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Sesión 12.1 Álgebra de matrices
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Habilidades Determina el orden de una matriz, la igualdad entre dos matrices y la matriz identidad. Suma, multiplica por un escalar y multiplica matrices. Determina si dos matrices si dos matrices son inversas entre sí y determina la inversa de una matriz de orden 2x2 y 3x3. Determina cuando una matriz tiene inversa. Determina la determinante de una matriz de 2x2 y 3x3.
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Consideraciones previas
1. La compañía Ruiz invierte un total de $ Una parte al 6% y el resto al 9 %. Los dividendos anuales de las dos inversiones son iguales a los que ganaría todo el dinero si estuviera invertido al 7 %. Encontrar la cantidad invertida a cada tasa. x y 2. Determine las dimensiones de un jardín rectangular que tiene perímetro de 100 pies y área de 300 pies2.
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Sistema compatible determinado Sistema compatible indeterminado
Clasificación de los SEL por los tipos de respuesta 3. Resuelva los siguientes sistemas x y 3 -2 x y x y Sistema compatible determinado Sistema incompatible Sistema compatible indeterminado
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Necesidad de la modelación usando SEL
Se dispone de tres marcas de fertilizante que proporcionan los siguientes nutrientes: nitrógeno, ácido fosfórico y potasio. Una bolsa de la marca A proporciona 1 unidad de nitrógeno, 3 unidades de ácido fosfórico y 2 unidades de potasio. Una bolsa de la marca B proporciona 2 unidades de nitrógeno y 1 unidad de ácido fosfórico y Una bolsa de la marca C proporciona 3 unidades de nitrógeno, 2 de ácido fosfórico y 1 unidad de potasio. Para un crecimiento ideal, el suelo necesita 18 unidades de nitrógeno, 23 unidades de ácido fosfórico y 13 unidades de potasio por acre. Plantee un modelo matemático que permita determinar cuántas bolsas de cada marca de fertilizante deben usarse por acre para lograr un crecimiento ideal.
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Matrices Una matriz es un arreglo rectangular de números n columnas
m filas de m filas y n columnas de números reales y se lee matriz de m n. El orden de la matriz es m n. Si m = n, la matriz es cuadrada.
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Ejemplos a) La matriz tiene orden 2 x 3. b) La matriz
c) La matriz tiene orden 3 x 3.
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Notación abreviada para la matriz
También se usa la notación abreviada A = [aij] para esta matriz. El elemento aij está en la fila i y la columna j.
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Ejemplo Determine la matriz A, si:
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Suma y resta de matrices
Sean A = [aij] y B = [bij], matrices de orden m n La suma A + B es la matriz de m n. A + B = [aij + bij] 2. La resta A - B es la matriz de m n. A - B = [aij - bij]
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kA = [kaij] Multiplicación de una matriz por un escalar y la matriz 0.
El producto de un número real k y la matriz A = [aij] de orden m n, es la matriz de orden m n kA = [kaij] La matriz kA = [kaij] es un múltiplo escalar de A. La matriz 0 = [0] de orden m n, contiene únicamente ceros, es la matriz cero. Si A = [aij], entonces: A + 0 = A
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Ejemplo Sean A = [aij] y B = [bij], matrices de 2 2, con aij = 3i – j y bij = i2 + j2 – 3, para i = 1, 2 y j = 1, 2 Determine A y B. Determine el inverso aditivo, -A de A y verifique que A + (-A) = [0]. ¿Cuál es el orden de [0]? Determine 3A - 2B.
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Multiplicación de matrices
Sea A = [aij] una matriz de m r y B = [bij] una matriz de r n El producto AB = [cij] es la matriz m n, donde j i
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Multiplicación de matrices
La manera de hallar el producto AB con A y B es: ¿Existe el producto BA?
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Matriz identidad La matriz In de n n, con unos en la diagonal principal y 0 en el resto de las entradas, es la matriz identidad de orden n n. Diagonal principal Ejemplos,
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Inversa de una matriz cuadrada
Sea A = [aij] una matriz de orden n n. Si existe una y matriz B tal que entonces B es la inversa de A. Escribimos B = A-1 (se lee “A inversa”)
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Verificación de una matriz inversa
1. Pruebe que las matrices A y B son inversa, una de la otra 2. Pruebe que la matriz A es singular, es decir A no tiene inversa.
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Inversa de una matriz 2 2 Si ad – bc ≠ 0, entonces
El número ad – bc es el determinante de la matriz 2 x 2 se expresa Si entonces
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Determinante de una matriz
Sea A = [aij] una matriz de orden n n (n > 2) El determinante de A, expresado como det A o |A| es la suma de las entradas de cualquier fila o cualquier columna multiplicada por sus respectivos cofactores Aij.
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Determinante de una matriz
Presentemos una matriz A =[aij] de 3 3. Se llama cofactor de aij, en este caso de a21 M21 Se llama menor o determinante menor de aij, en este caso de a21
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Menores y cofactores Aij=(-1)i+jMij
La manera de hallar los menores Mij es la siguiente: i j En general, los cofactores Aij se determinan así: i j Aij=(-1)i+jMij i j
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Existencia de la inversa de una matriz
Una matriz A de n n, tiene una inversa sí y sólo sí det A ≠ 0. Ejemplo Determine si la matriz tiene una inversa. Si es Así, encuentre su matriz inversa. a) b)
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Propiedades de matrices
Sean I una matriz identidad; A, B y C matrices cuyos órdenes son tales que las sumas, diferencias y productos siguientes están definidos: Propiedad conmutativa Suma: A + B = B + A Mult.: en general no se cumple Propiedad de la identidad Suma: A + 0 = A Mult.: AI = IA = A Propiedad distributiva A(B ± C) = AB ± AC (A ± B)C = AC ± BC 4. Propiedad asociativa Suma: (A + B) + C = A + (B + C) Mult.: (AB)C = A(BC) 5. Propiedad del inverso Suma: A + (-A) = 0 Mult.: AA-1 = A-1A = I
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Importante Los alumnos deben revisar los ejercicios del libro texto guía. Ejercicios: 16, 22, 26, 36, 38, 40, 64 y 66 de las páginas 590 al 593. Sobre la tarea, está publicada en el AV Moodle.
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