@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS1 SUMA DE MATRICES Bloque I * Tema 022.

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1 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS1 SUMA DE MATRICES Bloque I * Tema 022

2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS2 SUMA DE MATRICES Dadas dos matrices A=(aij) y B=(bij), ambas de dimensiones mxn, se define la suma A+B=(aij+bij) como la matriz obtenida sumando los elementos de A y B que ocupan la misma posición. PROPIEDADES Es asociativa: A+(B+C) = (A+B)+C. Es conmutativa: A+B = B+A Tiene elemento neutro (La matriz nula). Toda matriz tiene su matriz opuesta.

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS3 SUMA DE MATRICES 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 4 7 + 2 5 8 3 6 9 1+1 2+4 3+7 = 4+2 5+5 6+8 7+3 8+6 9+9 OBSERVAR: Una matriz + su transpuesta = Matriz simétrica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 4 7 + 2 5 8 3 6 9 2 6 10 = 6 10 14 10 14 18

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS4 PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UNA MATRIZ Dada la matriz A=(aij) y el número real k llamado escala, se llama matriz producto k.A a la que resulta de multiplicar cada elemento de A por dicho número. PROPIEDADES Es distributiva respecto a la suma de matrices: k.(A+B)=k.A+k.B Es distributiva respecto a la suma de escalas: (k1+k2).A=k1.A+k2.A Es asociativa: k1.(k2.A) = (k1.k2).A Tiene elemento unidad: 1.A = A

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS5 k. A = k 1 4 7. 2 5 8 3 6 9 k 4k 7k = 2k 5k 8k 3k 6k 9k PRODUCTO DE k.A (-2). A = (-2). 1/2 -1 3 -1/6 2 -5 -1 2 -6 = 1/3 - 4 10

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS6 PROPIEDADES MATRIZ TRANSPUESTA ORDEN DE UNA MATRIZ CUADRADA Una matriz cuadrada es de orden 2, 3, 4, etc si presenta 2, 3, 4, etc filas o columnas. IGUALDAD DE MATRICES Dos matrices A=(aij) y B=(bij), de dimensiones mxn y pxq son iguales si, en primer lugar: m=p, n =q ; y en segundo lugar aij=bij para cualquier par i,j PROPIEDADES DE LA M. TRASPUESTA La traspuesta de la traspuesta es la matriz dada. t t t (A.B)=B. A t t t (A+B) =A + B t t (k.A) =k. A

7 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS7 Ejemplos (A t ) t = A Sea A = 2 -1 3 -1 2 4 A t = 2 -1 -1 2 3 4 (A t ) t = 2 -1 3 -1 2 4 Vemos que se cumple dicha propiedad.

8 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS8 Ejemplos (A.B) t = B t. A t -3 Sea A = 2 -1 3 y B = 5 2 A.B = 2.(-3)+ (-1).5+3.2 = - 5 (A.B) t = - 5 2 B t. A t = -3 5 2. - 1 = -3.2 + 5.(-1)+2.3 = -5 3 Vemos que se cumple la propiedad.

9 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS9 Ejemplos (A+B) t = A t + B t Sea A = 2 -1 y B = 5 - 3 3 4 1 6 A+B = 2+5 -1-3 = 7 - 4 (A+B) t = 7 4 3+1 4+6 4 10 - 4 10 A t = 2 3 y B t = 5 1 -1 4 -3 6 A t + B t = 2+5 3+1 = 7 4 -1-3 4+6 -4 10 Vemos que se cumple la propiedad.

10 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS10 Ejemplos (k.A) t =k. A t Sea A = 2 -5 7 y k = 3 -1 6 4 6 - 3 k.A = 3.A = 6 -15 21  (3.A) t = -15 18 -3 18 12 21 12 2 -1 6 -3 k. A t = 3.A t = 3. -5 6 = -15 18 7 4 21 12 Vemos que se cumple dicha propiedad.