Sesión 10: Variable Aleatoria

Presentación del tema: "Sesión 10: Variable Aleatoria"— Transcripción de la presentación:

1 Sesión 10: Variable Aleatoria
ESTADÍSTICA APLICADA A LA GESTIÓN EMPRESARIAL Sesión 10: Variable Aleatoria Dra. Alejandrina Gonzales Ochoa Santa Anita, 26 de Enero de 2015

2 Variable Aleatoria Cualquier variable cuantitativa cuyo valor numérico sea determinado por un experimento aleatorio y por lo tanto al azar se denomina variable aleatoria. El nombre de la variable se designa como X y cualquiera de sus posibles valores que puede tomar la variable se simboliza por x. Las variables aleatorias pueden ser clasificadas como discretas o continuas: Es discreta si tiene un rango finito o infinito numerable. Es continua si tiene un rango que contiene un intervalo de número reales.

3 VARIABLE ALEATORIA discreta

4 Variable aleatoria discreta
Sí el conjunto de todos los valores posibles de una variable aleatoria es contable como: 0,1,2,3,4,5,6, se dice que la variable aleatoria X es discreta. Distribución de probabilidad: La probabilidad de un resultado específico debe estar siempre entre 0 y 1. La suma de las probabilidades de todos los resultados mutuamente excluyentes es igual a 1. Función de distribución: La función de distribución está definida como la probabilidad de que la variable aleatoria X tome un valor inferior o igual a x, es decir: F(x) = P(X ≤ x)

5 Medidas resumen para las distribuciones de probabilidad
Media aritmética o valor esperado de una variable aleatoria Se calcula ponderando cada uno de los valores posibles de la variable aleatoria por su probabilidad asociada. Esta medida de la variable aleatoria X se simboliza por y también recibe el nombre de Valor Esperado, E(X), de la variable aleatoria. Fórmula: Donde: i = 1,2,3, m

6 PROPIEDADES DEL VALOR ESPERADO DE UNA VARIABLE ALEATORIA
Si X = c donde c es una constante. Entonces E(X) = c Supongamos que c es una constante y X es una variable aleatoria entonces: E(cX) = c E(X) Sean X , Y dos variables aleatorias cualesquiera. Entonces: E(X + Y) = E(X) + E(Y) Si X, Y son variables aleatorias independientes. Entonces: E(XY) = E(X). E(Y)

7 Varianza de una variable aleatoria
La varianza de una variable aleatoria X discreta se denota por Var(X) o por la letra griega Se define como:

8 PROPIEDADES DE LA VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA
 Var(X) 0 cualquiera sea la distribución Si c es una constante. Entonces Var( c ) = 0 Var(X + c) = Var(X) Var (c X) = C2 Var(X) Si X e Y son variables aleatorias independientes. Entonces: Var ( X + Y) = Var(X) + Var(Y)

9 Desviación estándar de una variable aleatoria
La desviación estándar de la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X es la raíz cuadrada de la varianza. Se define como:

10 Ejemplo 1: Una biblioteca que cuenta con un total de 4270 libros, clasifica estos libros según el número de hojas deterioradas. Se define la variable aleatoria como: X: Número de hojas deterioradas encontradas en un libro.

11 Número de hojas deterioradas
Número de libros fi 1394 1 1369 2 803 3 357 4 201 5 71 6 36 7 18 8 9 10 11 12 Total 4270 En la siguiente tabla se presentan las frecuencias encontradas según el número de hojas deterioradas. Realice lo siguiente: Elabore la tabla de distribución de probabilidad. ¿Cuál es la probabilidad de que un libro seleccionado aleatoriamente contenga exactamente 4 hojas deterioradas. ¿Cuál es la probabilidad de que un libro seleccionado aleatoriamente a lo más contenga dos hojas deterioradas? ¿Cuál es la probabilidad de que un libro seleccionado aleatoriamente tenga entre 4 y 7 hojas deterioradas. Calcule el valor esperado. Calcule la varianza. Calcule la desviación estándar.

12 Número de hojas deterioradas
Solución: Función de distribución 1.Tabla de distribución de probabilidad Número de hojas deterioradas Número de libros fi Probabilidad Puntual P(X = xi) Acumulada P(X ≤ xi) 1394 0.3265 1 1369 0.3206 0.6471 2 803 0.1881 0.8351 3 357 0.0836 0.9187 4 201 0.0471 0.9658 5 71 0.0166 0.9824 6 36 0.0084 0.9909 7 18 0.0042 0.9951 8 9 0.0021 0.9972 0.0012 0.9984 10 0.0007 0.9991 11 0.9998 12 0.0002 1.0000 Total 4270 1.000

13 Continuando con el ejemplo 1 2. Calcule la Media Aritmética:
Realizando operaciones tenemos: Reemplazando valores en la fórmula tenemos: Rango de X (1) P(X = x) (2) Xi.p(X=x) (1)x(2) 0.3265 0.0000 1 0.3206 2 0.1881 0.3761 3 0.0836 0.2508 4 0.0471 0.1883 5 0.0166 0.0831 6 0.0084 0.0506 7 0.0042 0.0295 8 0.0021 0.0169 9 0.0012 0.0105 10 0.0007 0.0070 11 0.0077 12 0.0002 0.0028 1.3440

14 Continuando con el ejemplo 1: 3. Calcule la Varianza:
Reemplazando valores en la fórmula tenemos: Rango de X (1) P(X = x) (2) (3) (4) (4) x (2) 0.3265 1.8064 0.5897 1 0.3206 0.1184 0.0379 2 0.1881 0.6560 0.4303 0.0809 3 0.0836 1.6560 2.7422 0.2293 4 0.0471 2.6560 7.0542 0.3321 5 0.0166 3.6560 0.2222 6 0.0084 4.6560 0.1828 7 0.0042 5.6560 0.1349 8 0.0021 6.6560 0.0934 9 0.0012 7.6560 0.0686 10 0.0007 8.6560 0.0526 11 9.6560 0.0655 12 0.0002 0.0266 2.1165 4. Desviación estándar: