuesta de los agentes económicos al riesgo El riesgo de un activo se puede igualar a su varianza y la ganancia esperada depende de ese nivel de riesgo (ARCH-M) Respuesta: la función de maximaverosimilitud puede descomponerse en sus densidades condicionales Dr. Galindo

10 HISTORIA: ARCH  AR aunque parece más un MA ya que la varianza condicional es un MA de los residuales al cuadrado GARCH  ARMA EGARCH incluye el log de la varianza condicional para flexibilizar la estimación y permitir efectos asimétricos Dr. Galindo

11 La media condicional de yt: (2)
SINTESIS GENERAL: AR(1): (1) La media condicional de yt: (2) Dr. Galindo

12 La varianza condicional de yt (3)
SINTESIS GENERAL: La media condicional cambia en el tiempo (la media no condicional no cambia) La varianza condicional de yt (3) Dr. Galindo

13 Engle (1982) propone el siguiente modelo del término de error:
SINTESIS GENERAL: Engle (1982) propone el siguiente modelo del término de error: (4) Dr. Galindo

14 La media no condicional de et:
SINTESIS GENERAL: La media no condicional de et: (5) Dr. Galindo

15 La varianza no condicional de et:
SINTESIS GENERAL: La varianza no condicional de et: (6) Dr. Galindo

16 La media condicional de et:
SINTESIS GENERAL: La media condicional de et: (7) Dr. Galindo

17 La varianza condicional et:
SINTESIS GENERAL: La varianza condicional et: (8) Dr. Galindo

18 MODELO GENERAL: Modelo general: incluye una variable independiente que ayuda a predecir la volatilidad (1) Dr. Galindo

19 Con xt constante  yt es ruido blanco con varianza constante
MODELO GENERAL: Con xt constante  yt es ruido blanco con varianza constante Con xt variable  la varianza condicional de yt+1es: La autocorrelación de xt permite explicar periodos de volatilidad en la secuencia de yt El cuadrado de la serie (después de eliminar autocorrelación) tiene patrones de autocorrelación Dr. Galindo

20 VARIANZA CONDICIONAL E INCONDICIONAL (PRONÓSTICO)
(1) Dr. Galindo

21 VARIANZA CONDICIONAL E INCONDICIONAL (PRONÓSTICO)
(1) El pronóstico un paso adelante: Media condicional de: (1.1) Dr. Galindo

22 VARIANZA CONDICIONAL E INCONDICIONAL (PRONÓSTICO)
Media no condicional: (1.2)  Las mejoras en los pronósticos provienen de utilizar modelos con media condicional (Engle, 1982) Dr. Galindo

23 VARIANZA CONDICIONAL E INCONDICIONAL (PRONÓSTICO)
Varianza no condicional: (2.1) Dr. Galindo

24 VARIANZA CONDICIONAL E INCONDICIONAL (PRONÓSTICO)
Aprovechando que Entonces: (2.1) Dr. Galindo

25 VARIANZA CONDICIONAL E INCONDICIONAL (PRONÓSTICO)
(3.1) Manteniendo fijo a yt-1 la única fuente de variación es Dr. Galindo

26 VARIANZA CONDICIONAL E INCONDICIONAL (PRONÓSTICO)
ARCH: (4) (4.1) (4.2) Dr. Galindo

27 Para asegurarse que ht es positivo:
MODELO GENERAL AR(1): (5.1) (5.2) Para asegurarse que ht es positivo: Dr. Galindo

28 La varianza condicional :
MODELO GENERAL La varianza condicional : (6.1) Dr. Galindo

29 MODELO GENERAL (6.2) La varianza condicional de una variable et distribuida normalmente con media cero es igual al valor esperado del cuadrado de et Dr. Galindo

30 MODELO GENERAL la autocorrelación de la volatilidad se obtiene permitiendo que la varianza condicional del término de error dependa del calor anterior (7) Dr. Galindo

31 Modelo general: ARCH (q):
(8.1) (8.2) Dr. Galindo

32 Posible rescribirlo como: (8.4)
MODELO GENERAL Extensión: (8.3) Posible rescribirlo como: (8.4) Dr. Galindo

33 MODELO GENERAL (9.1) (9.2) (9.3) Dr. Galindo

34 Los et tienen media cero La varianza condicional esta dada por
PROPIEDADES DEL ARCH Los et tienen media cero La varianza condicional esta dada por La varianza no condicional es: Las autocovarianzas son iguales a cero Dr. Galindo

35 PROPIEDADES DEL ARCH (10.1) (10.2) Dr. Galindo

36 PROPIEDADES DEL ARCH (10.3) (10.4) Dr. Galindo

37 PROPIEDADES DEL ARCH (10.5) (10.6) Dr. Galindo

38  La varianza condicional depende de et-1
PROPIEDADES DEL ARCH La media y la varianza no condicional no se ven afectadas por la varianza condicional  La varianza condicional depende de et-1 Dr. Galindo

39 2. es siempre no-negativo
MODELO GENERAL: Para que la varianza sea positiva se imponen las siguientes restricciones: 1. es siempre no-negativo  el incremento de hace que la varianza de yt aumente Dr. Galindo

40 3.  proceso estacionario
MODELO GENERAL:  proceso estacionario para un cuarto momento finito (Ángel, 1982 Teorema 1) Dr. Galindo

41 1.La selección del número de rezagos (q)
MODELO GENERAL: 1.La selección del número de rezagos (q) Forma simple: Arbitraity lineaty declining lag leagth 2.Las restricciones negativas no se corrigen Dr. Galindo

42 y de la varianza pronosticada previa
Bollersler (1986): El GARCH permite que la varianza condicional dependa de sus propios rezagos (11) Es posible interpretar a la varianza pronosticada actual (ht) como una función ponderada del valor promedio (α0), de la volatilidad del periodo previo y de la varianza pronosticada previa Dr. Galindo

43 Bollersler (1986): El término de error es: (11.1) Dr. Galindo

44 En la práctica GARCH(1,1): (12.1) Despejando: (12.2)
Dr. Galindo

45 IGARCH:  efecto persistente
La varianza actual depende de todas las perturbaciones anteriores elevadas al cuadrado IGARCH:  efecto persistente Dr. Galindo

46 El modelo GARCH puede interpretarse como un ARMA: (13.1)
(13.2) Substituyendo en la varianza condicional: Dr. Galindo

47 GARCH: (13.3) Reordenando: (13.4)  ARMA(1,1) Dr. Galindo

48 El GARCH (1,1) es un modelo parsimonioso: (14.1)
(14.2) (14.3) Dr. Galindo

49 GARCH: Sustituyendo en (14.1): (14.4) (14.5) Dr. Galindo

50 GARCH: Substituyendo a : (14.6) Reordenando: (14.7) Dr. Galindo

51 Substituciones recursivas: (14.8)
GARCH: Substituciones recursivas: (14.8)  (14.9) Dr. Galindo

52 Con  unit root variance
GARCH: (15) Con  unit root variance IGARCH Dr. Galindo

53 xt =ARMA o variable exógenas αt es la varianza condicional de et
GARCH: (15.1) (15.2) xt =ARMA o variable exógenas αt es la varianza condicional de et El proceso GARCH (ecuación (15.2) es la varianza condicional de la ecuación de la media Dr. Galindo

54 no es la varianza condicional directamente (15.3)
GARCH: no es la varianza condicional directamente (15.3) (15.4) Dr. Galindo

55 PROPIEDADES DEL GARCH:
(15.5) Media de et: (15.6) Dr. Galindo

56 PROPIEDADES DEL GARCH:
Varianza de et: (15.7) Varianza no condicional (15.8) Dr. Galindo

57 PROPIEDADES DEL GARCH:
Como: (15.9) (15.10) La varianza condicional: (15.11)  La varianza condicional no es constante Dr. Galindo

58 PRUEBAS ARCH - GARCH: Prueba de normalidad: (16.1) (16.2)
et es difícil que se distribuya como normal es probablemente leptokurtica de (16.1): (16.3) Dr. Galindo

59 PRUEBAS ARCH - GARCH: Es común que sea leotokurtica aunque menos que et  El GARCH captura parte de este efecto Las estimaciones serán consistentes si las ecuaciones están correctamente especificadas Sin embargo se requieren las desviaciones estándar calculadas por Balleislew y Wooldridg (1991) con quasi – maximain likelihoot (QML), algunos programas aceptan una distribución t en el GARCH (Enders) Dr. Galindo

60 1.Calcula la varianza muestral de los residuales de:
PRUEBAS ARCH - GARCH: El ARCH esta modelado como una función de los errores al cuadrado rezagados (17.1) Correlograma: 1.Calcula la varianza muestral de los residuales de: (17.2) Dr. Galindo

61 2.Calcula las correlaciones muéstrales del cuadrado de los residuales:
PRUEBAS ARCH - GARCH: 2.Calcula las correlaciones muéstrales del cuadrado de los residuales: (17.3) Dr. Galindo

62 Rechazo de H0 implica rechazar que no existe ARCH o GARCH
PRUEBAS ARCH - GARCH: 3.Calcular LB: (17.4) Rechazo de H0 implica rechazar que no existe ARCH o GARCH Dr. Galindo

63 PRUEBAS ARCH - GARCH: LM para ARCH: H0: Pasos: 1.Estimar
2.Obtener las et de OLS 3.Regrasión Auxiliar: Dr. Galindo

64 PRUEBAS ARCH - GARCH: 4. 5.Versión f: f(q,T-q-1) ρ=1 q=1 GARCH(ρ,q)
Dr. Galindo

65 ARCH – M – GARCH – M: Engle, Lilien y Robins (1987) incluyeron dentro del ARCH la Posibilidad de que la varianza condicional afecta a la media La hipótesis es que los inversionistas que son adversos al riesgo requieren compensación por tener un activo riesgoso Dr. Galindo

66 Se forma mayor riesgo y se espera una mayor ganancia
ARCH – M – GARCH – M: Se forma mayor riesgo y se espera una mayor ganancia La ganancia esta, en parte, determinada por riesgo La varianza condicional se incluye en la ecuación de la media condicional Dr. Galindo

67 μt = risk premium necesario para inducir la tendencia del activo
ARCH – M – GARCH – M: ARCH-M: (18) yt = exceso de ganacias μt = risk premium necesario para inducir la tendencia del activo et = error Dr. Galindo

68 El exceso de ganancias equivale al risk premium: (18.1)
ARCH – M – GARCH – M: El exceso de ganancias equivale al risk premium: (18.1) El risk premium es una función creciente de la varianza condicional de et Dr. Galindo

69 ARCH – M – GARCH – M: El risk premium con ht definida como la varianza condicional de et se expresa como: (18.2) ARCH(q): (18.3) Dr. Galindo

70 ARCH – M – GARCH – M: GARCH – M: (18.4) (18.5) δ = risk premium
Dr. Galindo

71 Posible utilizar en (18.4): 1. 2. 3.
ARCH – M – GARCH – M: con δ>0  Un aumento del riesgo dado por un aumento de la varianza condicional conduce a una umento de la media Posible utilizar en (18.4): 1. 2. 3. Dr. Galindo

72 MODELOS DE HETEROCEDASTICIDAD CONDICIONAL
Dr. LUIS MIGUEL GALINDO