Actualidad de la teoría de situaciones Guy Brousseau Conferencia dictada en Famaf el 25 de octubre de 2006.

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1 Actualidad de la teoría de situaciones Guy Brousseau Conferencia dictada en Famaf el 25 de octubre de 2006

2 Introducción En esta conferencia, después de evocar brevemente algunos conceptos, querría: En primer lugar, recordarles resultados experimentales obtenidos por medio de la teoría de las situaciones. Y mostrarles sobre qué problemas actuales esta teoría trata de aportar explicaciones útiles.

3 1. Una situación didáctica
¿Qué es la geometría? Un ejemplo de iniciación a la actividad matemática

4 Ejemplo: problema y situación
Un problema clásico: “Probar que las mediatrices de los lados de cualquier triángulo son concurrentes.”

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6 Primer estudiante : “¡Lo veo! ¿Por qué dar una prueba?”
Segundo estudiante: “Estoy sorprendido… ¿La tercera mediatriz pasa exactamente por el punto de intersección de las dos primeras?” El segundo estudiante formula una pregunta y, espontáneamente, convierte el problema en una situación interesante.

7 Pero para sacar lo mejor de esta sorpresa es necesario:
que consideren una alternativa… … y que la pregunta interese a todos los alumnos de la clase. Por eso el profesor debe imaginar, producir y conducir una situación matemática para los alumnos, Y ponerla en escena dentro de una situación didáctica que determina su propio rol.

8 A B C En su rol de profesor, pide a sus alumnos debutantes que tracen las tres mediatrices de un pequeño triángulo ABC muy «aplastado».

9 Los alumnos obtienen figuras del tipo:
C’ A’ B’ Observan un «co-triángulo». El profesor, «seriamente», da la denotación a los vértices (A' B' C‘) del pequeño triángulo que "deben" obtener. C B

10 A B C C’ A’ B’ El profesor lamenta tener co-triángulos demasiado pequeños, y pide disculpas por haber dibujado un caso particular, ¡tan poco conveniente! Pide a los alumnos que busquen un triángulo ABC cuyo co-triángulo entre en la hoja, ¡pero que sea lo más grande posible !

11 A B C A’ B’ C’ A Los alumnos piensan que lo pueden hacer cambiando la posición, por ejemplo, de BC B C

12 . Los alumnos se empecinan en la búsqueda del co-triángulo.
. Finalmente, deben emitir la hipótesis de que los puntos A’, B’, C’ podrían coincidir. . Tienen la figura, hay que dar la prueba en contra de “la evidencia”. . Más que mirar la figura completa, siguen el orden de construcción que utilizaron varias veces: - construyen la mediatriz de AB, - la de AC que determina A’ - Y se preguntan si BC puede pasar por otra parte que no sea A’… demostración.

13 . Deben ponerse de acuerdo sobre la definición de la mediatriz, y demostrar para convencerse.
. A veces deben elegir cuáles son los postulados... . El profesor explica entonces la diferencia entre "ver" y "demostrar" . La geometría no consiste en describir lo que se ve sino en establecer lo que «debe» ser visto.

14 ¡Estudiantes profesores
¡Estudiantes profesores! Por favor, no deben tratar de reproducir esta situación en clase… Deberían: dibujar una figura falsa, mostrarse confundidos por haber elegido un caso particular y disculparse, decir mentiras y reconocerlo cínicamente, explicar fantasías, cambiar de idea… pedir a los alumnos que hagan algo imposible… y finalmente proponer una improbable hipótesis de tres puntos en uno… ¡Y obtener una prueba por contradicción! … con una clase que a veces no coopera.

15 Una de las primeras situaciones didácticas sobre la geometría apunta a definirla en relación – en oposición- con el conocimiento del espacio. Los alumnos tuvieron experiencias que les permitieron desarrollar determinados conocimientos del espacio tales como construir objetos, figuras, trayectos y prever el resultado de ciertas acciones o transformaciones, utilizar un vocabulario apropiado, etc. Pero ahora la geometría es el estudio de la consistencia de esas descripciones del espacio.

16 2. Las teorías de las situaciones

17 En el dominio de la didáctica, una teoría de las situaciones modeliza las condiciones bajo las cuales los seres humanos producen y aprenden los "conocimientos" que reconocemos como matemáticos. Estos modelos pueden ser modelos matemáticos. Así, toda actividad matemática se desarrolla bajo condiciones específicas de un conocimiento preciso. Modelizar las condiciones mediante “situaciones” significa que no son independientes. Forman sistemas.

18 Introducimos dos grandes categorías de modelos de situaciones que se distinguen por su estructura, por su funcionamiento y, sobretodo, por las leyes que las gobiernan. Esencialmente son: - las situaciones matemáticas y - las situaciones didácticas en matemáticas Hemos visto cómo una situación didáctica puede involucrar una situación matemática.

19 Las situaciones matemáticas tienen por objeto representar el mínimo de condiciones necesarias para «explicar» o justificar la puesta en obra de un enunciado matemático, por un «agente», o por un grupo de agentes... sin intervención didáctica exterior. La forma mas básica de situación matemática usada en la enseñanza desde siglos es el problema. Creo que ya conocen también diversas situaciones matemáticas más completas como la del rompecabezas (linealidad) o la de los números naturales...

20 3. Resultados en TSM Resumen

21 condiciones límites de una experiencia en pedagogía de las matemáticas
Proyecto inicial: condiciones límites de una experiencia en pedagogía de las matemáticas Ingeniería didáctica y observación Resultados Instituto de Investigación en Enseñanza de la Matemática (IREM). Centro para la Observación e Investigación en Enseñanza de la Matemática (COREM) Teoría de las situaciones 1. Teoría constructivista de las situaciones matemáticas Conceptos: tipos de situación, de comportamientos y de aprendizajes, obstáculos, diversas funciones de los conocimientos, transposición didáctica… Resultados a. es posible… Enseñar las matemáticas con un sentido correcto en la escuela Determinar las condiciones de estas enseñanzas… … Y comunicarlas Pero la cultura didáctica, matemática y epistemológica actual no lo permiten

22 Resultados b. Por el contrario, es imposible…
Corregir las enseñanzas a través del uso abusivo de la evaluación institucional. El constructivismo radical porque la institucionalización es indispensable. La progresión regular desde el nivel inicial a la universidad porque los obstáculos requieren retomar lo trabajado. Conclusión: Las situaciones constructivistas matemáticas son insuficientes. Su uso didáctico es paradójico. Como lo es el contrato didáctico mismo. 2. Una teoría de las situaciones didácticas en matemáticas es indispensable

23 Limitaciones actuales de la teoría de las situaciones didácticas:
La teoría de las situaciones didácticas produjo también numerosos resultados: institucionalización, transposición y des-transposición didáctica, diversos “efectos”, etc. La teoría de las situaciones matemáticas y la teoría de las situaciones didácticas forman la micro didáctica, estudio de las interacciones entre agentes (o sociedades) uno de los cuales quiere, intencionalmente, modificar los conocimientos de los otros cuando estos últimos no experimentan la necesidad de hacerlo. Limitaciones actuales de la teoría de las situaciones didácticas: Aunque tenemos soluciones micro didácticas demostradas y efectivamente aplicables con los medios disponibles, fenómenos socioculturales pueden impedir su ejecución.

24 Macro didáctica La macro didáctica estudia las relaciones de las grandes instituciones humanas con conocimientos particulares. Ejemplos de manifestaciones macro didácticas: la diferencia de actitud entre Francia y los países anglosajones en relación con la estadística, algunos grandes movimientos de reformas en la enseñanza...

25 Un estudio en macro didáctica

26 En 1979, denuncié por primera vez los peligros con el uso ingenuo de la evaluación institucional, «ingenuo» en el sentido de «ausencia de una teoría didáctica sólida que tenga en cuenta el rol de los conocimientos en el aprendizaje y en la enseñanza de las matemáticas». Había previsto que las evaluaciones subevaluarían a los estudiantes dando la impresión de una disminución de nivel, conducirían a los profesores, en primer lugar a reforzar los aprendizajes por repetición, y luego a solicitar programas menos recargados que en siguientes evaluaciones los estudiantes no mejorarían, lo que conduciría a un proceso de reiteración y a bajar el nivel efectivamente. No había previsto el mal uso que los medios de comunicación y los políticos harían de este abuso de la evaluación para manipular la opinión en períodos de elecciones.

27 ¿Cómo se obtienen esas previsiones?
La negociación entre la enseñanza y sus mandatarios (autoridades, padres…) trata solo sobre “saberes”, es decir sobre partes de los textos de referencia, tomados de la disciplina constituida. El proyecto de enseñanza es concebido como una lista de saberes que se puede «convocar» a través de cuestiones aisladas «simples» (fuera de una situación). La concepción sociocultural de la enseñanza y del aprendizaje considera solamente los saberes.

28 1. El objeto de enseñanza debe ser estructurado
Enseñar utilizando relaciones entre los saberes es más económico que la enseñanza errática de saberes aislados. Cuanto más estructurados son los saberes, su enseñanza parece más económica. Las relaciones más fuertes, las más estables y las más “reconocidas” son las de constitución (definición) y prueba (deducción). Desde el punto de vista de la evaluación, necesariamente parcial, la estructuración es solo un medio entre otros.

29 2. Se impone la estructuración deductiva
Pero en el control social del trabajo, el profesor puede mostrar que la estructuración constitutiva o deductiva de los saberes enseñados le permite respetar la inevitable Regla de Información Previa Suficiente (RIPS). Esta regla dice: «Para ser inteligible, un mensaje debe utilizar un repertorio de términos y una sintaxis conocidos por su destinatario.» Aplicada a la enseñanza: «todo lo que es necesario para la adquisición de un conocimiento que se quiere enseñar, debe haber sido enseñado previamente». La RISP conduce así a una presentación deductiva de los saberes matemáticos a enseñar.

30 3. La RISP permite una distribución social de las responsabilidades
El profesor define y presenta el saber a aprender construyéndolo a partir de los saberes anteriores, enseñados a través de la presentación estándar de las matemáticas. La responsabilidad de los alumnos reside en aplicar estos saberes cuando se presente la oportunidad. 4. Pero este contrato social ingenuo tiene numerosas consecuencias negativas para la organización de la enseñanza, para sus resultados. 5. Sirve de vehículo a concepciones epistemológicas falsas y provoca procesos destructores.

31 El resultado de una enseñanza es sistemáticamente interpretado como un fracaso.
El profesor debe recomenzar esta enseñanza. Pero si no recurre al sentido y a los conocimientos, su acción está condenada al fracaso en un plazo determinado.

32 Es larga la lista de debilidades, errores y consecuencias negativas de la concepción RISP fundada solamente sobre los saberes: 1. Los principios «aprender primero, aplicar luego» o «aprender primero, comprender luego» conducen a que el sentido y la adaptación a su uso no puedan intervenir en el aprendizaje inicial. El aprendizaje y la enseñanza deben entonces ignorar los procesos efectivos –tanto personales como históricos- del pensamiento y la invención matemática en beneficio de una ficción epistemológica.

33 Los procesos reales requieren diversas funciones de los saberes.
La presentación deductiva de los saberes es la última etapa del trabajo matemático. La génesis de esta presentación sigue otras vías. Utiliza funciones del saber, los conocimientos, que no pueden ser tratados (evaluados, utilizados, enseñados, aprendidos) como saberes: esquemas de acción, repertorios de comunicación, medios de convicción, etc. Los conocimientos son, por ejemplo, anticipaciones, hipótesis, tentativas de representación, intuiciones, etc., es decir son instrumentos. No son errores ni verdades, sino medios de manipular y activar los saberes. Lo que importa es su rol en el proceso. Si no son aprehendidos, reconocidos por el juego de los saberes, desaparecen con el contexto. Los saberes son medios culturales de reconocimiento y de institucionalización de los conocimientos (identificación, comunicación, puesta a prueba, referencia, etc.)

34 En realidad la concepción RISP conduce a considerar como fracasos un cierto número de hechos que son ineluctables. Y engendra una serie de correcciones inapropiadas que desembocan en producir efectivamente fracasos.

35 La taxonomía intenta evaluar otras competencias además de la aplicación de saberes.
A partir de los trabajos de Bloom, los instrumentos de evaluación se han perfeccionado para intentar describir mejor los objetivos de alto nivel. Pero dichos objetivos son aquéllos para los cuales los resultados son menos previsibles, y entonces los instrumentos son peores: las competencias que corresponden escapan visiblemente a la RISP. La taxonomía no considera ninguno de los procesos de génesis de los saberes.

36 2. La organización deductiva no puede requerir ni el sentido ni el uso de los saberes, los cuales deben ser aprendidos sin su significación (primero aprender y luego comprender). 3. Cada saber presentado debe ser aprendido antes que el siguiente, que debe contribuir a construirlo (aprender y luego aplicar). En caso de fracaso de una parte de los alumnos, el profesor debe retomar la misma tentativa  Enseñanza por repetición (flow chart).

37 4. La presentación deductiva tiene un rendimiento bastante débil
4. La presentación deductiva tiene un rendimiento bastante débil. El sentido se desplaza hacia aplicaciones futuras y tarda en acompañar los aprendizajes, sobre todo para los alumnos que necesitan más tiempo. Se necesita entonces más tiempo para obtener la misma tasa de éxito. El profesor, de todas maneras, tiene que pasar a la lección siguiente antes de poder asegurarse que el alumno podrá «aplicar» con solvencia lo que aprendió. Debe aceptar cierto riesgo de fracaso (enseñando individualmente) y cierta tasa de fracaso en la enseñanza colectiva. 5. Cuanto más fuerte es la presión del entorno sobre el profesor, más debe mostrar que aplica rigurosamente la RISP.

38 Sin embargo, el profesor puede tener cierto éxito gracias al funcionamiento oculto de los conocimientos. Los conocimientos nacen de la actividad cognitiva propia –individual o colectiva- de los alumnos en situaciones más abiertas que los ejercicios. Están hechos del reconocimiento más o menos preciso de objetos re-encontrados, de saberes cuya adecuación es hipotética, de tentativas de modelización, etc. Permiten anticipar cierto «sentido» de los saberes presentados para justificarlos y así desviarse de la RISP. Juegan un rol capital –el mismo- en el pensamiento matemático «real», tanto en el común como en el original. Su rol es visible en la historia. Surgen en un orden que no corresponde para nada al orden de la RISP.

39 «Conocimiento» y «saber», en las situaciones, son funciones diferentes que tienen momentáneamente los conocimientos (en el sentido usual). La TSDM puso en evidencia la necesidad de procesos específicos de institucionalización de los conocimientos producidos por las situaciones matemáticas para hacerlos saberes.

40 «La evaluación» (el inventario) de los saberes y de los conocimientos tiene por finalidad describir los conocimientos de los alumnos. Los profesores la utilizan para establecer los conocimientos a los cuales pueden referirse para organizar su enseñanza y para determinar sus objetivos. Los resultados sobre la mejora de los instrumentos de evaluación son inestables y difíciles de utilizar, tanto para prevenir como para tomar decisiones.

41 Por el contrario, la interpretación y el uso «ingenuo» de la evaluación se desarrolla sin cesar y penetra en la intimidad de los procesos de aprendizaje. Consiste en interpretar directamente los resultados de las evaluaciones y a inferir decisiones didácticas radicales: lo que resultó poco logrado es retomado (reforzado, repetido) o abandonado. No es la evaluación lo que se cuestiona, sino su uso bárbaro que no se basa en algún tipo de análisis, sea o no científico. Los resultados de este uso son previsibles (como la metereología empírica de Gengis Khan):

42 1. Los objetivos de alto nivel escapan por definición al tratamiento por repetición.
La mayoría de los conocimientos se esfuman en un control fuera de contexto. Contrariamente a los saberes, el rol de los conocimientos no es ser «verdaderos» o «falsos», sino ser fecundos alimentando el proceso de desarrollo y control de los saberes en una situación dada. Por ejemplo, tratarlos como saberes, impide considerarlos. Las acciones didácticas van a concentrarse sobre objetivos de bajo nivel taxonómico (conocimiento de algoritmos y hechos aislados) por medio de acciones artificiales tanto más penosas cuando los alumnos ya están en dificultades. 2. Al ser ignorado el rol de los conocimientos, todo lo que no desemboque en un saber exhibido será ignorado, perdido, o atestará los repasos y las repeticiones.