51 COMPETENCIAS Y OBJETIVOS UNIDAD IV :VARIABLE ALEATORIA Y SUS CARACTERÍSTICAS Competencia: -El estudiante debe definir correctamente lo que es una variable.

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1 51 COMPETENCIAS Y OBJETIVOS UNIDAD IV :VARIABLE ALEATORIA Y SUS CARACTERÍSTICAS Competencia: -El estudiante debe definir correctamente lo que es una variable aleatoria, reconocer y utilizar las principales características de una variable aleatoria para poder determinar las principales medidas descriptivas: como de tendencia central,de dispersión,como de asimetría y curtosis Objetivos. -Aplicar adecuadamente la definición de una variable aleatoria,función de probabilidad, de distribución,para determinar las principales medidas descriptivas de la misma. Descripción general de la unidad: -Esta unidad comprende el desarrollo de los siguientes definiciones :Variable Aleatoria, Función de probabilidad,Función de Distribución o Acumulada ; la determinación de las medidas descriptivas: de tendencia central, de dispersión y de Asimetría-Curtosis Lectura:Millar/Freund/Jonson “Probabilidad y Estadística para Ingenieros”Edo.de México 1992 Pgs.80 al 90 Córdova Zamora “Estadística Descriptiva e Inferencial” 2ª ed.Perú 1996 Pags,183 al 223 Bibliografía Básica: : Moya y Saravia (1988) “Probabilidad e Inferencia Estadística((2ª ed) Perú.Pags 237 al 356 Referencia electrónica: http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%/A1/cálculo de probabilidadeshttp://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%/A1/cálculo

2 52 Unidad IV VARIABLE ALEATORIA (X) Y SUS CARACTERÍSTICAS Se llama v.a. X a toda función definida en el  tal que a cada w€ ,le asocia un nº real x= X( w ),por los tanto aparece : Dominio de la v.a. X =  Rango de la v.a.X = { x € R / x = X (w), w €  } Ej. Sea el ε:”Lanzar una moneda 3 veces”,donde se define : La v.a. X:” Nº de caras obtenidas”.Determine el Dominio y el Rango de X Sol:  = { sss,ssc,scs,css,scc,csc,ccs,sss} El Dom de X= ,para el rango,se evalua: X=0  { sss } X = 1  { ssc } { scs } { css };X=2  { scc } { csc } { ccs } X = 3  {ccc }  Rx ={0,1,2,3 } l

3 53 CLASES DE V.A. De acuerdo a su Rx una v.a. X puede ser: 1.-V.A. DISCRETA.- aquella cuyo Rx un conjunto finito o infinito numerable Rx = { x1,x2,...xn} 2.-V.A. CONTINUA.- es aquella cuyo Rx es un conjunto infinito no numerable FUNCIÓN DE PROBABILIDAD DE UNA V.A.DISCRETA p(x) Sea una v.a.d X cuyo Rx es discreto  P(X)=P(X=x) =P[{w€  /X(w)=x  ],que debe satisfacer: a) P(X)  0 y b)  P(X) = 1 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES Es el conjunto de pares [ xi, p(xi)],es similar a una Distr.de frec.relativas donde se pueden calcular todas las medidas descriptivas. FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN O ACUMULADA F(x) F(x) = P( X  x ) =  P(X =k ) =  P(k) ;  -  < x < 

4 54 Ej.Se tiene una tienda comercial que tiene 2 vendedores A y B,donde se definen: X:”Nº de TV vendidos por A ; Y:”Nº de TV vendidos por B”.Determinar a)Las probabilidades marginales de A y de B,b)cuál la probabilidad que cada vendedor venda a lo más un 1 tv, c) Cuál el promedio de venta de A?.Si la Distribución conjunta es: X Y 0 1 2 Px(x) b) P(x  1 ; y  1 )= 0.375 0 0.0625 0.125 0.125 0.3125 =c) E(X)=  x px(x) =0 +0.25+ 1 0.0625 0.125 0.0625 0.2500 +0.875=1.125 2 0.125 0.2500 0.0625 0.4375 P y (y) 0.25 0.50 0.25 1 b) P(0,0)+P(0,1)+P(1,0)+P(1,1)= =0.0625+0.125+0.0625+0.125=0.375

5 55 FUNCIÓN DE PROBABILIDAD DE UNA V.A. CONTINUA f(x) Es toda función f(x)= P(X=x) que satisface: a)f(x)≥ 0  x € R ; b) ∫f(xi)dx = 1; c) P(A) =P(x € A) = ∫ f(x) dx b)Nota.- a) SI X = xo  P(X= xo ) = 0 c) P(a≤ X ≤ b)= P(a ≤ X < b)=P(a< X ≤ b)= P(a< X < b) Ej. Sea una f(x)= cx² ; 0<x<2 0 e.o.c..Hallar a) La constante “c” ; b) P(0<X<1) Sol.-Por el 2º requisito ∫ f(xi)dx = 1  ∫ cx²dx =1  cx³ /3 ]  c=3 / 8 f(x)=(3 / 8)*x² ; 0<x<2  P(0<X<1) = ∫(3 / 8)*x² dx=x³/8 = 1/8 FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN O ACUMULADA.-F(X) La F(X) de una v.a.c. X cuya densidad f(x)= ∫ f(xi)dx

6 56 CARACTERÍSTICAS DE LA VARIABLE ALEATORIA A parte de función de probabilidad y /o su distribución,la v.a.X tiene otras características:La media,la mediana,la moda,la varianza,la desviación típica etc, MEDIA DE UNA V.A.D. X MEDIA DE UNA V.A.C X  =  x P(X)  =∫ x f(xi)dx MODA DE UNA V.A.D.X MODA DE UNA V.A.C.X Mo= p(xO)  p(x),  x  Rx Mo= f(x 0 )  f(xi);  x  Rx LA MEDIANA DE UNA V.A.D X Xm= F(xo) = P(X  xo)  1 / 2 y P(X  xo )  1 / 2 LA MEDIANA DE UNA V.AC X Xm = F(xo) =P(X  xo) = P(X  xo )  1 / 2

7 57 VARIANZA DE UNA V.A.X Var(x) =  ² = E [ (X-  )²] VARIANZA DE UNA V.A.D.X VARIANZA DE UNA V.A.C.X V(X) =  ² =  ( x-  )² p(x) V(X) =  ² = ∫ ( x-  )² f(x)dx DESVIACIÓN TÍPICA DE UNA V.A. X  =  v(x) Nota.- Las propiedades de la media como de la varianza de una V.A.X son similares al de una V. Estadística EJ.Se tiene la sigte Distrib.de probabilidades de una va.X x 2 4 6 8 total Hallar a) La Moda  Mo = Xo =2 p(x) 0.4 0.3 0.2 0.1 b)La mediana  Xm= Xo= 4 xp(x ) 0.8 1.2 1.2 0.8 4 c)La media   =  x P(X) =4 x²p(x) 1.6 4.8 7.2 6.4 20 d)la varianza   ²=  x²p(x)-  ² = F(X) 0.4 0.7 0.9 1.0 V(X)=  ²= 20-4²=4 ;,  = 2

8 58 Ej.Dada la variable aleatoria continua X cuya : f(x) = 2x/3, si 1 < x < 2 0 e.o.c Calcular a) La media b) la varianza,c)el coeficiente de variacion Sol.- a) E(x) =μ= ∫ x f(x) dx = ∫ x 2x/3 dx= [2 x³/9] = 16/9 – 2/9 = 14/9=1.5556 b) V(x) = ∫ x² f(x) dx – μ²= 15/6 – (14/9)²= 0.0802 c) CV(x) = σ/ μ *100%→ σ = √σ ² = √ 0.0802 =0.2832 →CV(x) = 0.2832/1.5556*100%=18.21% Ej.Suponiendo que la v.a.c. x se distribuye uniformemente en el intervalo [0; 4] cuya: f(x) = ¼,si 0 ≤ x ≤4 0.e.o.c Calcular la varianza y el coeficiente de varianza Sol.- E(x)= E(x) =μ= ∫ x f(x) dx = ∫ x 1/4 dx= [ x²/8] = (4²/8-0²)= 2 V(x) = ∫ x² f(x) dx – μ²= 16/3-2²= 1.3333 c) CV(x) = σ/ μ *100%→ σ = √σ ² = √ 1.3333 =1.1547 →CV(x) = 1.1547/2*100%=57.74%