Representación gráfica de funciones.

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1 Representación gráfica de funciones.

2 ,0) ,0)

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4 Función impar: Centro de simetría el (0,0)

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7 Crecimiento y Decrecimiento
Sea f una función derivable en los puntos del intervalo abierto I: Si f ’(x) > 0 para todo x I, entonces f es estrictamente creciente en I, Si f ’(x) < 0 para todo x  I, entonces f es estrictamente decreciente en I, De esta forma, el estudio del crecimiento o decrecimiento de una función se reduce al estudio del signo de su derivada. Ejemplo.- Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las función f(x) = 4 x 3 – 3 x Como f ‘ (x) = 12 x 2 – 3 = 3 . ( 2 x + 1 ) . ( 2 x – 1 ). Igualado f ‘ (x) a cero, se obtiene las soluciones x = -1/2 y x = +1/2 . Y obtenemos el estudio de crecimiento y decrecimiento siguiente

8 Extremos locales y relativos: máximos y mínimos
Sea f una función derivable en un punto x0. Si f tiene en (x0,f(x0)) un extremo relativo (máximo o mínimo), entonces f ´(x0) = 0. Para que f tenga un máximo local en (x0,f(x0)) tiene que existir dos números a, b (a < b) tales que f sea creciente en (a,x0) y decreciente en (x0,b). Para que f tenga un mínimo local en (x0,f(x0)), tiene que existir dos números a, b (a < b) tales que f sea decreciente en (a,x0) y creciente en (x0,b). Puede suceder que f ‘ (x0) = 0, y f no tenga en (x0,f(x0)) ni máximo ni mínimo local (se suele denominar punto de inflexión). También puede suceder que no exista f ‘(x0) y que f tenga un máximo o un mínimo local (pero no relativo) en (x0,f(x0)). Los puntos x0 en los que f ’(x0 ) = 0 o no existe la derivada, se denominan puntos críticos.

9 Extremos locales: máximos y mínimos
Ejemplos. Halla los máximos y mínimos de f(x) = x3 + x2 – x - 1. Como f ‘(x) = 0  3 x2 + 2 x – 1 = 0  x = -1 y x = 1/3 Y teniendo en cuenta que será: (-1,f(-1)) un máximo relativo (1/3,f(1/3)) un mínimo relativo

10 Extremos locales: máximos y mínimos
Halla los máximos y mínimos de f(x) = x3 - 1. Como f ‘(x) = 0  3 x2 = 0  x = 0 Y teniendo en cuenta que f no tiene ni máximo ni mínimos relativos

11 Extremos locales: máximos y mínimos
Halla los máximos y mínimos de f(x) = |x|. f ‘(x)  0 para todo x  0 y f ‘(0) no existe Sin embargo teniendo en cuenta que f es continua en x = 0 y que f tiene ni mínimo local en (0,0)

12 Concavidad, convexidad y puntos de inflexión
Una función f es convexa en un intervalo I, cuando para cualquier par de puntos a, b  I el segmento que [a,b] queda por encima de la gráfica f en I. Una función f es cóncava en un intervalo I, cuando para cualquier par de puntos a, b  I el segmento que [a,b] queda por debajo de la gráfica f en I. En x0 f tiene un punto de inflexión cuando existe un a, b (a < b) tal que f es convexa en (a,x0) y cóncava en (x0,b) o cóncava en (a,x0) y convexa en (x0,b) Ejemplo.- La función x2 es convexa en todo intervalo real. La función g(x) = - x2 es cóncava en todo intervalo real. La función h(x) = x3 tiene un punto de inflexión en x = 0.

13 Concavidad, convexidad y puntos de inflexión
Sea f una función con derivada segunda en un intervalo I Si f ‘ ‘(x) > 0, entonces f ‘(x) es creciente en I, y por tanto f es convexa en I. Si f ‘ ‘(x) < 0, entonces f ‘(x) es decreciente en I, y por tanto f es cóncava en I. Si f tiene en x0 un punto de inflexión y existe la derivada segunda en ese punto, entonces f ‘ ‘ (x0) = 0 Ejemplo.- Estudiar los intervalos de concavidad, convexidad y puntos de inflexión de la función f(x) = x3 – 3 x 2. Como f ‘ (x) = 3 x 2 – 6 x; f ‘ ‘ (x) = 6 x – 6 = 0  x = 1 Como: f ‘ ‘ (x) < 0 si x < 1, y f ‘ ‘ (x) > 0 si x > 1. f es cóncava en x < 1, convexa en x > 1, y tiene un punto de inflexión en (1,f(1)) = (1,-2).

14 Máximos y mínimos con la derivada segunda
Si f es una función tal que f ‘(x0) = 0, es decir en x0 hay un punto crítico, y existe la derivada segunda en algún intervalo que contiene a x0. Si f ‘ ‘ (x0) > 0, entonces f alcanza un mínimo relativo en ((x0,f(x0)). Si f ‘ ‘ (x0) < 0, entonces f alcanza un máximo relativo en (x0,f(x0)). Ejemplo.- Estudiar los extremos relativos de la función f(x) = x4 – 4 x3 + 2 Como f ’(x) = 0  4 x3 – 12 x 2 = 0  x = 0 y x = 3. Como f ‘ ‘(0) = – 24.0 = 0 y f ‘ ‘(3) = – 24.3 > 0. Y teniendo en cuenta que f ‘ (x) < 0, si x (-,3) – {0}. f tendrá un punto de inflexión en (0,2) y un mínimo relativo en (3,-25)

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16 convexa convexa

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18 horizontal

19 Asíntotas verticales y horizontales
Si f es una función tal que decimos que f tiene una asíntota horizontal y = a Ejemplo.- Estudiar las asíntotas horizontales de Como La función f tiene una asíntota horizontal y = 1

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21 Asíntotas verticales y horizontales
Si f es una función racional tal que para x = a, se anula el denominador si decimos que f tiene una asíntota vertical en x = a Ejemplo.- Estudiar las asíntotas verticales de Como La función f tiene una asíntota vertical en x = -2 y otra en x = 1

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23 Asíntotas oblicuas Decimos que la recta y = m.x + n (con n  0) es una asíntota oblicua, cuando se cumple:

24 Ejemplo.- Estudiar las asíntotas oblicuas de la función
Como f tiene una asíntota oblicua y = x

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28 Estudio de las gráficas de una función
El estudio de la gráfica de una función requiere recopilar gran cantidad de información y resultados. Una posible ordenación de este estudio es: 1.- Estudio de las propiedades globales de la función: Se estudia el dominio, los puntos de corte con los ejes, las simetrías y la periodicidad. Los intervalos del eje X en los cuales la función está por encima o por debajo del eje horizontal. Los puntos en los que f es discontinua. 2.- Derivada primera: Se estudian los puntos críticos, los intervalos de crecimiento y decrecimiento. 3.- Derivada segunda: Se analiza los intervalos de concavidad y convexidad, puntos de inflexión. 4.- Asíntotas: Se estudia las posibles asíntotas, verticales, horizontales y oblicuas. 5.- Representación gráfica: Se representa la gráfica teniendo en cuenta todos los datos obtenidos en los apartados.

29 Estudio de las gráficas de una función
VER EJEMPLO DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN.

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37 Mas ayuda del tema de la página Matemática de DESCARTES del Ministerio de Educación y ciencia ( En la siguiente diapósitiva

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39 Mas ayuda del tema de la página lasmatemáticas
Mas ayuda del tema de la página lasmatemáticas.es Videos del profesor Dr. Juan Medina Molina ( En la siguiente diapósitiva

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