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El poder generalizador de los SIMBOLOS

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Presentación del tema: "El poder generalizador de los SIMBOLOS"— Transcripción de la presentación:

1 El poder generalizador de los SIMBOLOS
Álgebra y El poder generalizador de los SIMBOLOS

2 Veamos la siguiente situación:
“La edad de mi padre equivale a tres veces, mi edad aumentada en 5 años” ¿Cómo se puede escribir matemáticamente esta situación?

3 OBJETIVOS Conocer conceptos básicos de algebra: Término Algebraico:
Coeficiente Numérico Factor Literal Grado Signo Expresión Algebraica Clasificar expresiones algebraicas Operar con expresiones algebraicas

4 Contenidos Definiciones 2. Operaciones algebraicas
1.1 Término algebraico 1.2 Expresión algebraica 1.3 Clasificación de las expresiones algebraicas 1.4 Términos semejantes 2. Operaciones algebraicas 2.1 Adición y sustracción (Reducción de Términos Semejantes)

5 1. Definiciones 1.1 Término Algebraico Factor Literal
Es la relación entre números y letras donde intervienen operaciones como la multiplicación, división, potencias y/o raíces. Consta de un “Coeficiente numérico”, un “factor literal” y el “grado”. Coeficiente Grado Numérico 23x5y8 Factor Literal 5 + 8 = 13

6 Ejemplos: 2q 5p, mn3p, 3a4b, 7 Obs: 1) 1x=x

7 1.2 Expresión algebraica Es la relación entre términos algebraicos, separados solo por la adición y/o sustracción. Ejemplos: 1) 9x7 – 4 5y 2) 5m2 + 2ab3 – 4p + 3q 3) 6x4y5 + 3pq – 7m 2

8 Expresión algebraica que consta de un término algebraico.
1.3 Clasificación: Monomio Expresión algebraica que consta de un término algebraico. Ejemplos: 1) 36x5, 2) 8ab3, 3) 73p4q2 Polinomio Expresión algebraica que consta de dos o más términos algebraicos.

9 1) Binomio: Polinomio que consta de dos términos.
Ejemplo: 2m3n4 + 7ab 2) Trinomio: Polinomio que consta de tres términos algebraicos. Ejemplo: 3a6b2 + 8ab – 5a7 3) Polinomio o Multinomio: Polinomio que consta de más de tres términos algebraicos. Ejemplo: 3x – 2y + 3yx – 4z + 6

10 1.4 Términos Semejantes Son aquellos términos algebraicos, o monomios que tienen los mismos factores literales. Ejemplo: - Los términos 7m3n y 2m3n son semejantes. - Los términos 3p2 y 9p5 NO son semejantes.

11 2. Operaciones algebraicas
2.1 Adición y Sustracción Sólo pueden ser sumados o restados los coeficientes numéricos de los términos semejantes, es decir, se reducen sólo los coeficientes numéricos, el factor literal permanece inalterable. Ejemplo: mn5p + 4mn5p – 8mn5p = (1 + 4 – 8) mn5p = – 3mn5p

12 Ejercitemos lo aprendido:
Reducir los términos semejantes: 1) 4x + 3x2 + 2x2 + 7x = 2) 3(x + 7) + 2(x + 3) =

13 2.2 Multiplicación: Monomio por monomio:
El producto se hace término a término y (coeficiente con coeficiente y factor literal con factor literal y sumando exponente de las variables iguales) Monomio por monomio: Se multiplican los coeficientes numéricos y los factores literales entre sí. Ejemplo: 6a ∙ 3ab = 18a2b Monomio por polinomio: Se multiplica el monomio por cada término del polinomio. Ejemplo: 5pq3 (2p3q + 4pq5 – 6pq) = 10p4q4 + 20p2q8 – 30p2q4

14 Polinomio por Polinomio:
Se multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio. Coeficiente con coeficiente y factor literal con factor literal y sumando exponente de las variables iguales. Ejemplo: (2x + y)(3x + 2y) = 6x2 + 4xy + 3xy + 2y2 = 6x2 + 7xy + 2y2

15 Ejemplo: ¿Cómo se resuelve correctamente?
(x + 7)(x + 3) =x² + 3x + 7x +21 1. =x² + 10x + 21 (Reduciendo términos semejantes)

16 Producto de binomio con factor común:
(ax + b)∙(ax +c) = (ax)2 + (b + c)∙ax + b∙c Ejemplo 1: Aplicando la fórmula... (3x + 4)∙(3x + 2) = (3x)2 + (4 + 2)∙3x + 4∙2 Desarrollando... = 9x2 + 18x + 8 Esta propiedad sólo se cumple cuando los binomios tienen un término en común.

17 (y - 4)∙(y + 2) = y2 + (-4 + 2)y - 4∙2 = y2 – 2y - 8 Ejemplo 2:
Aplicando la fórmula... (y - 4)∙(y + 2) = y2 + (-4 + 2)y - 4∙2 Desarrollando... = y2 – 2y - 8

18 2.1 Productos Notables Cuadrado de Binomio:
Son aquellos productos cuyos factores cumplen con ciertas características que permiten llegar al resultado, sin realizar todos los pasos de la multiplicación. Cuadrado de Binomio: (I +II)2 = I2 + 2*I*II + II2 (I - II)2 = I2 – 2*I*II + II2

19 a b b a (5x – 3y)2 = (5x)2 - 2(5x∙3y) + (3y)2 = 25x2 - 30xy + 9y2
Ejemplo: (5x – 3y)2 = (5x)2 - 2(5x∙3y) + (3y)2 = 25x2 - 30xy + 9y2 La fórmula del Cuadrado de Binomio se puede obtener geométricamente: a b b a 2

20 Suma por su diferencia:
(a + b)∙(a – b) = a2 – b2 Ejemplo: Aplicando la fórmula... (5x + 6y)∙(5x – 6y) = (5x)2 – (6y)2 = 25x2 – 36y2

21 Cubo de binomio: (I + II)3 = I3 + 3*I2*II + 3*I*II2 + II3

22 (3x)3 – 3∙(3x)2∙2y + 3∙(3x)∙(2y)2 – (2y)3
Ejemplo: Aplicando la fórmula... (3x – 2y)3 = (3x)3 – 3∙(3x)2∙2y + 3∙(3x)∙(2y)2 – (2y)3 Desarrollando potencias... = 27x3 – 3∙(9x2)∙2y + 3∙(3x )∙(4y2)– 8y3 Multiplicando... = 27x3 – 54x2y + 36xy2– 8y3

23 Cuadrado de trinomio: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
Ejemplo: (2x + 3y + 4z)2 = ? Aplicando la fórmula... = (2x)2 + (3y)2 + (4z)2 + 2(2x∙3y) + 2(2x∙4z) + 2(3y∙4z) Desarrollando... = 4x2 + 9y2 + 16z xy + 16xz + 24yz

24 2.4 Factorización Factor común: 2∙x∙y + 2∙2∙x∙y∙y – 2∙3∙x∙x∙y
Consiste en escribir una expresión algebraica en forma de multiplicación. Factor común: Este es el primer caso, y se emplea para factorizar una expresión en la cual todos los términos tienen algo en común (puede ser un número, una letra, o la combinación de los dos). Ejemplo: Al descomponer... 2xy + 4xy2 – 6x2y = 2∙x∙y + 2∙2∙x∙y∙y – 2∙3∙x∙x∙y (El factor común es : 2xy) = 2xy(1 + 2y – 3x)

25 Factor común compuesto:
Cuando en una expresión algebraica, no todos los términos tienen un factor común, se agrupan convenientemente obteniendo factores comunes en cada grupo. Ejemplo: Factorizar: xz + xw + yz + yw = Agrupando... = (xz + xw) + (yz + yw) Factorizando por partes... = x(z + w) + y(z + w) Volvemos a factorizar, ahora por (z+w)... = (z + w)(x + y)

26 Diferencia de cubos: a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) 8x3 – 64y3 =
Ejemplo: 8x3 – 64y3 = (2x)3 – (4y)3 Aplicando la fórmula... = (2x – 4y)((2x)2 + 2x ∙ 4y + (4y)2 ) Desarrollando... = (2x – 4y)(4x2 + 8xy + 16y2 )

27 Suma de cubos: a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2) 27x3 + 8y3 =
Ejemplo: 27x3 + 8y3 = (3x)3 + (2y)3 Aplicando la fórmula... = (3x + 2y)((3x)2 – 3x ∙ 2y + (2y)2) Desarrollando... = (3x + 2y)( 9x2 – 6xy + 4y2)

28 Reconocer productos notables:
Ejemplos: 1) 36a2 – 81y2 = (6a + 9y)(6a – 9y) Ambos términos son cuadrados perfectos, corresponde a una suma por diferencia. 2) x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) Corresponde a un producto de binomios con un término común..

29 2.5 División 1) Si x2 – 25  0, entonces x2 + x - 20 x2 - 25
Para dividir expresiones algebraicas es necesario expresarlas mediante productos, es decir, factorizar. Ejemplos: 1) Si x2 – 25  0, entonces Factorizando... = x2 + x - 20 x2 - 25 (x + 5)(x – 4) (x + 5)(x – 5) Simplificando... (x – 4) (x – 5) = Recuerda que NO se puede realizar lo siguiente: (x – 4) (x – 5)

30 2) Si a  b y a  - b, entonces (a + b)(a – b) (a + b)(a + b) 1 a - b
Factorizando y simplificando (a + b)(a – b) : (a + b)(a + b) 1 a - b (a + b)2 a2 - b2 : 1 a - b = Dividiendo: (a + b) (a – b) 1 a - b : = (a + b) (a – b) 1 a - b = = (a + b)

31 3. Mínimo común múltiplo (m.c.m.)
Entre monomios: Corresponde a todos los factores con su mayor exponente. Ejemplo 1: El m.c.m. entre: 3x5y2, 18x2yz6 y 9y3 es: 18x5y3z6 Ejemplo 2: El m.c.m. entre: x4y2z3 , x2y , xy6z es: x4y6z3

32 Entre polinomios: x2 + x x2 + 2x +1 x(x +1) (x +1)2 x(x +1)2
El concepto es igual al anterior, pero en este caso se debe factorizar previamente. Ejemplo: Determinar el m.c.m. entre: x2 + x y x2 + 2x +1 x(x +1) (x +1)2 Factorizando... m.c.m. : x(x +1)2

33 4. Máximo común divisor (M.C.D.)
Entre monomios: Corresponde a los factores comunes con su menor exponente. Ejemplo 1: El M.C.D. entre: 3x5y2, 18x2yz6 y 9y3 es: 3y Ejemplo 2: El M.C.D. entre: a4b2, a5bc y a6b3c2 es: a4b

34 Entre polinomios: x2 + x x2 + 2x +1 x(x +1) (x +1)2 (x +1)
El concepto es igual al anterior, pero en este caso se debe factorizar previamente. Ejemplo: Determinar el M.C.D. entre: x2 + x x2 + 2x +1 y Factorizando... x(x +1) (x +1)2 (x +1) M.C.D. :

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36 Ejercitemos ¿Cómo se resuelve correctamente?
“La edad P de mi padre equivale a tres veces, mi edad Q aumentada en 5 años” se puede expresar como Sea: P: edad de mi padre Q: mi edad Luego, el enunciado se puede expresar como P = 3(Q + 5)

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38 Responsables: Prof. Isaías Correa M Prof. Rodrigo González P.


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