@ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º BCS1 MATEMÁTICAS A. CS II Tema VI Límites y continuidad.

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1 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º BCS1 MATEMÁTICAS A. CS II Tema VI Límites y continuidad

2 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º BCS2 INDETERMINACIONES Tema 6.4 * 2º BCS

3 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º BCS3 Límites con radicales Al hallar el limite en un punto ya hemos visto que a veces nos resultan indeterminaciones de la forma [0/0]. Sin embargo en ocasiones no podemos factorizar numerador y denominador al no ser éstos polinomios. El método que procede en esos casos es multiplicar y dividir por el conjugado de la expresión que contenga los radicales, a semejanza de cuando tenemos que racionalizar denominadores. Y por último se factorizan los polinomios que se obtenga. Ejemplo 1 √x – 1 (√x – 1).(√x + 1) (x – 1) 1 lím ‑‑‑‑‑‑‑ ----- = lim --------------------- = lím -------------------- = ---- x  1 x – 1 x  1 (x – 1).( √x +1) x  1 (x – 1).( √x +1) 2

4 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º BCS4 Ejemplo 2 √ (x – 2) – 1 √ (3 – 2) – 1 1 – 1 0 lím ‑‑‑‑‑‑‑ ---------- = --------------------- = ----------- = [-----] x  3 x – 3 3 – 3 3 – 3 0 Multiplicamos y dividimos por el conjugado: (√ (x – 2) – 1).(√ (x – 2) + 1) x – 2 – 1 lím ‑‑‑‑‑‑‑ ------------------------------- = lím ---------------------------- = x  3 (x – 3).(√ (x – 2) + 1) x  3 (x – 3).(√ (x – 2) + 1) (x – 3) 1 = lím ‑‑‑‑‑‑‑ ---------------------- = -------------------- = 1 / 2 x  3 (x – 3).(√ (x – 2) + 1) √ (3 – 2) + 1

5 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º BCS5 Ejemplo 3 √x – 2 √4 – 2 2 – 2 0 lím ‑‑‑‑‑‑‑ ------------ = --------------- = ---------- = [-----] x  4 √(x – 3) – 1 √(4 – 3) – 1 1 – 1 0 Multiplicamos y dividimos por el conjugado: (√x – 2).(√x + 2). (√ (x – 3) + 1) lím ‑‑‑‑‑‑‑ ---------------------------------------------- = x  4 (√x + 2). (√ (x – 3) – 1). (√ (x – 3) + 1) (x – 4). (√ (x – 3) + 1) √ (4 – 3) + 1 1+1 lím ‑‑‑‑‑‑‑ ---------------------- = ------------------- = ------ = 2 / 4 = 1 / 2 x  4 (√x + 2). (x – 4) √4 + 2 2+2

6 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º BCS6 Límites con infinitos Al calcular el límite de una función polinómica, y = P(x), en el infinito, puede ocurrir: Lím P(x) = + oo x  +oo Lím P(x) = – oo x  +oo Lím P(x) = + oo x  – oo Lím P(x) = – oo x  – oo El signo del resultado dependerá del signo que tenga la potencia de mayor exponente del polinomio que caracteriza la función, que será el que prevalezca. Cuando x  – oo, habrá que tener especial cuidado con el hecho tener potencias de exponente par o impar, pues un exponente par cambia el signo negativo a positivo y un exponente impar no.

7 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º BCS7 Ejemplos: Lím - x 5 = - (- oo) 5 = – (– oo) = (– oo) x  – oo Lím x + 2 = oo + 2 = oo x  +oo Lím x 2 + 3.x + 2 = (– oo) 2 + 3.(– oo) + 2 = oo – oo + 2 = oo x  – oo Lím x 3 – x = (- oo) 3 – (- oo) = – oo + oo = – oo x  – oo Lím - x 3 + x 2 = - (- oo) 3 + (- oo) 2 = – (– oo) + oo = + oo x  – oo

8 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º BCS8 De funciones inversas de polinómicas Al calcular el límite de una función inversa polinómica, y = 1 / P(x), en el infinito, siempre nos va a dar cero. Lím 1 / P(x) = 0 x  +oo Lím 1 / P(x) = 0 x  – oo Ejemplos Lím 1 / (x – 2) = 1 / (oo – 2) = 1 / oo = 0 x  +oo Lím 1 / (3 – x 2 ) = 1 / (3 – (– oo) 2 ) = 1 / (3 – oo) = 1 / (– oo) = 0 x  – oo Lím 1 / (x + x 3 ) = 1 / (oo + (– oo) 3 ) = 1 / (oo – oo) = 1 / (– oo) = 0 x  – oo

9 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º BCS9 De funciones racionales Al calcular el límite de una función racional, y = P(x) / Q(x), en el infinito, donde P(x) y Q(x) son polinomios de grado igual o superior a la unidad, nos resultará: Lím P(x) / P(x) = [+oo/+oo] o [- oo/+oo] o [+oo/-oo] o [-oo/-oo] x  +oo O también: Lím P(x) / P(x) = [+oo/+oo] o [- oo/+oo] o [+oo/-oo] o [-oo/-oo] x  – oo Las cuatro expresiones señaladas son similares. Todas ellas indican un valor desconocido, indeterminado. Todas ellas son llamadas INDETERMINACIONES. Su valor, si le hay, se determinará aplicando una estrategia concreta. El resultado puede ser: + oo, – oo, 0, o un número real cualquiera, tanto positivo como negativo.

10 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º BCS10 Indeterminada [oo/oo] Sabemos que oo / k = oo siempre. Sabemos que k / oo = 0 siempre. Pero si al calcular un límite nos encontramos con el cociente oo / oo, no podemos saber a priori si el resultado es 0, oo u otro valor distinto. Decimos que es una INDETERMINACIÓN, y se denota así [oo / oo] Hay que resolver dicha indeterminación. Para ello se divide numerador y denominador entre la potencia de x elevada al mayor de los exponentes que presente dicha variable. N(x) / x m Lím f(x) = Lím -------------- x  a x  a D(x) / x m Donde m es el mayor de los grados de los polinomios N(x) y D(x) Nota: Es la misma indeterminación [oo / oo], [-oo / oo], [ oo / - oo]

11 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º BCS11 Ejemplo 1 2.x 3 - 3x + 1 2.oo 3 – 3.oo + 1 oo lím ‑‑‑‑‑‑‑ ------------- = --------------------- = [-----] x  oo x 3 – x 2 - 5 oo 3 – oo 2 – 5 oo Se divide numerador y denominador entre x elevada al mayor de los exponentes ( x 3 ) 2 - (3/x 2 )+ (1/x 3 ) 2 – (3/oo) + (1/oo) 2 – 0 + 0 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ ----------------- = -------------------------- = ------------- = 2/1 = 2 x  oo 1 – (1/x) – (5/x 3 ) 1 – (1/oo) – (5/oo) 1 – 0 - 0

12 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º BCS12 Ejemplo 2 2.x 3 - 3x + 1 2.oo 3 – 3.oo + 1 oo lím ‑‑‑‑‑‑‑ ------------- = ------------------------ = [-------] x  oo 5 - x 2 5 - oo 2 - oo Se divide numerador y denominador entre x elevada al mayor de los exponentes ( x 3 ) 2 - (3 / x 2) + (1 / x 3 ) 2 – (3/oo) + (1/oo) 2 – 0 + 0 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ --------------------- = -------------------------- = -------------- = x  oo (5 / x 3 ) - (1 / x) (5/oo) - (1/oo) 0 – 0 = 2 / 0 = oo  Vemos que NO existe límite en el infinito.

13 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º BCS13 Ejemplo 3 2.x + 1 2.oo + 1 oo lím ‑‑‑‑‑‑‑ ------------- = ------------------------ = [-------] x  oo 5 + x 2 5 + oo 2 oo Se divide numerador y denominador entre x elevada al mayor de los exponentes ( x 2 ) (2 / x) + (1 / x 2 ) (2/oo) + (1/oo) 0 + 0 0 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ --------------------- = ----------------------- = ---------- = -- = 0 x  oo (5 / x 2 ) + (x 2 / x 2 ) (5/oo) + 1 0 +1 1 Vemos que el límite en el infinito es 0.