Matemática Aplicada I José Ramón Gómez Envolvente convexa Tema 5.

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Matemática Aplicada I José Ramón Gómez http://www.personal.us.es/jrgomez Envolvente convexa Tema 5 Envolvente convexa Dada una serie de puntos encontrar el menor convexo que los contiene

Matemática Aplicada I José Ramón Gómez http://www.personal.us.es/jrgomez Envolvente convexa Tema 5 Entre muchos aviones en una pantalla encontrar los dos más cercanos puntos en el plano El par más cercano Entre muchos linces en un terreno encontrar el más cercano a cada cual puntos en el plano Todos los pares más cercanos Conectar n puntos de tal forma que la longitud de la red sea mínima Árbol recubridor (generador) mínimo Vecino más cercano Dado un conjunto de puntos S y un nuevo punto q, encontrar el elemento de S más cercano a q. Entre todas las triangulaciones encontrar la más equilátera posible Triangulación equilátera Envolvente convexa Dada una serie de puntos encontrar el menor convexo que los contiene O(n 2 ) Fuerza bruta O(n 2 ) O(2 n ) ? O(n) ? Diagrama de Voronoi O(n) O(log n) O(n) Entre muchos puntos en el plano encontrar los dos más alejados El par más alejado

Matemática Aplicada I José Ramón Gómez http://www.personal.us.es/jrgomez Envolvente convexa Tema 5 Dado un conjunto finito de puntos en el plano P = {p1,...,pn} (con n mayor o igual que dos), definimos su envolvente convexa (o cierre convexo, convex hull en inglés) (denotada CH(P)) como el menor convexo que lo contiene. Lema 1: La intersección de conjuntos convexos es siempre un conjunto convexo. Lema 2: La envolvente convexa de un conjunto P coincide con la intersección de todos los convexos que contienen al conjunto P.

Matemática Aplicada I José Ramón Gómez http://www.personal.us.es/jrgomez Envolvente convexa Tema 5 L a b p p p

Matemática Aplicada I José Ramón Gómez http://www.personal.us.es/jrgomez Envolvente convexa Tema 5 Quickhull: O(n 2 )

Matemática Aplicada I José Ramón Gómez http://www.personal.us.es/jrgomez Envolvente convexa Tema 5 Algoritmo QUICKHULL Entrada: Un conjunto de puntos del plano, S. Salida: La envolvente convexa. 1.Halle los puntos a y b, tal que la coordenada x de a es mínima entre los puntos de S y la coordenada x de b es máxima. 2.Sea S1 es conjunto de puntos de S por encima de la recta L que une a y b. Sea S2 el conjunto de puntos de S situado por debajo de L. 3.Call Upper Hull(S1,a,b) Call Lower Hull(S2,a,b) 4.Return (a)+Upper Hull Call Upper Hull(S1,a,b)+(b)+Lower Hull Call Lower Hull(S2,a,b)

Matemática Aplicada I José Ramón Gómez http://www.personal.us.es/jrgomez Envolvente convexa Tema 5 Algoritmo Upper Hull(S,a,b) Entrada: un conjunto de puntos del plano S por encima de una línea L que une los puntos a y b. Salida: La envolvente convexa de S+{a,b} 1.Halle el punto p más alejado de la línea que pasa por a y b 2.Sea S1 el conjunto de puntos encima de la línea que pasa por a y p. Sea S2 el conjunto de puntos de S por encima de la línea que pasa por p y b. 3.Aplicar en forma recursiva Upper Hull(S1,a,b) y Upper Hull(S2,p,b) 4.Concatenar los dos resultados obtenidos en la parte 3.

Matemática Aplicada I José Ramón Gómez http://www.personal.us.es/jrgomez Envolvente convexa Tema 5 Marcha de Jarvis

Matemática Aplicada I José Ramón Gómez http://www.personal.us.es/jrgomez Envolvente convexa Tema 5 Algoritmo. (Marcha de Jarvis) 1.Se busca el punto de menor coordenada x, si hubiese más de uno con coordenada mínima, se unen y se comienza con el más a la derecha. Designaremos a este punto x. 2.Se busca otro punto y tal que la recta que pasa por x e y deja a todos los puntos de la nube en el semiplano de la izquierda. 3. Se repite el paso 2 con el haz centrado en y para hallar z.

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Matemática Aplicada I José Ramón Gómez http://www.personal.us.es/jrgomez Envolvente convexa Tema 5 Marcha de Jarvis O(n)·n = O(n 2 )

Matemática Aplicada I José Ramón Gómez http://www.personal.us.es/jrgomez Envolvente convexa Tema 5 Scan de Graham

Matemática Aplicada I José Ramón Gómez http://www.personal.us.es/jrgomez Envolvente convexa Tema 5 Scan de Graham 1.- Escogemos un punto cualquiera.

Matemática Aplicada I José Ramón Gómez http://www.personal.us.es/jrgomez Envolvente convexa Tema 5 Scan de Graham 1.- Escogemos un punto cualquiera. 2.- Ordenamos los demás puntos angularmente con respecto a dicho punto.

Matemática Aplicada I José Ramón Gómez http://www.personal.us.es/jrgomez Envolvente convexa Tema 5 Scan de Graham 1.- Escogemos un punto cualquiera. 2.- Ordenamos los demás puntos angularmente con respecto a dicho punto. L 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Matemática Aplicada I José Ramón Gómez http://www.personal.us.es/jrgomez Envolvente convexa Tema 5 Scan de Graham 1.- Escogemos un punto cualquiera. 2.- Ordenamos los demás puntos angularmente con respecto a dicho punto.L 3.- A los tres primeros puntos les ponemos las etiquetas I M F 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Matemática Aplicada I José Ramón Gómez http://www.personal.us.es/jrgomez Envolvente convexa Tema 5 Scan de Graham 1.- Escogemos un punto cualquiera. 2.- Ordenamos los demás puntos angularmente con respecto a dicho punto.L 3.- A los tres primeros puntos les ponemos las etiquetas I M F 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 I M F

Matemática Aplicada I José Ramón Gómez http://www.personal.us.es/jrgomez Envolvente convexa Tema 5 Scan de Graham 1.- Escogemos un punto cualquiera. 2.- Ordenamos los demás puntos angularmente con respecto a dicho punto.L 3.- A los tres primeros puntos les ponemos las etiquetas I M F 4.- Si el ángulo IMF es positivo I=siguiente(I) M=siguiente(M) F=siguiente(F) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 I M F

Matemática Aplicada I José Ramón Gómez http://www.personal.us.es/jrgomez Envolvente convexa Tema 5 Scan de Graham 1.- Escogemos un punto cualquiera. 2.- Ordenamos los demás puntos angularmente con respecto a dicho punto.L 3.- A los tres primeros puntos les ponemos las etiquetas I M F 4.- Si el ángulo IMF es positivo I=siguiente(I) M=siguiente(M) F=siguiente(F) Si IMF es negativo: borramos M de L I=I M=F F=anterior(F) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 I M F

Matemática Aplicada I José Ramón Gómez http://www.personal.us.es/jrgomez Envolvente convexa Tema 5 Scan de Graham 1.- Escogemos un punto cualquiera. 2.- Ordenamos los demás puntos angularmente con respecto a dicho punto.L 3.- A los tres primeros puntos les ponemos las etiquetas I M F 4.- Si el ángulo IMF es positivo I=siguiente(I) M=siguiente(M) F=siguiente(F) Si IMF es negativo: borramos M de L I=I M=F F=anterior(F) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 I M F O(n) Teorema: El Scan de Graham computa la envolvente convexa de n puntos en un tiempo óptimo O(n log n).

Matemática Aplicada I José Ramón Gómez http://www.personal.us.es/jrgomez Envolvente convexa Tema 5 Incremental: Añadimos los puntos uno a uno. En cada paso comprobamos si el nuevo punto está en el interior de la envolvente: SÍ: Lo ignoramos. NO: Lo incorporamos a la envolvente.

Matemática Aplicada I José Ramón Gómez http://www.personal.us.es/jrgomez Envolvente convexa Tema 5 Añadimos los puntos uno a uno. En cada paso comprobamos si el nuevo punto está en el interior de la envolvente: SÍ: Lo ignoramos. NO: Lo incorporamos a la envolvente.

Matemática Aplicada I José Ramón Gómez http://www.personal.us.es/jrgomez Envolvente convexa Tema 5 Añadimos los puntos uno a uno. En cada paso comprobamos si el nuevo punto está en el interior de la envolvente: SÍ: Lo ignoramos. NO: Lo incorporamos a la envolvente. Al añadir un nuevo punto puede que tengamos que eliminar alguno de la envolvente.

Matemática Aplicada I José Ramón Gómez http://www.personal.us.es/jrgomez Envolvente convexa Tema 5 Cada inserción a lo bruto requiere O(n), por lo que serían necesarias O(n 2 ) operaciones, pero puede mejorarse a O(log n), obteniendo O(n log n). Al añadir un nuevo punto puede que tengamos que eliminar alguno de la envolvente. Añadimos los puntos uno a uno. En cada paso comprobamos si el nuevo punto está en el interior de la envolvente: SÍ: Lo ignoramos. NO: Lo incorporamos a la envolvente.

Matemática Aplicada I José Ramón Gómez http://www.personal.us.es/jrgomez Envolvente convexa Tema 5 Divide y vencerás: Dividimos el conjunto en dos subconjuntos de aproximadamente el mismo tamaño.

Matemática Aplicada I José Ramón Gómez http://www.personal.us.es/jrgomez Envolvente convexa Tema 5 Dividimos el conjunto en dos subconjuntos de aproximadamente el mismo tamaño.

Matemática Aplicada I José Ramón Gómez http://www.personal.us.es/jrgomez Envolvente convexa Tema 5 Dividimos el conjunto en dos subconjuntos de aproximadamente el mismo tamaño. En cada uno de ellos repetimos la división hasta llegar a un tener uno o dos puntos.

Matemática Aplicada I José Ramón Gómez http://www.personal.us.es/jrgomez Envolvente convexa Tema 5 Dividimos el conjunto en dos subconjuntos de aproximadamente el mismo tamaño. En cada uno de ellos repetimos la división hasta llegar a un tener uno o dos puntos. Construimos las envolventes en cada subconjunto y vamos uniéndolas hasta hallar la del conjunto original.

Matemática Aplicada I José Ramón Gómez http://www.personal.us.es/jrgomez Envolvente convexa Tema 5 Dividimos el conjunto en dos subconjuntos de aproximadamente el mismo tamaño. En cada uno de ellos repetimos la división hasta llegar a un tener uno o dos puntos. Construimos las envolventes en cada subconjunto y vamos uniéndolas hasta hallar la del conjunto original. No es necesario que las envolventes sean disjuntas (conjuntos separados linealmente).

Matemática Aplicada I José Ramón Gómez http://www.personal.us.es/jrgomez Envolvente convexa Tema 5 La unión de dos convexos requiere O(n), luego el algoritmo corre en tiempo O(n log n). Dividimos el conjunto en dos subconjuntos de aproximadamente el mismo tamaño. En cada uno de ellos repetimos la división hasta llegar a un tener uno o dos puntos. Construimos las envolventes en cada subconjunto y vamos uniéndolas hasta hallar la del conjunto original.

Matemática Aplicada I José Ramón Gómez http://www.personal.us.es/jrgomez Envolvente convexa Tema 5 Entre muchos puntos en el plano encontrar los dos más alejados El par más alejado Lema: El diámetro de una nube de puntos coincide con el diámetro de sus puntos extremos.

Matemática Aplicada I José Ramón Gómez http://www.personal.us.es/jrgomez Envolvente convexa Tema 5 Puntos antipodales Un par de puntos se llaman antipodales si por ellos pasan paralelas que contienen a toda la nube en su interior

Matemática Aplicada I José Ramón Gómez http://www.personal.us.es/jrgomez Envolvente convexa Tema 5 Un par de puntos se llaman antipodales si por ellos pasan paralelas que contienen a toda la nube en su interior

Matemática Aplicada I José Ramón Gómez http://www.personal.us.es/jrgomez Envolvente convexa Tema 5 Un par de puntos se llaman antipodales si por ellos pasan paralelas que contienen a toda la nube en su interior Lema: El diámetro de una nube de puntos coincide con la distancia entre su par antipodal punto-punto más lejano.

Matemática Aplicada I José Ramón Gómez http://www.personal.us.es/jrgomez Envolvente convexa Tema 5 La distancia más corta entre paralelas que contienen a toda la nube en su interior se llama anchura. Recta centro

Matemática Aplicada I José Ramón Gómez http://www.personal.us.es/jrgomez Envolvente convexa Tema 5 La distancia más corta entre paralelas que contienen a toda la nube en su interior se llama anchura. Lema: La anchura de una nube de puntos la determina un par antipodal arista-punto de su envolvente convexa.

Matemática Aplicada I José Ramón Gómez http://www.personal.us.es/jrgomez Envolvente convexa Tema 5 Algoritmo para hallar la anchura a partir de la envolvente convexa. Paso 1. Hallar la envolvente convexa del conjunto. Paso 2. Recorrer la envolvente convexa comparando pares arista-vértice antipodales, calculando la distancia entre ellos y quedándonos con la mínima.

Matemática Aplicada I José Ramón Gómez http://www.personal.us.es/jrgomez Envolvente convexa Tema 5 ¿Cómo saber si un vértice y una arista son antipodales? Se dibujan la arista y el vértice Se dibujan las aristas que determinan el vértice

Matemática Aplicada I José Ramón Gómez http://www.personal.us.es/jrgomez Envolvente convexa Tema 5 ¿Cómo saber si un vértice y una arista son antipodales? Se dibujan la arista y el vértice Se dibujan las aristas que determinan el vértice Se traza la paralela a la arista que pasa por el vértice

Matemática Aplicada I José Ramón Gómez http://www.personal.us.es/jrgomez Envolvente convexa Tema 5 Antipodales

Matemática Aplicada I José Ramón Gómez http://www.personal.us.es/jrgomez Envolvente convexa Tema 5 ¿Cómo saber si un vértice y una arista son antipodales? Se dibujan la arista y el vértice Se dibujan las aristas que determinan el vértice Se traza la paralela a la arista que pasa por el vértice Se comprueba si corta a alguna de las aristas

Matemática Aplicada I José Ramón Gómez http://www.personal.us.es/jrgomez Envolvente convexa Tema 5 No antipodales

Matemática Aplicada I José Ramón Gómez http://www.personal.us.es/jrgomez Envolvente convexa Tema 5 Empezaremos con los dos índices en la misma posición y haremos avanzar el índice de los vértices hasta hallar uno antipodal a la arista actual.

Matemática Aplicada I José Ramón Gómez http://www.personal.us.es/jrgomez Envolvente convexa Tema 5 Avanzamos con ambos índices, que estarán siempre en posiciones opuestas (antipodales) del polígono.

Matemática Aplicada I José Ramón Gómez http://www.personal.us.es/jrgomez Envolvente convexa Tema 5 El recorrido terminará cuando el índice de aristas de la vuelta completa.

Matemática Aplicada I José Ramón Gómez http://www.personal.us.es/jrgomez Envolvente convexa Tema 5 La complejidad es O(n) basta con hacer dos recorridos al polígono una vez que lo tenemos sin embargo el hallarlo cuesta un tiempo O(n*log(n) (Preprocesamiento)

Matemática Aplicada I José Ramón Gómez http://www.personal.us.es/jrgomez Envolvente convexa Tema 5 La distancia más corta entre paralelas que contienen a toda la nube en su interior se llama anchura. Lema: La anchura de una nube de puntos la determina un par antipodal arista-punto de su envolvente convexa. Lema: Es posible determinar todos los pares antipodales arista-punto de un polígono convexo en tiempo lineal. Teorema: Es posible determinar la anchura de un conjunto en tiempo lineal a partir de su envolvente convexa.

Matemática Aplicada I José Ramón Gómez http://www.personal.us.es/jrgomez Envolvente convexa Tema 5 Un par de puntos se llaman antipodales si por ellos pasan paralelas que contienen a toda la nube en su interior Lema: El diámetro de una nube de puntos coincide con la distancia entre su par antipodal punto-punto más lejano.

Matemática Aplicada I José Ramón Gómez http://www.personal.us.es/jrgomez Envolvente convexa Tema 5 Algoritmo para hallar el diámetro a partir de la envolvente convexa. Paso 1. Hallar la envolvente convexa del conjunto. Paso 2. Recorrer la envolvente convexa comparando pares de vértices antipodales, calculando la distancia entre ellos y quedándonos con la máxima.

Matemática Aplicada I José Ramón Gómez http://www.personal.us.es/jrgomez Envolvente convexa Tema 5 Los vértices antipodales a un vértice v dado son todos aquellos comprendidos entre los vértices antipodales a las dos aristas incidentes en v

Matemática Aplicada I José Ramón Gómez http://www.personal.us.es/jrgomez Envolvente convexa Tema 5 Los vértices antipodales a un vértice v dado son todos aquellos comprendidos entre los vértices antipodales a las dos aristas incidentes en v Corolario: Todos los pares antipodales vértice-vértice pueden ser calculados en tiempo lineal una vez conocida la envolvente convexa. Teorema: El diámetro de un conjunto pueden ser calculados en tiempo lineal una vez conocida la envolvente convexa.

Matemática Aplicada I José Ramón Gómez http://www.personal.us.es/jrgomez Envolvente convexa Tema 5 Teorema Es posible calcular el ancho de un conjunto de puntos en tiempo lineal a partir de su envolvente convexa. Teorema Es posible calcular el diámetro de un conjunto de puntos en tiempo lineal a partir de su envolvente convexa

Matemática Aplicada I José Ramón Gómez http://www.personal.us.es/jrgomez Envolvente convexa Tema 5 Mínimo círculo contenedor Dado un conjunto S de N puntos (P1,...,PN) en el plano, encontrar el mínimo círculo que contiene a S. La formulación como problema de programación matemática, más típica de la investigación operativa, sería: min z tal que z  (x i -x) 2 +(y i -y) 2 para i=1,...,n

Matemática Aplicada I José Ramón Gómez http://www.personal.us.es/jrgomez Envolvente convexa Tema 5 Algoritmo para hallar el círculo contenedor mínimo a partir de la envolvente convexa. Elzinga y Hearn (1972) Paso 1. Elegir dos puntos de Pi y Pj. Paso 2.-Construir el círculo cuyo diámetro es el segmento que une Pi y Pj. Si el círculo contiene a todos los puntos: el centro del círculo es el punto medio del segmento FIN. en otro caso: escoger otro punto Pk de C exterior al círculo.

Matemática Aplicada I José Ramón Gómez http://www.personal.us.es/jrgomez Envolvente convexa Tema 5 Paso 3. Si el triángulo determinado por Pi, Pj y Pk es rectángulo u obtuso: renombrar Pi y Pj los dos puntos opuestos al ángulo recto u obtuso y volver al paso 2. en otro caso: Los tres puntos determinan un rectángulo agudo. construir el círculo que pasa por los tres puntos. Si el círculo contiene a todos los puntos el centro del círculo es el X óptimo. FIN.

Matemática Aplicada I José Ramón Gómez http://www.personal.us.es/jrgomez Envolvente convexa Tema 5 Paso 4. Escoger punto Pl exterior al círculo. Sea Q el punto de {Pi, Pj, Pk} más lejano a Pl. Dividir el plano en dos mitades usando como separador la recta que pasa por Q por un diámetro del círculo anterior. Sea R el punto de {Pi, Pj, Pk} que está en el plano opuesto a Pl. Con los puntos Q,R y Pl volver al punto 3.

Matemática Aplicada I José Ramón Gómez http://www.personal.us.es/jrgomez Envolvente convexa Tema 5 Ejemplo

Matemática Aplicada I José Ramón Gómez http://www.personal.us.es/jrgomez Envolvente convexa Tema 5 Problemas 1.- Probar que dado un conjunto de puntos en el plano, se puede encontrar en tiempo O(n log n) un polígono que tenga a dicho conjunto como sus vértices. 2.- Sea P un polígono monótono (existe una recta tal que toda perpendicular a dicha recta a lo más corta en dos puntos al polígono). Diseñar un algoritmo que calcule su envolvente convexa en tiempo lineal. 3.- Dos conjuntos de puntos A y B se dicen que son linealmente separables si existe una recta r que los deja a cada uno en uno de los dos semiplanos que la recta define (a cada conjunto en un semiplano distinto). a) Demostrar que dos conjuntos son linealmente separables si y sólo si lo son sus envolventes. b) Demostrar que dos convexos son linealmente separables si y sólo si son disjuntos. c) Diseñar un algoritmo que decida cuando dos conjuntos son linealmente separables. 4.- Probar que todo polígono convexo tiene cuatro vértices N, S, E, O (que pueden coincidir entre ellos) y cuatro cadenas monótonas entre ellos que son de N a W descendente hacia la izquierda, de W a S descendente hacia la derecha, de S a E ascendente hacia la derecha y de E a N ascendente hacia la izquierda. 5.- Un polígono se dice ortogonal si todas sus aristas son o vérticales y horizontales. Y un polígono ortogonal se dice ortogonalmente convexo si el interior de cada línea horizontal en el polígono es un segmento. a) Encontrar una caracterización similar a la del problema 4 para polígonos ortogonales ortogonalmente convexos. b) Diseñar un algoritmo que decida cuando un polígono ortogonal es ortogonalmente convexo. c) Diseñar un algoritmo que encuentro el menor polígono ortogonalmente convexo que contiene a un polígono ortogonal dado.

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