Envolvente convexa Parte 1: Algoritmos

Envolvente convexa Parte 1: Algoritmos
Tema 1 Envolvente convexa Parte 1: Algoritmos

Definiciones Un conjunto es convexo si el segmento uniendo cualquiera dos de sus puntos está contenido en él.

Definiciones Envolvente convexa de un conjunto: menor convexo que lo contiene. O, equivalentemente, la intersección de todos los convexos que contienen al conjunto.

Considere todos los conjuntos convexos que lo contienen y elija el menor de todos ellos.

O bien, calculando la intersección de todos ellos.

Pero, ningún ordenador puede manejar infinitos conjuntos....

Eso se resuelve con puntillas y una goma elástica

Observación 1: La envolvente convexa es un polígono convexo con vértices en puntos del conjunto.
Observación 2: Describir la secuencia en orden de los vértices es describir la envolvente. Observación 3: Selección ordenada de subconjuntos.

Definiciones Aplicaciones:
Lo interesante suele ocurrir dentro de la envolvente. Es más fácil (rápido) mover un convexo.

Algoritmos: Puntos extremos
Sea S un conjunto de n puntos. Punto extremo de S: no está contenido en ningún triángulo con vértices en puntos de S.

Los puntos extremos son los vértices de la envolvente convexa. ¿Cuánto nos cuesta encontrar todos los puntos extremos?

Para cada punto de S, comprobar si está dentro de algún triángulo con vértices puntos de S: SÍ: No es vértice de la envolvente. NO: Es vértice de la envolvente convexa. Para cada punto de S comprobar si está dentro de algún triángulo. n puntos, O(n3) triángulos, O(n4) operaciones.

También podemos buscar las aristas extremas (unen dos puntos de S y dejan a todo el conjunto a un mismo lado de la recta que definen). Para cada par de puntos de S ver si la arista es extrema. O(n2) pares, O(n) por comprobación O(n3) operaciones.

Inciso: ¿Cómo sabemos si un punto está dentro de un triángulo, o si un punto está a un lado u otro de una recta? Mediante un determinante

Q ¿A qué lado de la recta PQ está R? A partir de sus coordenadas construimos el determinante p1 p2 1 |A|= q1 q2 1 r1 r2 1 P R Interpretación geométrica: Vamos de P a Q, y luego de Q a R. Si: |A|>0: Giro a la izquierda. |A|<0: Giro a la derecha.

Q ¿M está dentro o fuera del triángulo? M Si al recorrer el triángulo (en el sentido de las agujas del reloj) hacemos 3 giros a la derecha, entonces M está en el interior. P R ¡Ojo! esto sólo vale para convexos .

Algoritmos: Quickhull
Punto Norte (mayor coordenada y) Este Oeste Sur

Los puntos en el rectángulo definido por estos cuatro puntos no son vértices de la envolvente.

Buscamos el punto más alejado a cada uno de los segmentos y lo incorporamos.

Repetimos el proceso en cada nuevo segmento hasta completar la envolvente.

En el peor de los casos necesitaremos O(n2) operaciones.

Algoritmos: Marcha de Jarvis
Buscamos el punto Sur y a partir de él giramos una semirrecta

Buscamos el punto Sur y a partir de él giramos una semirrecta hasta encontrar el siguiente punto de la envolvente.

Repetimos el proceso hasta volver al punto de partida.

Coste: Buscar el siguiente punto: O(n) Hay que repetirlo n veces en el peor de los casos. Número de operaciones: O(n2)

En realidad el tiempo de ejecución es: O(nh), siendo h el número de puntos de la envolvente. Es un algoritmo output sensitive.

Algoritmos: Scan de Graham
1.- Escogemos un punto cualquiera.

1.- Escogemos un punto cualquiera Ordenamos los demás puntos angularmente con respecto a dicho punto.

1.- Escogemos un punto cualquiera Ordenamos los demás puntos angularmente con respecto a dicho punto:L 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

1.- Escogemos un punto cualquiera Ordenamos los demás puntos angularmente con respecto a dicho punto:L 3.- A los tres primeros puntos les ponemos las etiquetas I M F 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

1.- Escogemos un punto cualquiera Ordenamos los demás puntos angularmente con respecto a dicho punto:L 3.- A los tres primeros puntos les ponemos las etiquetas I M F M 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 I F

1.- Escogemos un punto cualquiera Ordenamos los demás puntos angularmente con respecto a dicho punto:L 3.- A los tres primeros puntos les ponemos las etiquetas I M F 4.- Si el ángulo IMF es positivo I=siguiente(I) M=siguiente(M) F=siguiente(F) M 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 I F

1.- Escogemos un punto cualquiera Ordenamos los demás puntos angularmente con respecto a dicho punto:L 3.- A los tres primeros puntos les ponemos las etiquetas I M F 4.- Si el ángulo IMF es positivo I=siguiente(I) M=siguiente(M) F=siguiente(F) I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 F M

1.- Escogemos un punto cualquiera. 2.- Ordenamos los demás puntos angularmente con respecto a dicho punto:L 3.- A los tres primeros puntos les ponemos las etiquetas I M F 4.- Si el ángulo IMF es positivo I=siguiente(I) M=siguiente(M) F=siguiente(F) Si IMF es negativo: borramos M de L I=anterior(I) M=I F=F I 2 F M 1 4 3 5 13 6 11 10 7 9 12 8

1.- Escogemos un punto cualquiera. 2.- Ordenamos los demás puntos angularmente con respecto a dicho punto:L 3.- A los tres primeros puntos les ponemos las etiquetas I M F 4.- Si el ángulo IMF es positivo I=siguiente(I) M=siguiente(M) F=siguiente(F) Si IMF es negativo: borramos M de L I=anterior(I) M=I F=F M 2 F I 1 4 3 5 13 6 11 10 7 9 12 8

1.- Escogemos un punto cualquiera. 2.- Ordenamos los demás puntos angularmente con respecto a dicho punto:L 3.- A los tres primeros puntos les ponemos las etiquetas I M F 4.- Si el ángulo IMF es positivo I=siguiente(I) M=siguiente(M) F=siguiente(F) Si IMF es negativo: borramos M de L I=anterior(I) M=I F=F I 2 M 1 4 3 F 5 13 6 11 10 7 9 12 8

1.- Escogemos un punto cualquiera. 2.- Ordenamos los demás puntos angularmente con respecto a dicho punto:L 3.- A los tres primeros puntos les ponemos las etiquetas I M F 4.- Si el ángulo IMF es positivo I=siguiente(I) M=siguiente(M) F=siguiente(F) Si IMF es negativo: borramos M de L I=anterior(I) M=I F=F 2 I 1 4 3 M F 5 13 6 11 10 7 9 12 8

1.- Escogemos un punto cualquiera. 2.- Ordenamos los demás puntos angularmente con respecto a dicho punto:L 3.- A los tres primeros puntos les ponemos las etiquetas I M F 4.- Si el ángulo IMF es positivo I=siguiente(I) M=siguiente(M) F=siguiente(F) Si IMF es negativo: borramos M de L I=anterior(I) M=I F=F 2 1 4 3 I M 5 13 6 11 F 10 7 9 12 8

1.- Escogemos un punto cualquiera. 2.- Ordenamos los demás puntos angularmente con respecto a dicho punto:L 3.- A los tres primeros puntos les ponemos las etiquetas I M F 4.- Si el ángulo IMF es positivo I=siguiente(I) M=siguiente(M) F=siguiente(F) Si IMF es negativo: borramos M de L I=anterior(I) M=I F=F 2 I 1 4 3 M 5 13 6 11 F 10 7 9 12 8

1.- Escogemos un punto cualquiera. 2.- Ordenamos los demás puntos angularmente con respecto a dicho punto:L 3.- A los tres primeros puntos les ponemos las etiquetas I M F 4.- Si el ángulo IMF es positivo I=siguiente(I) M=siguiente(M) F=siguiente(F) Si IMF es negativo: borramos M de L I=anterior(I) M=I F=F 2 1 4 3 I 5 13 6 11 M 10 7 9 12 F 8

1.- Escogemos un punto cualquiera. 2.- Ordenamos los demás puntos angularmente con respecto a dicho punto:L 3.- A los tres primeros puntos les ponemos las etiquetas I M F 4.- Si el ángulo IMF es positivo I=siguiente(I) M=siguiente(M) F=siguiente(F) Si IMF es negativo: borramos M de L I=anterior(I) M=I F=F 2 1 4 3 5 13 6 11 I F 10 7 9 12 M 8

1.- Escogemos un punto cualquiera. 2.- Ordenamos los demás puntos angularmente con respecto a dicho punto:L 3.- A los tres primeros puntos les ponemos las etiquetas I M F 4.- Si el ángulo IMF es positivo I=siguiente(I) M=siguiente(M) F=siguiente(F) Si IMF es negativo: borramos M de L I=anterior(I) M=I F=F 2 1 4 3 5 13 6 11 M F 10 7 9 12 I 8

1.- Escogemos un punto cualquiera. 2.- Ordenamos los demás puntos angularmente con respecto a dicho punto:L 3.- A los tres primeros puntos les ponemos las etiquetas I M F 4.- Si el ángulo IMF es positivo I=siguiente(I) M=siguiente(M) F=siguiente(F) Si IMF es negativo: borramos M de L I=anterior(I) M=I F=F 2 1 4 3 5 13 6 11 I F 10 7 9 12 M 8

1.- Escogemos un punto cualquiera. 2.- Ordenamos los demás puntos angularmente con respecto a dicho punto:L 3.- A los tres primeros puntos les ponemos las etiquetas I M F 4.- Si el ángulo IMF es positivo I=siguiente(I) M=siguiente(M) F=siguiente(F) Si IMF es negativo: borramos M de L I=anterior(I) M=I F=F 2 1 4 3 5 F 13 6 11 M 10 7 9 12 I 8

1.- Escogemos un punto cualquiera. 2.- Ordenamos los demás puntos angularmente con respecto a dicho punto:L 3.- A los tres primeros puntos les ponemos las etiquetas I M F 4.- Si el ángulo IMF es positivo I=siguiente(I) M=siguiente(M) F=siguiente(F) Si IMF es negativo: borramos M de L I=anterior(I) M=I F=F 2 1 4 3 M 5 13 6 11 F I 10 7 9 12 8

1.- Escogemos un punto cualquiera. 2.- Ordenamos los demás puntos angularmente con respecto a dicho punto:L 3.- A los tres primeros puntos les ponemos las etiquetas I M F 4.- Si el ángulo IMF es positivo I=siguiente(I) M=siguiente(M) F=siguiente(F) Si IMF es negativo: borramos M de L I=anterior(I) M=I F=F 2 1 4 3 5 13 6 11 M F 10 7 9 12 I 8

1.- Escogemos un punto cualquiera. 2.- Ordenamos los demás puntos angularmente con respecto a dicho punto:L 3.- A los tres primeros puntos les ponemos las etiquetas I M F 4.- Si el ángulo IMF es positivo I=siguiente(I) M=siguiente(M) F=siguiente(F) Si IMF es negativo: borramos M de L I=anterior(I) M=I F=F 2 1 4 3 5 13 6 11 F I 10 7 9 12 M 8

1.- Escogemos un punto cualquiera. 2.- Ordenamos los demás puntos angularmente con respecto a dicho punto:L 3.- A los tres primeros puntos les ponemos las etiquetas I M F 4.- Si el ángulo IMF es positivo I=siguiente(I) M=siguiente(M) F=siguiente(F) Si IMF es negativo: borramos M de L I=anterior(I) M=I F=F 2 1 4 3 F 5 13 6 11 M 10 7 9 12 I 8

1.- Escogemos un punto cualquiera. 2.- Ordenamos los demás puntos angularmente con respecto a dicho punto:L 3.- A los tres primeros puntos les ponemos las etiquetas I M F 4.- Si el ángulo IMF es positivo I=siguiente(I) M=siguiente(M) F=siguiente(F) Si IMF es negativo: borramos M de L I=anterior(I) M=I F=F 2 F 1 4 3 M 5 13 6 11 I 10 7 9 12 8

Teorema: El Scan de Graham computa la envolvente convexa de n puntos en un tiempo óptimo O(n log n). 1.- Escogemos un punto cualquiera. 2.- Ordenamos los demás puntos angularmente con respecto a dicho punto:L 3.- A los tres primeros puntos les ponemos las etiquetas I M F 4.- Si el ángulo IMF es positivo I=siguiente(I) M=siguiente(M) F=siguiente(F) Si IMF es negativo: borramos M de L I=anterior(I) M=I F=F O(n log n) F 2 M 1 4 3 I O(n) 5 13 6 11 10 7 9 12 8

Algoritmos: Otros Divide y vencerás:
Dividimos el conjunto en dos subconjuntos de aproximadamente el mismo tamaño.

Dividimos el conjunto en dos subconjuntos de aproximadamente el mismo tamaño. En cada uno de ellos repetimos la división hasta llegar a un tener uno o dos puntos.

Dividimos el conjunto en dos subconjuntos de aproximadamente el mismo tamaño. En cada uno de ellos repetimos la división hasta llegar a un tener uno o dos puntos. Construimos las envolventes en cada subconjunto y vamos uniéndolas hasta hallar la del conjunto original.

Dividimos el conjunto en dos subconjuntos de aproximadamente el mismo tamaño. En cada uno de ellos repetimos la división hasta llegar a un tener uno o dos puntos. Construimos las envolventes en cada subconjunto y vamos uniéndolas hasta hallar la del conjunto original. No es necesario que las envolventes sean disjuntas (conjuntos separados linealmente).

Dividimos el conjunto en dos subconjuntos de aproximadamente el mismo tamaño. En cada uno de ellos repetimos la división hasta llegar a un tener uno o dos puntos. Construimos las envolventes en cada subconjunto y vamos uniéndolas hasta hallar la del conjunto original. La unión de dos convexos requiere O(n), luego el algoritmo corre en tiempo O(n log n).

Algoritmos: Divide y vencerás
Unión de dos convexos disjuntos Tangente superior B A Tangente inferior

Unión de dos convexos disjuntos 2 Tangente superior 1 7 3 6 8 4 5 B A 5 10 4 3 2 1 6 9 7 8 Tangente inferior

Unión de dos convexos disjuntos TANGENTE INFERIOR 2 1 a=punto de A más a la dcha b=punto de B más a la izda 7 3 6 While T=ab no sea tangente a A y a B do { 8 4 5 While T=ab no sea tangente a A do a=a-1; (mód |A|) B A 5 b 10 4 a While T=ab no sea tangente a B do b=b+1; (mód |B|) 3 2 1 6 9 } 7 8

Unión de dos convexos disjuntos TANGENTE INFERIOR 2 1 a=punto de A más a la dcha b=punto de B más a la izda 7 3 6 While T=ab no sea tangente a A y a B do { 8 4 5 While T=ab no sea tangente a A do a=a-1; (mód |A|) B A 5 10 4 While T=ab no sea tangente a B do b=b+1; (mód |B|) 3 2 1 6 9 } 7 8

Unión de dos convexos disjuntos TANGENTE SUPERIOR 2 1 a=punto de A más a la dcha b=punto de B más a la izda 7 3 6 While T=ab no sea tangente a A y a B do { 8 4 5 While T=ab no sea tangente a A do a=a+1; (mód |A|) B A 5 10 4 While T=ab no sea tangente a B do b=b-1; (mód |B|) 3 2 1 6 9 } 7 8 Si los convexos no son disjuntos el algoritmo es ligeramente más complicado (ver libro de Preparata y Shamos)

Algoritmos: Otros Incremental: Añadimos los puntos uno a uno.
En cada paso comprobamos si el nuevo punto está en el interior de la envolvente: SÍ: Lo ignoramos. NO: Lo incorporamos a la envolvente.

Algoritmos: Otros Incremental: Añadimos los puntos uno a uno.
En cada paso comprobamos si el nuevo punto está en el interior de la envolvente: SÍ: Lo ignoramos. NO: Lo incorporamos a la envolvente. Al añadir un nuevo punto puede que tengamos que eliminar alguno de la envolvente.

Algoritmos: Otros Incremental:
Añadimos los puntos uno a uno. En cada paso comprobamos si el nuevo punto está en el interior de la envolvente: SÍ: Lo ignoramos. NO: Lo incorporamos a la envolvente. Al añadir un nuevo punto puede que tengamos que eliminar alguno de la envolvente. Cada inserción a lo bruto requiere O(n), por lo que serían necesarias O(n2) operaciones, pero puede mejorarse a O(log n), obteniendo O(n log n).

Algoritmos: Cota inferior
Construir la envolvente convexa de n puntos requiere, al menos, (n log n) operaciones, ya que es equivalente a ordenar n números. x -3 4 -1 5 3 (x,x2) (-3,9) (4,16) (-1,1) (5,25) (3,9) (-3,9) (-1,1) (3,9) (4,16) (5,25)

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