CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS

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1 CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS
con regla y compás l1 l2 ha B C a α . A Construcción A’ l M b ma β γ B’ C’ a’ r3 I r1 r2 c 1 2 3 r wa w w’

2 RECOMENDACIONES 1 ángulo y el segmento opuesto → Arco Capaz Altura de un lado de un triángulo → dos paralelas separadas por la altura 1 segmento y la razón de los otros dos lados → Circunferencia de Apolonio 2 ángulos → semejanza

3 CONSTRUCCIONES BÁSICAS
Hallar la mediatriz de un segmento 1.-Sea AB el segmento dado 2.- Los puntos 1 y 2  a la O (A,r)  (B,r) 3.- La recta l pasa por los puntos 1 y 2 4.- l es mediatriz del segmento AB y pasa por el punto medio m del segmento AB l . 1 . A B M . 2 Hallar la recta paralela a una recta dada que pasa por un punto dado 1.-Sea l1 la recta dada y P el punto 2.- El punto A  l1 3.- Los puntos 1 y 2  O (A,PA)  l1 4.- El punto 3  O (2,P1)  O (A,PA) 5.- La recta l1 une a los puntos P y 3 y es paralela a l1 . . P 3 l2 . . . 1 A 2 l1 . B α Duplicar un ángulo 1.- Sea a α el ángulo dado. 2.- Sea O’C una semirrecta 3.- Los puntos A y B  O (O,r)  con los lados del ángulo dado 4.- A’  O (O,r) 5.- B’  O (O,r)  O (A,B) 6.- La semirrecta OD tiene su origen en el punto O y pasa por B’ . . O A D . B’ . . O’ C A’

4 . . . . . . . . CONSTRUCCIONES BÁSICAS . . . . . . . . . . . l l1 l2 A
Hallar la bisectriz W de un ángulo α 1.-Sea el ángulo α dado y O su origen 2.- El punto w O (A,r)  (B,r), donde r es un valor constante 3.- La bisectriz Wα es el rayo que sale del origen de ángulo y pasa por el punto w . . A w . . α O B A Trisecar un ángulo recto 1.-Sea el AOB un ángulo recto 2.- Los puntos 1 y 2  O(O,r)  lados del ángulo, (OA y OB) 3.- El punto 3  O(O,2)  O(O,r) 4.- El punto 4  O(O,1)  O(O,r) 5.- l1 es la semirrecta que une los puntos O y 3 6.- l2 es la semirrecta que une los puntos O y 4 l1 . . l2 1 3 . 4 . . 2 B O Trazar la tangente a una circunferencia 1.-Sea C la circunferencia de centro O y radio OA. 2.-O’ pertenece a la prolongación de OA una distancia OA 3.- l es la mediatriz de OO’ 4.- l es tangente a C en el punto A l C . . . O A O’ Dividir un segmento en una razón dada 1.- Sea AB el segmento dado 2.- Se traza la recta l a un α a partir de A 3.- El punto n1 O (A,a)  l 4.- El punto n2  O (n1,a)  l 5.- El punto n3  O (n2,a)  l ….y asi sucesivamente hasta nn 6.- Se traza el segmento n3B 7.- El punto m3  (n3B  AB) 8.- El punto m2  (║a n3B  AB) 9.- El punto m1  (║a n2B  AB) l . n3 . n2 n1 . a . . A α . . B m1 m2 m3

5 CONSTRUCCIÓN DEL ARCO CAPAZ
El arco capaz se define como un Datum (α, AB, R), es decir el ángulo, el segmento y el radio del acrco. Si se tienen dos elementos del Datum se puede construir el Arco Capaz, y encontrar el tercer elemento α B A R m s O . Caso N° (α, AB) 1.- Por A se traza t que forme con AB el ángulo α 2.- Se traza s  t 3.- Sea m la mediatriz de AB 4.- O  (s  m) 5.- El arco capaz ☉(O, OA)  AC(AB, α) ☉(O,OA) = APB A α B t Caso N° (α, R) 1.- Sea C la ☉(O, R) 2.- Se copia α inscrito a la ☉C 3.- A  lado de α  C 4.- B  lado de α  C C B . O R A α Caso N° (R, AB) 1.- Sea C la ☉(O, R) 2.- Sea AB una cuerda de C 3.- α es el ángulo inscrito cuyos lados pasan por A y C B . O R A α

6 1.- Analizar, construir y discutir el triángulo ABC si se conocen los siguientes elementos: a, α, ha
Figura de Análisis Al conocer el lado a, se tienen los vértices C y B, el vértice A está a la altura ha del lado BC, de modo que dibujaremos dos paralelas separadas por la altura ha Además desde A se ve el segmento BC bajo el ángulo α conocido. Es decir, tenemos un ángulo y el segmento opuesto → utilizaremos Arco Capaz A α ha C a B Análisis 1.- Sea el ∆ABC el requerido y dados a, α y ha 2.- Sean l1 y l2 dos rectas paralelas entre sí y separadas una distancia ha 3.- El lado a ∈ l2 y define los vértices B y C 4.- El vértice A ∈ [(l1 ∩ AC (a, α)] Construcción Discusión 2 soluciones por semiplano A y A’ . . l1 A’ A . ha B a C l2 α

7 . . . . a ma b Figura de Análisis A b ma C a B Construcción Discusión
2.- Analizar, construir y discutir el triángulo ABC si se conocen los siguientes elementos: a, b, ma a ma b Figura de Análisis A Al conocer el lado a, se tienen los vértices C y B, el vértice A está en la intersección del lado b con la mediana ma b ma C a B Análisis 1.- Sea el ∆ABC el requerido y dados a, b y ma 2.- Sea l la recta que contiene al lado a 3.- El lado a define los vértices B y C 4.- El punto M ∈ al punto medio del lado a 5.- El vértice A ∈ [O (M,ma) ∩ O (C,b)] Construcción Discusión 1 solución por semiplano A . b ma . . . M C a B l

8 . . . . . wa α ha A α ha B W C l1 A ha l2 B w B’ C w’ C’
3.- Analizar, construir y discutir el triángulo ABC si se conocen los siguientes elementos: α, ha y wa wa α ha Figura de Análisis Al conocer la altura ha, podemos saber que el triángulo se encuentra entre dos paralelas separadas por la altura ha, por lo que el vértice A puede ubicarse en una de las paralelas. Si Wa es la bisectriz, los vértices C y B estarán a cada lado de la bisectriz separados por la mitad del ángulo α A α ha Wa B W C Análisis 1.- Sea el ∆ABC el requerido y dados α, ha y wa. 2.- Sean l1 y l2 dos rectas paralelas entre sí y separadas una distancia ha. 3.- El vértice A ∈ l1 Discusión 2 soluciones por semiplano W y W’ 4.- El punto W ∈ [O (A,Wa) ∩ l2] 5.- El vértice B ∈ (lado izquierdo del α/2) ∩ l2 6.- El vértice C ∈ (lado derecho del α/2) ∩ l2 Construcción . l1 A ha wa . . . . l2 B w B’ C w’ C’

9 . . . . . a a ma ha Figura de Análisis A ha ma M B a C A’ A l1 ha ma M
4.- Analizar, construir y discutir el triángulo ABC si se conocen los siguientes elementos: a, ha, ma a ma ha Figura de Análisis Al conocer la altura ha, podemos saber que el triángulo se encuentra entre dos paralelas l1 y l2 separadas por la altura ha,. Además, el lado a define los vértices C y B, el vértice A se encuentra en la intersección de la mediana ma con la recta l1 A ha ma M B a C Análisis 1.- Sea el ∆ABC el requerido y dados a, ha y ma 2.- Sean l1 y l2 dos rectas paralelas entre sí y separadas una distancia ha 3.- El lado a define los vértices B y C 4.- M es el punto medio del lado a 5.- El vértice A ∈ O (a/2,ma) ∩ l1 Construcción Discusión 2 soluciones por semiplano A y A’ . . A’ A l1 ha ma . . . M l2 B a C

10 . . . . . . Figura de Análisis A C ha ma M B C
5.- Analizar, construir y discutir el triángulo ABC si se conocen los siguientes elementos:. c, ha, ma c Ma ha Figura de Análisis Al conocer la altura ha, podemos saber que el triángulo se encuentra entre dos paralelas l1 y l2 separadas por la altura ha,. Además, el vértice A se encuentra en la recta l1. El vértice B está a una distancia c de A, el vértice C está a una distancia a/2 del pto medio de BC A C ha ma M B C Análisis 1.- Sea el ∆ABC el requerido y dados c, ha y ma 2.- Sean l1 y l2 dos rectas paralelas entre sí y separadas una distancia ha 3.- El vértice A ∈ l1 4.- El punto M ∈ O (A,ma) ∩ l2 5.- El vértice B ∈ O (A,c) ∩ l2 6.- El vértice C ∈ O (M,BM) ∩ l2 Discusión 2 solución por semiplano M y M’ Construcción . A l1 c Ma ha . . . . . l2 C’ M’ B M C

11 6.- Analizar, construir y discutir el triángulo ABC si se conocen los siguientes elementos: wa, β, γ
Figura de Análisis A Tenemos dos ángulos conocidos : β y γ de manera que cualquier triángulo que tenga estos dos ángulos es semejante al triángulo requerido ABC. Asi, se construye un triángulo semejante A’B’C’ y se halla la bisectriz Wa’ del ángulo α . Esta se compara con la compara con la dada para para encontrar el triángulo requerido. β γ Wa’ B’ C’ Wa B C Análisis 1.- Sea el ∆ABC el requerido y dados β,γ,wa 2.- Sea el ∆AB’C’ el auxiliar y dados a’, β y γ 3.- El lado a’ define los vértices B’ y C’ 4.- El vértice A ∈ (lado del ángulo β copiado a partir del lado a’) ∩ (lado del ángulo γ copiado a partir del lado a’) 5.- Wa’ es la bisectriz del ángulo α 6.- El punto W ∈ O (A,Wa) ∩ prolongación de Wa’ 7.- l1║ B’C’ y pasa por W 8.- El vértice B ∈ prolongación de AB’ ∩ l1 9.- El vértice C ∈ prolongación de AC’ ∩ l1 . Construcción A Discusión 1 solución por semiplano Wa’ γ β B’ C’ a’ . Wa l1 B W C

12 7.- Analizar, construir y discutir el triángulo ABC si se conocen los siguientes elementos: β, γ, r
Figura de Análisis A Tenemos dos ángulos conocidos : β y γ de manera que cualquier triángulo que tenga estos dos ángulos es semejante al triángulo requerido ABC. Así, se construye un triángulo semejante A’B’C’ y se halla el radio r’. Los lados a, b, c ∈ a la prolongación de r’ hasta r con las rectas paralelas a los lados a’, b’ y c’ A’ . O’ r’ β γ B’ C’ r B C Análisis 1.- Sea el ∆ABC el requerido y dados β , γ , r 2.-Sea el ∆A’B’C’ el auxiliar y dados β , γ, a’ 3.- El lado a’ define los vértices B’ y C’ 4.- El vértice A’ ∈ (lado del ángulo β copiado a partir del lado a’)∩ (lado del ángulo γ copiado a partir del lado a’) 5.- c es la circunferencia inscrita al ∆A’B’C 6.- Sea el I incentro del ∆A’B’C’ 7.- Sea r1, r2 y r3 radios de la circunferencia inscrita perpendiculares a los lados del ∆ A’B’C’ 8.-los puntos 1,2 y 3 ∈ O (i,r) ∩ (prolongaciones de Ir1,Ir2 y Ir3) 9.- l1,l2 y l3 son paralelas a los lados B’C’, A’C’ y B’A’ y pasan por los puntos 1,2 y 3 respectivamente 10.- El vértice A ∈ l2 ∩ l3 11.- El vértice B ∈ l1 ∩ l2 12.- El vértice C ∈ l1 ∩ l3 Construcción . A . A’ 2 . c . r2 . I 1 r r1 . . γ β r3 B’ C’ . a’ . . l3 B 3 C l2 l1 Discusión 1 solución por semiplano

13 8.- Analizar, construir y discutir el triángulo ABC si se conocen los siguientes elementos: , β, 2p
Figura de análisis β/2 γ/2  c b β γ β/2 γ/2 D E c B a C b 2p 1.- Se prolonga el lado a una cantidad b a la derecha hasta E y una cantidad c a la izquierda hasta D 2.-DE es el perímetro 2p 3.- Los Δs ADB y ACE son isósceles 4.- El DAE se calcula de la siguiente manera: α + β + γ = Suma de los ángulos del triangulo 180 - α = β + γ Despeje División de ambos miembros entre 2 (3.1) m DAE = 180- (β/2 + γ/2) Suma de ángulos (3.2) m DAE = 180- (90- /2) Sustitución de (3.1) en (3.2) m DAE = 90+ /2 D D A E /2 /2 90 +  θ /2 90 A E

14 . . . . . θ 2p 2p D A E Construcción A l2 l1 β/2 m D E B C θ Análisis
1.- Sea el ∆ABC el requerido y dados , β, 2p 2.- Sea el ∆DAE el auxiliar y dados 2p, β/2 y DAE = θ 3.- El lado 2p define los vértices D y E 4.- El vértice A ∈ (lado del ángulo β/2 copiado a partir del lado 2p) ∩ AC (2p,θ) 5.- l1 es mediatriz de AD y L2 es mediatriz de AE 6.- El vértice B ∈ l1 ∩ 2p 7.- El vértice C ∈ l2 ∩ 2p Discusión 1 solución por semiplano

15 9.- Analizar, construir y discutir el triángulo ABC si se conocen los siguientes elementos: , β, 2p
Figura de análisis α/2 β/2  b a α β α/2 β/2 D E b A c B a 2p 1.- Se prolonga el lado a una cantidad b a la derecha hasta E y una cantidad c a la izquierda hasta D 2.-DE es el perímetro 2p 3.- Los Δs ADC y BEC son isósceles 4.- El Δ DCE se construye  /2 , β/2 y 2p, es decir un lado y los ángulos adyacentes (A.L.A.)

16 . . . . . β  2p Construcción l2 l1 C  /2 β/2 D E B A 2p Análisis
1.- Sea el ∆ABC el requerido y dados , 2p, β 2.- Sea el ∆DAE el auxiliar y dados 2p, β/2 y  l2 3.- El lado 2p define los vértices D y E 4.- El vértice C ∈ (lado del ángulo β/2 copiado a partir del lado 2p) ∩ (lado del ángulo  /2 copiado a partir del lado 2p) 5.- l1 es mediatriz de AD y l2 es mediatriz de AE 7.- El vértice A ∈ l2 ∩ 2p 8.- El vértice B ∈ l1 ∩ 2p  β 2p /2 β/2 2p Discusión 1 solución por semiplano

17 . . . . . . Figura de Análisis B a hb A C
10.- Analizar, construir y discutir el triángulo ABC si se conocen los siguientes elementos: R, a, hb R a hb Figura de Análisis Se conoce la altura hb desde el lado CA, de modo que dibujaremos dos paralelas l1 y l2 separadas por la altura hb. Los vértices B y C están en l1 y l2 respectivamente, y la circunferencia circunscrita de radio R cuyo centro está en la mediatriz de BC permite determinar el vértice A. B R a . hb C A Análisis 1.- Sea el ∆ABC el requerido y dados R, a y hb 2.- Sean l1 y l2 dos rectas paralelas entre sí y separadas una distancia hb 3.- El vértice C  l1 4.- El vértice B  O (C,a) ∩ l2 5.- l3 es mediatriz del BC 6.- El punto O  O (B, R) ∩ l3 7.- El vértice A  O (O, R) ∩ l1 Discusión 2 solución por semiplano B y B’ Construcción . . B’ l3 B l2 R a hb . O . . l1 C A

18 . . . Figura de Análisis B c ma C A b
11.- Analizar, construir y discutir el triángulo ABC si se conocen los siguientes elementos: b,c,ma b c ma Figura de Análisis Se conocen los lados b y c y la mediana ma. El lado b define los vértices A y C. Si se duplica la mediana ma es posible construir un paralelogramo cuya diagonal BC permite ubicar el vértice B B c ma A b C Análisis 1.- Sea el ∆ABC el requerido y dados b,c, ma 2.- El lado b  l1 y define los Vértices A y C 3.- El punto D  O (A, 2ma) ∩ (C,c) 5.- l2 pasa por A y es paralela a c (se forma el paralelogramo ABDC) 6.- El vértice B  O (A,c) ∩ l2 Discusión 2 soluciones por semiplano D y D’. Sin embargo, en este caso el punto D’ no existe, pues no hay intersección entre las circunferencias de centro en A y radio 2ma con la de centro en C y radio c. Construcción l2 . D c 2ma c . . l1 A b C

19 11.- Analizar, construir y discutir el triángulo ABC si se conocen los siguientes elementos: a,mc, mb mb a mc Figura de Análisis Se conoce el lado a y las medianas mb y mc. El lado a define los vértices B y C. Si se interceptan las medianas en G, el vértice A estará en la prolongación de BM1 con la prolongación de CM2 A M1 M2 G mb mc M B a C Análisis 1.- Sea el ∆ABC el requerido y dados a, mc, mb 2.- El lado a  l1 y define los vértices B y C 3.- El punto G  O (B,2/3mb) ∩ O (C,2/3mc) Construcción B a C l1 1/3mb 1/3mb 1/3mb 1/3mc 1/3mc 1/3mc mb mc

20 11.- Analizar, construir y discutir el triángulo ABC si se conocen los siguientes elementos: a,mc, mb mb a mc Figura de Análisis Se conoce el lado a y las medianas mb y mc. El lado a define los vértices B y C. Si se interceptan las medianas en G, , el vértice A estará en la prolongación de BM1 con la prolongación de CM2 A M1 M2 G mb mc M B a C Análisis 1.- Sea el ∆ABC el requerido y dados a, mc, mb 2.- El lado a  l1 y define los vértices B y C 3.- El punto G  O (B,2/3mb) ∩ O (C,2/3mc) Construcción B a C l1 1/3mb 1/3mb 1/3mb 1/3mc 1/3mc 1/3mc mb mc

21 11.- Analizar, construir y discutir el triángulo ABC si se conocen los siguientes elementos: a,mc, mb mb a mc Figura de Análisis Se conoce el lado a y las medianas mb y mc. El lado a define los vértices B y C. Si se interceptan las medianas en G, , el vértice A estará en la prolongación de BM1 con la prolongación de CM2 A M1 M2 G mb mc M B a C Análisis 1.- Sea el ∆ABC el requerido y dados a, mc, mb 2.- El lado a  l1 y define los vértices B y C 3.- El punto G  O (B,2/3mb) ∩ O (C,2/3mc) Construcción G 2/3mb 2/3mc B a C l1 1/3mb 1/3mb 1/3mb 1/3mc 1/3mc 1/3mc mb mc

22 11.- Analizar, construir y discutir el triángulo ABC si se conocen los siguientes elementos: a,mc, mb mb a mc Figura de Análisis Se conoce el lado a y las medianas mb y mc. El lado a define los vértices B y C. Si se interceptan las medianas en G, , el vértice A estará en la prolongación de BM1 con la prolongación de CM2 A M1 M2 G mb mc M B a C Análisis 1.- Sea el ∆ABC el requerido y dados a, mc, mb 2.- El lado a  l1 y define los vértices B y C 3.- El punto G  O (B,2/3mb) ∩ O (C,2/3mc) 4.- EL punto M1  O (C, mc) ∩ (prolongación de CG) 5.- EL punto M2  O (B, mb) ∩ (prolongación de BG) 6.- l2 contiene BM1 7.- l3 contiene CM2 8.- El vértice A  prolongación de B M1 ∩ prolongación de C M2 Construcción l3 A l2 Discusión 1 solución por semiplano M1 M2 G 2/3mb 2/3mc B a C l1 1/3mb 1/3mb 1/3mb 1/3mc 1/3mc 1/3mc mb mc

23 12.- Analizar, construir y discutir el triángulo ABC si se conocen los siguientes elementos: a, ma, mb Figura de Análisis Se conoce el lado a y las medianas ma y mb. El lado a define los vértices B y C. Si se interceptan las medianas en G, el vértice A estará en la prolongación del segmento que une el punto medio del lado a con el baricentro G. A ma G mb M B a C Análisis 1.- Sea el ∆ABC el requerido y dados a, ma, mb 2.- El lado a  l1 y define los vértices B y C 3.- M es punto medio del lado a 3.- El punto G  O (B,2/3mb) ∩ O (M,1/3mc) Construcción . . . a B M C l1 1/3mb 1/3mb 1/3mb 1/3ma 1/3ma 1/3ma ma mb

24 12.- Analizar, construir y discutir el triángulo ABC si se conocen los siguientes elementos: a, ma, mb Figura de Análisis Se conoce el lado a y las medianas ma y mb. El lado a define los vértices B y C. Si se interceptan las medianas en G, el vértice A estará en la prolongación del segmento que une el punto medio del lado a con el baricentro G. A ma G mb M B a C Análisis 1.- Sea el ∆ABC el requerido y dados a, ma, mb 2.- El lado a  l1 y define los vértices B y C 3.- M es punto medio del lado a 3.- El punto G  O (B,2/3mb) ∩ O (M,1/3mc) 4.- EL vértice A  O (M, ma) ∩ (prolongación de MG) Construcción . A Discusión 1 solución por semiplano G 2/3mb 1/3ma . . . a B M C l1 1/3mb 1/3mb 1/3mb 1/3ma 1/3ma 1/3ma ma mb