@ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º ESO1 Tema 13.4 AREAS DE CONOS.

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1 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º ESO1 Tema 13.4 AREAS DE CONOS

2 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º ESO2 Cono Área lateral Es el área de la superficie curva que genera, que es un sector circular. Al = π.r.g Siendo r el radio de la base, que es un círculo. Y g la generatriz del cono. Área de la base Es el área del círculo que la forma. Ab = π.r 2 Área total Es la suma del área lateral y de la única base. At = π.r.g + π.r 2

3 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º ESO3 Ejemplo_1 El diámetro de la base de un cono mide 10 cm y la altura mide 12 cm. Hallar el área lateral y el total del cono. El área de la base es: Ab = π.r 2 = π.(10/2) 2 = 25 π cm 2 La generatriz es hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos son el radio de la base y la altura del cono: g = √ (r 2 + h 2 )  g = √ (5 2 + 12 2 ) = √ (25 + 144) = √ 169 = 13 cm El área lateral es:Al = π.r.g = 5.π.13 = 65. π cm 2 El área total será: At = Ab + Al = 25 π + 65 π = 90 π cm 2

4 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º ESO4 Ejemplo_2 El radio de la base de un cono mide 5 cm. Hallar la altura para que el área lateral sea igual al área de la base. El área de la base es: Ab = π.r 2 = π.5 2 = 25 π cm 2 El área lateral es:Al = π.r.g = 5.π.g Igualando ambas: 25.π = 5. π.g  g = 5 Conocidas la generatriz y el radio de la base, por el T. de Pitágoras hallamos la altura: h = √ (g 2 - r 2 )  h = √ (5 2 – 5 2 ) = 0 El cono es imposible, pues para que se cumpla la condición del enunciado la altura sería nula, y por tanto no existe cono alguno. IMPORTANTE: En un cono el área lateral es SIEMPRE MAYOR que el área de la base.

5 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º ESO5 Ejemplo_3 El radio de la base de un cono mide 5 cm menos que la altura del cono, y la generatriz 7 cm. Hallar la altura del cono y el área lateral. Sabemos que en el cono:g 2 = r 2 + h 2 7 2 = (h - 5) 2 + h 2 Operando:49 = h 2 – 10.h + 25 + h 2  2.h 2 – 10.h – 24 = 0 Simplificando: h 2 – 5.h – 12 = 0 Resolviendo la ecuación:h = [(5 + √ (25 + 48)] / 2 = 6,75 cm El radio de la base es:r = h – 5 = 6,75 – 5 = 1,75 cm El área laterales:Al = π.r.g = π.r.√ (h 2 + r 2 ) Al = π.1,75.√ (6,75 2 + 1,75 2 ) Al = π.1,75.7 = 12,25. π cm2

6 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º ESO6 TRONCO DE CONO Área lateral Es el área del segmento circular (parte de una corona circular) que se forma en su desarrollo. Al = (R+r).л.g Siendo R el radio del círculo de la base mayor. Siendo r el radio del círculo de la base menor. Y g la generatriz del tronco de cono. Área de la base Ab = л.R 2 A’b = л.r 2 Área total Es la suma del área lateral y de las bases. At = (R+r).л.g + л.R 2 + л.r 2

7 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º ESO7 Ejemplo_1 La altura de un tronco de cono mide 12 cm y el radio de las bases miden 11 y 6 cm. Hallar el área lateral. El área lateral es: Al = 3,1416.(R+r).g La generatriz es hipotenusa del triángulo rectángulo (en amarillo) cuyos catetos son la altura y la diferencia de los radios de las bases. g = √ [12 2 + (11-6) 2 )] = √ (12 2 + 5 2 ) = = √ (144 + 25) = √ 169 = 13 cm Luego: Al = 3,1416.(11+6). 13 = = 694,29 cm 2 r=6 g h=12 R=11

8 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º ESO8 Ejemplo_2 La altura de un tronco de cono mide 72 cm. El diámetro de la base mayor mide 52 cm y el área de la base menor es de 659 cm 2. Hallar el área lateral. El área lateral es: Al = 3,1416.(R+r).g Calculamos los radios: R=D/2 = 52/2 = 27 cm A’b=3,1416.r 2 659=3,1416.r 2  r 2 = 659 / 3,1416 = 209,77  r = √ 209,77 = 14,48 cm La generatriz es hipotenusa del triángulo rectángulo (en amarillo) cuyos catetos son la altura y la diferencia de los radios de las bases. g = √ [72 2 + (27-14,48) 2 )] = √ (12 2 + 5 2 ) = = √ (5184 + 156,67) = √ 5340,67 = 73,08 cm Luego: Al = 3,1416.(27+14,48). 73,08 = = 9523,30 cm 2 A’b=659 cm 2 g h=72 cm D=52 cm

9 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º ESO9 Ejemplo_3 Hallar el volumen del tronco de pirámide del Ejemplo 1. El volumen será: V = (π.R 2 +π. r 2 ).h / 2 V = (π.11 2 + π.6 2 ).12 / 2 V = 942.π cm 2 Ejemplo_4 Hallar el volumen del tronco de pirámide del Ejemplo 2. El volumen será: V = 885,6704.π.R 2 +π. r 2 ).h / 2 V = (π.26 2 + π.14,48 2 ).72 / 2 V = 2782,4221.36 = 100167,1966 cm 3 r=6 g h=12 R=11 r =14,48 g h=72 d=52