Ing. Miguel Angel Niño Zambrano

Ing. Miguel Angel Niño Zambrano
Análisis Básico de sistemas de Control – Ecuaciones de Espacio - Estado Ing. Miguel Angel Niño Zambrano Objetivo de la Presentación Estas diapositivas no pretenden ser un curso de control. Recoge los elementos básicos del mismo y se enfoca en su análisis a través de ecuaciones de Espacio – Estado.

Definiciones y Conceptos de Control
Generalidades Definiciones y Conceptos de Control

Generalidades Ej. Vehículos Espaciales, Sistemas de Guía, Sistemas piloto automático, etc. James Watt – Regulador Centrifujo. Minorsky, Hazen y Nyquist. Teoría de Control Clásica (Univariables) vs. Teoría de Control Moderna (Multivariables – Estados en el Tiempo). Control Optimo, Adaptación y Aprendizaje Minorky (1922): Trabajó en controladores automáticos de dirección de barcos y mostró como se podía calcular la estabilidad a través de ecuaciones diferenciales que describen el sistemas. Nyquist (1932): Desarrolló un procesamiento relativamente simple para determinar la estabilidad de los sistemas de lazo cerrado. Hazen (1934): Introdujo el término de servomecanismos para los sistemas de control de posición.

Glosario Variable Controlada (Salida del Sistema)
Variable Manipulada (Entrada del Sistema). Control (valor medio vs. Valor deseado). Plantas (Objeto físico a controlarse) Procesos (Operación a controlar) Sistemas Perturbaciones (afecta la salida del sistema) Control Retroalimentado (Operación -> perturbaciones -> Reducir Salida vs Entrada de Referencia) 1)La variable controlada es la cantidad o condición que se mide y controla. 2)La variable Manipulada es la cantidad o condición modificada por el controlador, a fin de afectar la variable controlada. 3) El control significa medir el valor de la variable controlada del sistema y aplicar al sistema la variable manipulada para corregir o limitar la desviación del valor medio, respecto al valor deseado. 4) Una perturbación es una señal que tiene a afectar adversamente el valor de la salida de un sistema. Puede ser generada dentro del sistema (interna) o puede ser por fuera del sistema (externa). 5) La entrada de Referencia es utilizada para compararla con la salida y con base en la diferencia el controlador decide cómo modificar la variable manipulada.

Glosario Sistemas de Control retroalimentado (Mantener relación entre Salida vs. Entrada de Referencia) Servosistemas o Servomecanismos (SCR ->Salida = Control Mecánico (velocidad o aceleración)). Sistemas de Regulación Automática (SCR ->Entrada Ref. o Salida son Constantes – Mantener la salida en el valor deseado). Sistemas de Control de Procesos (SRA – Salida (Temperatura, Presión, flujo. Ph, etc.) vs. Cronograma establecido) 1) Los SCR no se limitan a la ingeniería, sino también en sistemas biológicos, financieros, etc. Estos sistemas pueden o no tener como parte del controlador un humano.

Glosario Sistemas de Control de Lazo Cerrado (SCR). Variaciones no previsibles. Sistema de Control de Lazo Abierto (Salida no tiene efecto en el control Ej. Lavadora *- Calibración). Sistemas en los que se conoce bien las entradas y salidas sin perturbaciones. SCLA vs. SCLC (Componentes imprecisos, Estabilidad, Costo = f(Potencia)). Sistemas de Control Adaptables (Ajustes en el controlador, Características dinámicas). Sistemas de Control de Aprendizaje. En los Sistemas de Control de Lazo Cerrado – SCLC, el uso de la retroalimentación hace que la respuesta del sistema sea relativamente insensible a perturbaciones externas y a variaciones internas de parámetros del sistema. La estabilidad en los Sistemas de Control de lazo Abierto – SCLA es más facil de lograr, ya que en él la estabilidad no es un problema importante. En los SCLC si es un problema por la tendencia a sobrecorregir errores que pueden producir oscilaciones de amplitud constante o variable. La potencia de la salida determina el tamaño, peso y costo de un sistema de control.

Clasificación de los Sistemas de Control
S.C. Lineales vs. No Lineales. S.C. Invariantes en el Tiempo (Parámetros constantes) vs. Variable en el Tiempo (Ej. Aceleración Vehículo espacial). S.C. Tiempo Continuo vs. Tiempo Discreto. S.C. Una Entrada una Salida vs. Múltiples Entradas y Múltiples Salidas. S.C. Parámetros Concentrados vs. Distribuidos. S.C. Determinísticos vs. Estocásticos Si la extensión de las variaciones de las variables del sistema no es amplia, el sistema puede linealizarse dentro de un rango relativamente estrecho de valores de las variables. Para sistemas lineales se aplica el principio de superposición. En aquellos sistemas en los que no es posible aplicar el principio de Superposición son No Lineales. Los sistemas de control que pueden describirse mediante ecuaciones diferenciales ordinarias, son sistemas de control con parámetros concentrados, al contrario, los sistemas de control con parámetros distribuidos se describen con ecuaciones diferenciales parciales. Un sistema de control es determinístico si la respuesta a la entrada es predecible y repetible, de lo contrario es estocástico.

Ejemplos: Sistema de Control de Velocidad

Ejemplos: Sistema de Control de Robot

Ejemplo: Control del Brazo del Robot

Ejemplo: Sistema de Control de la Fuerza de Agarre de la mano de un Robot

Ejemplo: Control Numérico de una máquina

Ejemplo: Sistema de Control de Temperatura de Un Horno

Ejemplo: Sistema de Control de Temperatura de un Auto

Otros Ejemplos Sistemas de Control de Tráfico
Sistemas Biológicos (Ecuaciones de Volterra ampliadas) Sistemas de Control de Inventario Sistemas Empresariales

Elementos Básicos del Diseño de Sistemas de Control
Requisitos Generales de los Sistemas de Control Todo Sistema de Control debe ser Estable. (absoluta vs. Relativa), velocidad de respuesta, reducir errores razonablemente. Teoría de Control Moderna (TCM) vs. Teoría del Control Clásico (TCC). La TCC utiliza extensamente la función de transferencia. Realiza el análisis en el dominio de s y/o el dominio de la frecuencia. LA TCM se basa en el concepto de Espacio de Estado, utiliza extensamente el análisis vectorial - Matricial

La TCC Brinda buenos resultados para sistemas de control de una entrada y una salida, siendo inútil para sistemas de múltiples entradas y salidas. LA TCM es buena para sistemas con Múltiples entradas y m múltiples salidas. La TCC utiliza los métodos de control convencional (PID, Lugar de Raíces, Respuestas de Frecuencia), están basados más en la comprensión física que matemática. La TCM utiliza más métodos (Espacio de Estados) con fuerte análisis matemático, siendo más difíciles de entender que el clásico

Modelado Matemático Componentes de un SC (Electromecánicos, hidráulicos, neumáticos, electrónicos, etc.), los cuales se reemplazan con modelos matemáticos. No deben ser muy complicados ni muy simples, representando los elementos esenciales de tal forma que sus predicciones sean bastante precisas. Se deben tener en cuenta los isomorfismos. En Ingeniería del Control se usan ecuaciones diferenciales parciales invariantes en el tiempo, funciones de transferencia y ecuaciones de estado para modelos matemáticos de sistemas lineales invariantes en el tiempo. Las relaciones entradas- salida no lineales se linealizan en la vecindad de los puntos de operación.

Análisis y Diseño de sistemas de Control. Análisis: La investigación bajo condiciones específicas del comportamiento de un sistema, cuyo modelo matemático se conoce. Análisis de respuesta transitoria: La determinación de respuesta de una planta a señales y perturbaciones de entrada. Análisis de Respuesta en Estado Estacionario: La determinación de la respuesta tras la desaparición de la respuesta transitoria. Diseño: Hallar un sistema que cumpla la tarea dada. Síntesis: Encontrar, mediante un procedimiento directo, un sistema de control que se comporte de un modo específico.

Método básico de diseño de Control. Es necesaria la utilización de procedimientos de tanteo, por las diversas perturbaciones en los sistemas los cuales incluyen no linealidades Índice de Comportamiento: Es una medida cuantitativa del comportamiento, que indica la desviación respecto al comportamiento ideal. Se determina por los objetivos del S.C. Ej. Integral de error a minimizar. Ley de Control: La especificación de la señal de control durante el intervalo de tiempo de tiempo operativo. Se busca determinar la ley de control óptimo.

Pasos de Diseño Dada una planta industrial, primeramente se deben elegir sensores y actuadores a apropiados. Construir Modelos Matemáticos apropiados de la planta. Diseñar un controlador de tal modo que el sistema de lazo cerrado satisfaga las especificaciones dadas. El controlador es una solución a la versión matemática del problema de diseño. Simular el modelo en una computadora para verificar el comportamiento del sistema, en respuesta a diversas señales y perturbaciones. Con los resultados de simulación se debe rediseñar el sistema y completar el análisis correspondiente. Construir un prototipo del sistema físico. Probar el Prototipo hasta cumplir con los requisitos.

Representación de Sistemas Dinámicos en Espacio de Estados
Modelado Matemático Representación de Sistemas Dinámicos en Espacio de Estados

Modelos Mentales Lingüísticos Gráficos Matemáticos Software
son representaciones presentes en nuestro cerebro; tenemos, por ejemplo, una representación mental de nuestro cuerpo que nos permite controlarlo para caminar, saltar, etc. Modelos lingüísticos: son representaciones con palabras; este párrafo, por ejemplo intenta explicar con palabras qué es el sistema denominado modelo lingüístico Modelos gráficos: en ocasiones empleamos tablas y/o gráficas como modelos; los catálogos de productos de ingeniería suelen contener muchos ejemplos de este tipo de modelo. Modelos matemáticos: estos modelos son ampliamente usados en áreas como la física, la ingeniería, la economía, etc.; generalmente se trata de ecuaciones que muestra las relaciones existentes entre las variables que afectan un sistema; Modelos de software: en ocasiones es posible desarrollar programas de computador que representen a sistemas complejos.

Construcción de los Modelos Matemáticos
Modelamiento de Sistemas: Esta estrategia consiste en descomponer (abstractamente) el sistema en subsistemas más simples, cuyos modelos sean factibles de obtener gracias a la experiencia previa. Una vez obtenidos estos submodelos, se buscan las relaciones que existen entre ellos, para interconectarlos y obtener el modelo del sistema original. Esta estrategia busca una descripción desde adentro del sistema, generalmente basada en el conocimiento de las leyes que rigen los sistemas simples. El modelo así obtenido se conoce como Modelo de Caja Blanca Identificación de Sistemas: Esta estrategia consiste en acumular un número suficiente de observaciones sobre las señales de entrada y salida del sistema, con el propósito de emplearlas para construir un modelo del mismo. No se centra en lo que existe al interior del sistema, sino el su comportamiento respecto al entorno. El modelo asi obtenido se conoce como Modelo de Caja Negra Estrategia híbrida: Existe una tercera estrategia, que realmente es una combinación de las anteriores: Al igual que en la estrategia de Modelamiento, se emplea el conocimiento que esté a la mano acerca de la estructura interna del sistema y las leyes que rigen su comportamiento, y se emplean observaciones para determinar la información que haga falta. El modelo así obtenido se conoce como Modelo de Caja Gris

Modelos Matemáticos De acuerdo con lo presentado la figura, en este curso se emplearán modelos matemáticos causales, dinámicos, determinísticos, de parámetros concentrados, lineales, invariantes en el tiempo, y de tiempo continuo . Para un sistema continuo de una única entrada y una única salida, el modelo empleado corresponde a una ecuación diferencial ordinaria de coeficientes constantes:

Conceptos Matemáticos Preliminares
Propiedades de la Transformada de Laplace. Método Operacional para resolver ecuaciones diferenciales lineales (EDL). La EDL se transforma en una operación algebraica en función de una variable compleja s, se resuelve la f(s) y luego se aplica la transformada inversa de Lapalace. Laplace se puede utilizar en técnicas de análisis gráfico para predecir el funcionamiento del sistema sin resolver las EDL. Resolviendo las EDL se obtienen componentes de estado transitorio y estacionario en la solución simultáneamente.

Variables Complejas y Función Compleja. Las funciones complejas en análisis de control son univaluadas. La condición de Cauchy – Riemman permite establecer si una funciòn compleja G(s) es analitica en una regiòn dada. La derivada de una función analítica se puede obtener, sólo con diferenciar G(s) con respecto a s. Los Puntos en el Plano s, dónde: G(s) es analítica se llaman puntos ordinarios. G(s) no es analítica se llaman puntos singulares. G(s) y la derivada de G(s) tiende al infinito se llaman polos múltiples. G(s) es igual a cero se llaman ceros.

Teorema de Euler

Transformada de Laplace Para hallar la transformada inversa no siempre es fácil aplicar la integral. Se utilizan métodos basados en las tablas de Laplace y división en fracciones parciales. La c de la función inversa es una constante real llamada abscisa de convergencia la cual es mayor que las partes reales de todos los puntos singulares de F(s).

Aplicar Laplace a las funciones: (Ejemplo)

Función de Transferencia
Permite caracterizar las relaciones entre la entrada y la salida de componentes o de sistemas que pueden describirse por ecuaciones diferenciales lineales, invariantes en el tiempo. Def.:La función de transferencia de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales invariante en el tiempo, se define como la relación entre la transformada de Laplace de salida (función respuesta) y la transformada de Laplace de Entrada (función excitación), bajo la suposición que todas las condiciones iniciales son cero.

Utilizando este concepto de función de transferencia, se puede representar la dinámica de un sistema por ecuaciones algebraicas en s. Si la potencia más alta de s en el denominador de la función de transferencia es igual a n, se dice que el sistema es de orden n. El concepto de función de transferencia esta limitado a sistemas de ecuaciones diferenciales lineales invariantes en el tiempo. La FT es un método operacional apara expresar la ecuación diferencial que relaciona la variable de salida con la variable de entrada. La FT es una propiedad de un sistema en sí, independiente de la magnitud y naturaleza de la entrada o función impulsora.

La FT incluye las unidades necesarias para relacionar la entrada con la salida: no obstante, no brinda ninguna información con respecto a la estructura física del sistema. Si se conoce la FT de un sistema, se puede estudiar la salida o respuesta para diversas formas de entradas con el objetivo de lograr una comprensión de la naturaleza del sistema. Si se Conoce la FT de un sistema, se puede establecer experimentalmente introduciendo entradas conocidas y estudiando la respuesta o salida del sistema, brindando la descripción de las características dinámicas del sistema.

Sistema de Representación de un Sistema de Control
Diagrama de bloques: + G(s) x y=G(s)*x - Señales Bloque Funcional Punto de Suma Punto de Bifurcación Diagrama de Bloques: Es una representación gráfica de las funciones realizadas por cada componente y del flujo de las señales. Bloques funcionales: Es un símbolo de la operación matemática que el bloque produce a la salida, sobre la señal que tiene a la entrada. Los bloques tienen las funciones de transferencia. La flechas indican el flujo de las señales. Magnitud de Salida: Es la señal de entrada al bloque, multiplicada por la magnitud de la función de transferencia en el bloque. Ventajas de la Representación por Diagramas de Bloques: Es fácil tomar el DB general de todo el sistema, colocando simplemente los bloques de sus componentes de acuerdo con el flujo de señales y en que es posible evaluar la contribución de cada componente al comportamiento general de todo el sistema. Un DB representa el componente dinámico de un sistema, mas no su componente físico. Punto de Suma: Si hay un + la señal debe sumarse, si hay un – la señal debe restarse. Estas cantidades deben tener las mismas dimensiones y unidades. Punto de Bifurcación: Es un punto desde el cual la señal desde un bloque va concurrentemente a otros bloques o puntos de suma. G(s) + - R(s) E(s) C(s) R(s) E(s) C(s) + - G(s) B(s) H(s) Diagrama de Bloques de un Sistema de Lazo Cerrado

Funciones de Transferencia del Ejemplo anterior
Función de Transferencia De Lazo Abierto: Función de Transferencia Directa: Función de Transferencia De Lazo Cerrado: Función de Transferencia de Lazo Abierto: Relación entre la señal de retroalimentación y la señal de error. Función de Transferencia Directa: Relación entre la Salida y la Señal de Error. Función de Transferencia de Lazo Cerrado: Relación entre la Salida y la Entrada del sistema. La salida del sistema depende de la función de transferencia y de la naturaleza de la entrada del sistema. Función de Transferencia De Lazo Cerrado con Amplificación De la Señal de Entrada K:

Representación de un SLC sometido a perturbación
Se pueden considerar las respuestas de las entradas por separado y luego sumarlas. Perturbación N(s) R(s) + - E(s) G1(s) C(s) + G2(s) + B(s) H(s)

Representación de un SLC sometido a perturbación
1)Cualquier sistema de lazo cerrado con retroalimentación unitario H(s) = 1, tiende a igualar la entrada con la salida.

Procedimientos para trazar un Diagrama de Bloques
Escribir las ecuaciones que describen el comportamiento dinámico de cada componente. Tomar las transformadas de Lapace de éstas ecuaciones, suponiendo condiciones iniciales cero. Cada transformada se representa individualmente en forma de Bloque. Se integran los elementos en un Diagrama de Bloques completo. Reducción de Diagramas de Bloques Los bloques se pueden conectar en serie solamente si la salida de un bloque no es afectada por el bloque inmediato siguiente. Si hay cualquier efecto de carga entre los componentes es necesario combinar estos bloques en un bloque individual. Cualquier cantidad de bloques en cascada que representen componentes que no producen efecto de carga se pueden representar como un bloque individual, siendo la función de transferencia en este bloque simplemente el producto de la funciones de transferencia individuales. Es posible simplificar un diagrama de bloque muy complejo, con muchos lazos de retroalimentación, modificando paso a paso, utilizando las reglas del álgebra de bloques.

Conversión de Diagramas de Bloques
Suma de Señales: Conexión en Cascada: = Conexión en Paralelo:

Conversión de Diagramas de Bloques
Retroalimentación: = Traslado del Sumador: Traslado del Punto de Salida:

Ejemplo 1: DB de Circuito
- C ei e0 i + Laplace:

Ejemplo 1: DB Circuito Ei(s) E(s) I(s) + - 1/R I(s) E0(s) 1/Cs E0(s)
(1) (2) Ei(s) E(s) I(s) E0(s) + - 1/R 1/Cs E0(s) (3)

Método del Espacio de Estados
Teoría de Control Moderna (1960) Concepto de Estado. Teoría de Control Moderna vs. Teoría de Control Clásica. Multivariable vs. Una entrada una Salida Dominio en el tiempo vs. Dominio en Frecuencia Complejas. Estado: Es el conjunto más pequeño de variables (de Estado) tales que el conocimiento de esas variables en t=t0, conjuntamente con el conocimiento de la entrada para t >= t0, determinan completamente el comportamiento del sistema en cualquier tiempo t >= t0. Variables de Estado: Son las variables que constituyen el conjunto más pequeño de variables que determinan el estado de un sistema dinámico.

Vector de Estado: Si se requieren n variables para describir el comportamiento de un sistema dado, se puede considerar a esas n variables como elementos de un vector X. Determinando el estado del sistema dado una entrada U(t) t>=0. Espacio de Estado: Espacio n-dimensional cuyos ejes coordenados, consiste en el eje X1, X2, … Xn,. Ecuaciones de Espacio de Estado: Se manejan tres tipos de variables (Entrada, Salida, Estado) SISO MIMO

Las ecuaciones empleadas son de primer orden, que operan sobre vectores de estado: u es un vector que contiene cada una de las p entradas al sistema, y es un vector que contiene cada una de las q salidas del sistema, x es un vector que contiene cada una de las n variables de estado del sistema, es decir:

Estudiaremos sistemas dinámicos lineales invariantes en el tiempo, de múltiples entradas y múltiples salidas. Si el sistema es continuo, su modelo corresponderá a las ecuaciones Matriciales: Ecuación de Estado A = Matriz de Estado B = Matriz de Entrada C = Matriz de Salida D = Matriz de Transmisión Directa Ecuación de Salida Las Matrices deben ser de tamaño adecuado:

Función de Transferencia De un Integrador

Ejemplo 1: Sistema Eléctrico – Circuito RLC
Aplicando la Leyes de Kirchhoff:

Organizando las ecuaciones: En forma matricial:

Se desea estudiar el comportamiento de Vr(t) e IL(t), sabiendo que Vr(t) = IL*R: La representación variable estado del circuito RLC: Las matrices son:

Ejemplo 2:Motor Eléctrico Controlado por campo
Motor de corriente continua controlado por campo, con corriente de armadura Constante. Mueve una carga J, Coeficiente de fricción viscosa B con velocidad angular w(t). La ecuación es:

Las Ecuaciones son: Matricialmente:

Representación 1 Espacio Estado: Salida w(t) Representación 1 Espacio Estado: Variables de estado T(t) y W(t)

Representación Espacio Estado a Partir de Ecuaciones Diferenciales – Salida sin derivadas
Método sencillo para sistemas SISO: El sistema queda unívocamente determinado si se conocen las condiciones Iniciales, así:

Representación Espacio Estado a Partir de Ecuaciones Diferenciales – Salida sin derivadas
Así, puede escribirse la ED como: Matricialmente:

Representación Espacio Estado a Partir de Ecuaciones Diferenciales – Salida con derivadas
Colocar método aquí

Relación entre Funciones de Transferencia y Variables de estado
Sistemas SISO la función de transferencia es: Donde A, B, C y D son matrices de: I es la matriz idéntica correspondiente Ejemplo: Se tiene de un Sistema Mecánico las siguientes matrices:

Relación entre Funciones de Transferencia y Variables de estado
Se debe tener en cuenta que: A-1 = (1/det(A))*(Adj(A))T Dónde: det(a) es el Determinante de la matriz A Adj(a) es la matriz adjunta de A AT es la matriz transpuesta de A La funciona de transferencia para un sistema de m salidas con R entradas tendremos como resultado una matriz de M x R de transferencia. La función de transferencia debe ser igual al cálculo de la ecuación diferencial a través de Laplace.

Controlabilidad Se dice que el estado Xi es controlable en t0 cuando es posible transformar el estado inicial Xi(t0) en el estado deseado Xi(tf) en un tiempo finito, por medio de la selección apropiada de las entradas t en el intervalo [t0,tf]. Si todos los estados del sistema son controlables en t0, se dice que el sistema es “completamente controlable” en t0.

Observabilidad Se dice que el estado Xi es observable en t0 cuando conocido el valor del estado Xi en el tiempo tf, la salida del sistema en el tiempo tf, y conocidas las entradas en el intervalo de tiempo [t0, tf], se puede establecer en forma única cuál era el valor del estado Xi en el tiempo t0. Si todos los estados del sistema son observables en t0, se dice que el sistema es “completamente observable” en t0.

Técnicas para determinar la Controlabilidad y la Observabilidad
La Controlabilidad de un sistema depende de las matrices A y B de la representación matricial del modelo. Un sistema invariante en el tiempo y con valores característicos de A no repetidos es completamente controlable, si y solo si, no hay fila cero en la matriz : M: Matriz Modal de A El mismo sistema será completamente observable si no hay columnas cero en la matriz

Bibliografía

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